SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Phòng giáo dục Thanh Oai
Trường THCS Thanh Văn

ĐỀ THI OLYMPIC Môn Toán: Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ BÀI
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2014x2 + 2013x + 2014.
Bài 2: (4điểm):
Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:

Với n là số tự nhiên không bé hơn 2. Tìm n để D = n5-n+2 luôn là số chính phương.
Bài 3: (4 điểm)
Giải phương trình:
x2 – 3x +2 + |x-1| = 0
2.
(2013 – x)2 + (2013 – x)(x - 2014) + (x - 2014)2
=
19


(2013 – x)2 - (2013 – x)(x - 2014) + (x - 2014)2

49

Bài 4: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Bài 5 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
Tính tổng

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?



----HẾT---
ĐÁP ÁN

Câu 1
1
Ta có: (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =
=
0.5




=
0.5




=3
=
0.5



3
.
0.5


2
Ta có: x4 + 2014x2 + 2013x + 2014 = (x4 – x) + (2014x2 + 2014x + 2014)
0.5



= x(x3 – 1) + 2014(x2 + x + 1)
0.5



= x(x – 1)(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)
0.5



= (x2 + x + 1)( x2 – x + 2014)
0.5

Câu 2
1



yz = –xy – xz
0.5



x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z)

Tương tự: y2 + 2xz = (y – x)(y – z) ; z2 + 2xy = (z – x)(z – y)
0.5



Do đó:

Tính đúng A = 1
1


2
D = n5 – n + 2 = n(n4 – 1) + 2 = n(n +1)(n – 1)(n2 +1) + 2
0.5



= n(n – 1)(n + 1) [(n2 – 1) + 5] + 2
0.5



= n(n – 1)(n + 1) (n - 2) (n + 2) + 5n(n – 1)(n + 1) +2
0.5



Mà n(n – 1)(n + 1) (n - 2) (n + 2) ⋮ 5 (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)
5n(n – 1)(n + 1) ⋮ 5
D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên không thể là số chính phương
0.5

Câu 3
1
x2 – 3x +2 + |x-1| = 0 (1)
Nếu x ≥ 1: (1) ( (x-1)2 = 0 ( x=1 (thỏa mãn)
0.5



Nếu x < 1 : (1) ( x2 – 4x +3 = 0 ( x2 – x -3(x-1) = 0
( x = 1; x = 3 (không thỏa mãn)
0.5



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1
0.5


2
(2013 – x)2 + (2013 – x)(x - 2014) + (x - 2014)2
=
19

(2013 – x)2 - (2013 – x)(x - 2014) + (x - 2014)2

49