ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN: TOÁN LỚP 9 THỜI GIAN: 150 PHÚT (Không kể phát đề)
Họ và tên: Phạm Thị Hà
Đơn vị : Trường THCS Hà Lan

Câu 1: (3 điểm)
Cho biểu thức P =

Tìm ĐKXĐ của P
Rút gọn P
Tính giá trị của P biết a
= 0
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho N =
Tính

b) cho a,b,c là 3 số hữu tỷ thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh
là một số hữu tỷ
Câu 3 (4 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P =
với x > 0
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x
+ xy – 7 = 0
Câu 4 (3 điểm )
Cho tam giác ABC trung tuyến AM . Chứng minh rằng nếu cotgB = 3 cotgC

thì AM = AC
Câu5 (4 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ điểm O trong tam giác ta vẽ OD
BC, OE
CA,
. Hãy xác định vị trí của O để OD
nhỏ nhất
Câu 6 (2 điểm ) Gọi A là tích của các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1003 và B là tích của các số nguyên liên tiếp từ 1004 đến 2006. Hỏi A+B có chia hết cho 2007 không?.














Đáp án và hướng dẫn chấm

Câu 1 : (3 điểm )
ĐKXĐ : a
o; -1; -2; -3; -4; -5 (0,5 điểm)
P =
+
+

=
=
( 1,5 điểm)
c)Ta có a
( vì a
- 2a +2 > 0 )


a = -1
Với a = -1 (thoã mãn ĐKXĐ )
a= -1 giá trị của P là P =
(1 điểm )
Câu 2 :(4 điểm)
a) ( 2 điểm)
N =
=
= (

=




b)(2 điểm) Ta có 1 =ab +bc +ca
a
+1=(a+b)(a+c)
Tương tự b
+ 1= (b+c)(b + a)
c
+ 1 = (a+c)(b+c)
Vậy (

= (a+b)(b+c)(a+c) là một số hữu tỷ vì a,b,c là số hữu tỷ
Câu 3: (4 điểm)
P = 1 -
= 1 -
vì x +


min =
khi x= 1 (2 điểm)
b) 2x
+xy – 7 = 0
7 - 2x
= xy do x >0 ; y > 0 nên xy > 0

7 - 2x
>0
x
<3,5 mà x

x = 1
y = 5
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x =1 ;y = 5
Câu 4 :(3 điểm )
Hạ AH
BC ta có cotgB =
; cotgC =

Mà cotgB = 3cotgC
BH = 3CH
BC = 4CH
Lại có BC = 2CM
CM = MH

AMC có CM = MH ; AH
CM Suy ra

AMC cân tại A
AM = AC












Câu 5 : Vẽ đường cao AH và OK
AH
Ta có

Mật khác OD = KH nên

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi O là trung điểm của AH
Vậy Min
O là trung điểm của AH
Câu 6: (2 điểm )
A = 1.2.3…1003
B = 1004.1005…2006 = (2007 -1003)(2007 – 1002)…(2007 – 1)
=2007.N – 1003.1002…1

A + B = 2007N
2007