GV: NGÔ TÙNG LÂM
ĐỀ 13
--------------------
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
------------------------------

Câu 1. (5.0 điểm)
a) Giải hệ phương trình


b) Giải phương trình sau :

Câu 2. (4 điểm )
a) Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 ,
Tìm MaxP ,

b)


Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho dãy số
với x0=1 ; x1=4; xn+2=5xn+1-6xn+2 với mọi n tự nhiên.
Hãy xác định số hạng tổng quát xn.

b) cho dãy số (Un) xác định bởi:

Hãy tính


Câu 4.(5.0 điểm)
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Đoạn thẳng AA1 cắt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tại giao điểm thứ hai Q. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Các đường thẳng A1C1, A1B1 lần lượt cắt d tại P, R. Chứng minh các góc PQR và B1QC1 bằng nhau.

Câu 5 ( 2 điểm)
Trong không gian cho 2003 điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào đồng phẳng. Người ta nối mỗi điểm với ít nhất 1600 điểm khác bằng các đoạn thẳng. Hãy tìm số n lớn nhất sao cho tồn tại n điểm đôi một được nối với nhau bằng đoạn thẳng.

.................................Hết:...............................

GV: NGÔ TÙNG LÂM
ĐỀ 13
--------------------
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
Môn : Toán
Hướng giẫn giải
------------------------------

Câu I. (5,0 điểm)
a) Điều kiện :
. Chia cả hai vế của phương trình (1) cho


. Hàm số :
.
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi

Thay vào phương trình (2) ta được :

Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1)
b) ĐK
. Pt (1)

Do x=-2 không là nghiệm của pt(1) nên chia cả 2 vế cho x+2 ta được:


Đặt
ĐK
. Phương trình (1)

* Với
. pt VN
*Với t=2 PT có nghiệm

Câu 2. (4 điểm )
a)


 Mà





Nên

b) Áp dụng BĐT :

Ta có


Tương tự


Tương tự



Từ (1) ;(2) ;(3) ta có


Vì

Cách 2


áp dụng
với a.b, c không âm và A,B dương. Dấu "=" xảy ra khi
ta có:


(1) Dấu "=" xảy ra khi

Tương tự ta có:

(2) Dấu "=" xảy ra khi


(3) Dấu "=" xảy ra khi

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta được:


Lại có 3(xy+yz+zx)
(x+y+z)2.



(ĐPCM) Dấu "=" xảy ra khi

Cách 3




Ta có:


Tương tự:




Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta được:


Ta chỉ cần chứng minh:


Thật vậy:


Tương tự:


Suy ra
(Điều phải chứng minh).
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi


Câu 3. (4,0 điểm)
a) + Ta tìm số a sao cho xn+2=5xn+1-6xn+2
xn+2+a=5(xn+1+a)-6(xn+a).

xn+2=5xn+1-6xn-2a. Vậy ta chọn a=-1.
Khi đó