Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho các số dương: a; b và x =
. Xét biểu thức P =

Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:


Câu 3 ( 4,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =
; b =
.
Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn)
Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
Chứng minh Sn – 2 =
. Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
Câu 4 (6,5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Câu 5 ( 2,5 điểm)
Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kỳ 1 năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh được các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh.

------------- Hết-------------
Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh .......................
Chữ kí giám thị 1 …………………… Chữ kí giám thị 2 ………………………
hướng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008

Câu 1. (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải
Điểm

(2,75 điểm)
Ta có: a; b; x > 0
a + x > 0 (1)
Xét a – x =
(2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0

(3)
Từ (1); (2); (3)
P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x =



a - x =




P =

Nếu 0 < b < 1
P =

Nếu b

P =

2. (1,25 điểm)
Xét 2 trường hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P =
P

Nếu b
, a dương tuỳ ý thì P =

Ta có:
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác:
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =

0,25

0,25

0,25
0,25


0,25


0,50



0,50



0,25


0,25




0,25


0,25

0,25





0,25

0,25





Câu 2 (3,0 điểm)

Tóm tắt lời giải
Điểm

Biến đổi tương đương hệ ta có


Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2)
= 0

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho



1,00


0,50

0,25
0,25
0,25
0,50
0,25


Câu 3 (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải
Điểm

(0,75 điểm)
Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1)
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2. (1,75 điểm)
Ta có: S1 = 3; S2 = 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2
Z nên S3
Z; do S2, S3
Z nên S4
Z
Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008
Z
3. (1,5 điểm)
Ta có Sn – 2 =

=

=
đpcm
Đặt a1 =
; b1 =

a1 + b1 =
; a1b1 = 1
Xét Un=

Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 + b1n + 1) – a1b1(a1n + b1n)
Un+2 =
Un+1 – Un
Ta có T1 = 1
Z; T2 =

Z; T3 = 4
Z; T4 = 3

Z;...
Tiếp tục quá trình trên ta được Tn nguyên
n lẻ
Vậy Sn – 2 là số chính phương
n = 2k+1 với k
Z và 0
1003

0,25
0,25
0,25

0,50
0,75
0,25
0,25



0,25






0,25



0,25



0,25

0,25
0,25

Câu 4 (6,5 điểm)

Tóm tắt lời giải
Điểm