Sở Giáo Dục- đào Tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 CHUYÊN Hà NAM
Hà Nam Năm học 2007-2008
Môn thi: toán ( Đề CHUYÊN )
đề chính thức Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề )


Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng
với mọi n
N*
Bài 3 (1,5 đ):
Giải phương trình
a/
+
= 6x -5-x2 b/

Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z,
+
+
đều là các số hữu tỉ thì
,
,
cũng là các số hữu tỉ.
Bài 5 (1,5 đ):
1/ Chứng minh rằng nếu một đưởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng đó có dạng

2/Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng là lớn nhất.
Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đường cao OH, AK biết OA = a,
.
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và
.
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2
. Từ đó biểu diễn sin2
, cos2
theo sin
, cos
.
Bài 7 (2 đ) :
Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB ?

=============================
Hướng dẫn chấm
-----------------
Bài 1 (1 đ): Ta có: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 +
=
(0,75 đ). Vậy M có giá trị nhỏ nhất là 2008 khi
(0,25 đ)
Bài 2 (1 đ): Để ý rằng:
=
<

(0,5đ)
Do đó :
;
... ;

Cộng các bđt trên, ta có:
(0,5đ) (đpcm)
Bài 3 (1,5 đ):
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 (0,5đ), vậy pt trình có nghiệm khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm được x = 3 (0,5đ).
b) Ta có

Đặt
;
với a, b
(0,25đ)
Đưa pt về dạng


Giải pt ta tìm được x =
và x =
(0,25đ)
Bài 4 (0,5 đ):
Đặt t =
+
+

Q, Ta có:
+
=
- t
x + y + 2
= z + t2 – 2t


2
= - x – y + z + t2 - 2t

4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z – t2)


(x + y + z – t2)2 + 4zt2 – 4xy = 4t (t2 – x –y – z)
(0,25đ)
Nếu t = 0 :
+
+
= 0
x = y = z = 0

=
=
= 0
Q
Nếu t2 – x – y + z = 0, t
0: thì 2
= - 2t


+ t
= 0








,
,

Q
* Nếu t ( t2 – x –y + z)
0
=
Q
Lập luận tương tự, ta suy ra:
,

Q (0,25đ)
Bài 5 (1,5 đ):
1) (0,5đ) Gọi đường thẳng cần xác định là y = mx + n.
Đường thẳng đi qua điểm (0 ; b) nên : b = m.0 + n
n = b.
Đường thẳng đi qua điểm (a ; 0) nên: 0 = m.a + b
m =
(chú ý rằng a
0). (0,25đ)
Đường thẳng cần xác định có dạng: y = -
(0,25đ)
2a) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là:
(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 với mọi m
mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 với mọi m (025đ)

(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m

(0,25đ)
Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung. Ta có: x = 0
y =
, do đó OA =

.
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành. Ta có: y = 0
x =
, do đó OB =
.(0,25đ)
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (1). Ta có:

.
Suy ra h2
2. max h =
khi và chỉ khi m =
. (0,25đ)

Bài 6 (2,5 đ):









Theo Pitago thì AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2
. Vì sin22α + cos22α = 1 nên AB2 = a2(1 + 1 – 2cos2α) = 2a2(1 - cos2α) (0,5 đ)
- So sánh giá trị của AK, ta có asin2α = 2a.sinα. cosα vậy sin2α = 2sinα.cosα (0,25 đ)
- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin2α. = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α (0,25 đ)
Bài 7 (2 đ)