Chương 1. Những kiến thức bổ trợ

1.1 Kiến thức về đa thức
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số dạng f(x) = axn gọi là một đơn thức với a0 là một số bất kì (trường hợp chung nhất là số phức), x là biến độc lập và n là một số nguyên không âm, a được gọi là hệ số của đơn thức, n được gọi là bậc của đơn thức.
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số p(x) gọi là một đa thức, nếu có thể biểu diễn như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:
P(x) = a1 a2 + … + ak
trong đó các a1, a2, …, ak là những số bất kỳ, còn n1, n2, …,nk là những số nguyên không âm.
Định nghĩa 1.1.3. Nếu đa thức P(x) viết dưới dạng:
P(x) = a0 xn + a1xn-1 + …+an-1x + an,
trong đó a0 0, thì ta nói rằng nó được viết theo bậc của x hoặc là biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc. Các số a0, a1,…, an gọi là các hệ số của đa thức. Số a0 là hệ số bậc cao nhất còn số an gọi là hệ số tự do. Số n gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là: deg P(x) = n.
Ví dụ 1.1.1. Hãy viết dạng chuẩn tắc của đa thức:
a, P(x) = (x - 1)4 - x3,
b, P(x) = (x - 2) (x2 + 1),
c, P(x) = (2 - ix2)2+ (2 + i
)x3 + i x2.
Lời giải:
a, P(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 - x3
= x4 - 5x3 + 6x2 - 4x +1,
b, P(x) = x3+x - 2x2 - 2
= x3 - 2x2 + x – 2,
c, P(x) = 4 - 4 i x2 - x4 + (2 + i
) x3 + ix2
= - x4 + (2 + i
)x3 - 3ix2 + 0. x + 4.
Một số tính chất
Cho (p(x), Q(x) là những đa thức. khi đó, ta có một số tính chất sau:
1.Tính của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có deg R(x)= deg P(x) + degQ(x).
2. Tổng (hiệu) của hai đa thức (P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), va ta có deg R(x) = Max {deg P(x); deg Q(x)}.
Định nghĩa1.1.4. Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Một số
gọi là nghiệm của đa thức, nếu P(
) = 0.
Ví dụ 1.1.2. Hãy tìm nghiệm của đa thức trên và
a, P(x) = x3 - 3x + 2
b, P(x) = x2 - 2x + 2
Lời giải:
a,Ta có P(x) = x3 -3x + 2
= (x - 1)2 (x + 2)

P(x) = 0


Vậy nghiệm của đa thức này trên và là trùng nhau, đó là những giá trị :
x = 1 và x = 2.
b, Ta có P(x) = x2 – 2x +2

= 1 - 2 = -1 < 0

Đa thức này không có nghiệm thực. Nhưng ta lại có -1 = i2 nên đa thức này có hai nghiệm phức đó là: x= 1 + i và x = 1 – i.
Định lí 1.1.1. Mọi đa thức P(x) = a0xn +a1xn-1 + …+an-1x+an có thể biểu diễn dưới dạng :
P(x) = a0 (