Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Năm học 2011-2012 Môn : Toán











































































































































































Câu 1:
Cho aZ , chứng minh rằng a5- a chia hết cho 30.
Câu 2 : Cho P
a. Rút gọn P
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên
Câu 3: a. Giải phương trình
b. Cho a,b,c Z thoả mãn điều kiện
CMR chia hết cho 3
Câu 4: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
a/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
b/ Chứng minh: AK2 = KC . KE.
c/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi.
d/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

âu 5: Cho a,b,c > 0 và abc =1
Chứng minh rằng:




p án và biểu điểm
Câu 1: (2 điểm)
a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2- 4+5)
= a(a-1)(a+1a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp . Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó : a5-a 5 Ta thấy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1)
Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì (2,3) = 1
a5-a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a5-a 30
Câu 2 (6 điểm)
a) (2đ) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x 1
P
P =

b)(2đ) P = x+1
P đạt GTNN là khi x
c)(2đ) Q =
Với x > 0 và x 1 p dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương
M =
Tìm được Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1

Câu 3 (4đ)
a. (2đ)

0
=0
=0



PT(1) vô nghiệm
PT(2)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x

(2đ)