PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN
Năm học 2013 - 2014
Môn: TOÁN lớp 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)



Bài 1
Cho biểu thức: P =

a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để P = 12.
Bài 2.
a/ Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3
3 thì a + b
3 (với mọi a, b là số nguyên).
b/ Tìm số hữu tỷ x để A =
có giá trị là số chính phương.
Bài 3.
a/ Giải phương trình:
(1)
b/ Cho
=
=
và a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh: xy + yz + zx = 0
Bài 4.
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) tùy ý qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC thứ tự tại E, F.
a/ Chứng minh rằng nếu (d) song song với BC thì GE = GF.
b/ Chứng minh: 1/

2/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF.
Bài 5.
Cho 6 số dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn: a6 + b6 + c6 + d6 + e6 + f6 = 6.abcdef (1)
Chứng minh rằng: a = b = c = d = e =f

----------------------------------------Hết--------------------------------------


Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm




PHÒNG GD&ĐT
PHÙ NINH


Đáp án THI CHỌN HSNK
Năm học 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Bài 1 Cho biểu thức:P =

a/Rút gọn biểu thức P
b/Tìm các cặp số nguyên (x;y) để P= 12

Phần
Hướng dẫn chấm

a/
ĐKXĐ: x
-1;y
1;x+y
0


Rút gọn được P =

xy+x-y

b/
P=12 ( xy+x-y =12 ( (x-1)(y+1) =11 (1)
Vì :11 =1.11 =(-1)(-11)


Lập bảng giá trị ta tìm được (x ;y) =(2 ;10);(12;0);(0;-12);(-10 ;-2)

Bài 2.
a/Chứng minh rằng: Nếu a3+b3
3 Thì a+b
3 (với mọi a,b là số nguyên)
b/Tìm số hữu tỷ x để A =
có giá trị là số chính phương.
Phần
Lời giải sơ lược

a/
Xét hiệu: (a3+b3 )–(a+b) =[(a-1)a(a+1) +(b-1)b(b+1)]
3 (1)


Vì a3+b3
3 kết hợp (1) suy ra a+b
3 (với mọi a,b là số nguyên)

b/
Từ giả thiết suy ra A >0 ;Biến đổi ta có x2 =

0 (vì x2
0) Và A >0 => 0

Từ đó tìm được x
{3;-3;
;
}


Bài 3
a/Giải phương trình:
(1)
b/Cho
=
=
và a+b+c = a2+b2+c2 =1.
Chứng minh: xy + yz + zx = 0
Phần
Lời giải sơ lược

a/
ĐKXĐ:x
{1;2;-1;-2}


Pt (1) (



 (
(2) đặt x2 = a
{1;4};a
0
4a2 -65a +16 = 0 ( (4a-1)(a-16)=0 ( a= 16; a=

Tìm được tập nghiệm S= {-4;4;
;
}

b/
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

(do a+b+c=1)=>
=(x+y+z)2 (1)
Mặt khác
(2)
Từ (1) và (2) ta có :xy+yz+zx =0


Bài 4
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) tùy ý qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC