Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái
Tr­êng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
M«n : To¸n (Vßng 1)
§Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)


Bµi 1: (8 ®iÓm)
Cho parabol
.
ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm
.
Gäi d lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm
vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®­êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.
T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.

Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:



Bµi 3: (8 ®iÓm)
Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®­êng trßn. ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña nöa ®­êng trßn.
Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho th× ®­êng th¼ng ED lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho.

HÕt









líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
M«n : to¸n (Vßng 1)
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 1
ý
Néi dung
§iÓm

1.


8,0


1.1
(2,0 ®iÓm)




Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d1 ®i qua A(2; 1) cã d¹ng: y = ax + b vµ 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do ®ã d1: y = ax - 2a+1.
0,50



 Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d1 vµ (P) lµ:


0.50



§Ó d1 lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× cÇn vµ ®ñ lµ:



2,0



VËy tõ A(2; 1) cã hai tiÕp tuyÕn ®Õn (P) lµ:


0,50


1.2
(4,0 ®iÓm)




Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hÖ sè gãc m lµ:


0,50



Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:


0,50



§Ó d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt th× cÇn vµ ®ñ lµ:





1,5




Víi ®iÒu kiÖn (*), d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm M vµ N cã hoµnh ®é lµ x1 vµ x2 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2), nªn to¹ ®é trung ®iÓm I cña MN lµ:


1,0



VËy khi m thay ®æi, quÜ tÝch cña I lµ phÇn cña parabol

, giíi h¹n bëi
.
0,50


1.3
(2,0 ®iÓm)




Gäi
lµ ®iÓm tõ ®ã cã thÓ vÏ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ®Õn (P). Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d` qua M0 vµ cã hÖ sè gãc k lµ:
, ®­êng th¼ng nµy ®i qua M0 nªn
, suy ra pt cña d`:
.
0,50



Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:

(**)
0,50



§Ó tõ M0 cã thÓ kÎ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc tíi (P) th× ph­¬ng tr×nh:

cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
vµ



0,50



VËy quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ vÏ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc cña (P) lµ ®­êng th¼ng

0,50

2.

(4,0 ®iÓm)






(1)
1,0



Gi¶i hÖ (1) ta ®­îc:

1,0



Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch, tæng:
vµ
ta cã c¸c nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ:


2,0


3.


8,0


3.1





Gäi K lµ giao ®iÓm cña Ax vµ GF, I lµ giao ®iÓm cña By vµ ED. Ta cã:



(gãc cã c¸c c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc)

,
Do ®ã:

mµ By cè ®Þnh, suy ra ®iÓm I cè ®Þnh.
+ T­¬ng tù, K ccè ®Þnh.
+ VËy khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn (O) th× d­êng th¼ng ED ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng GF ®i qua ®iÓm K cè ®Þnh.
3,0


3.2
Suy ra quÜ tÝch cña I lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BI (bªn ph¶i By,
); quÜ tÝch cña K lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AK(bªn tr¸i Ax,
).
2,0


3.3
XÐt 2 tam gi¸c BEI vµ BDK, ta cã:



Do ®ã:


+ VËy: QuÜ tÝch cña D lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK.
+ T­¬ng tù, quÜ tÝch cña F lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AI.
3,0
















Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái
Tr­êng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008

M«n : To¸n (Vßng 2)
§Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

Bµi 1: (7 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã:



Bµi 2: (6 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
.
T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:



Bµi 3: (7 ®iÓm)
Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N.
Chøng minh r»ng tÝch
lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng
, khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ?
Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH kh«ng ph¶i lµ ®­êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt.


HÕt











Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái
Tr­êng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
M«n : to¸n (Vßng 2)
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi
ý
Néi dung
§iÓm

1.


7,0


1.1
(2,0 ®iÓm)








(1)
1,0




, nªn
(tho¶ §K)

lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)





, nªn pt (2)

do ®ã pt (2) cã v« sè nghiÖm y (
), suy ra pt (1) cã v« sè nghiÖm x (
).
1,0




, nªn pt (2)
, pt v« nghiÖm.
VËy tËp nghiÖm cña pt (1) lµ:

1,0


1.2
(3,0 ®iÓm)






0,50



Ta cã:

0,50



Theo gi¶ thiÕt:
, nªn:


1,0





§¼ng thøc (*) ®­îc nghiÖm ®óng.
1,0


2.


6,0


2.1
(3,0 ®iÓm)





(x¸c ®Þnh víi mäi
)

0,5




pt (**) cã nghiÖm


®Ó pt (**) cã nghiÖm th×:

1,0





1,0



VËy tËp gi¸ trÞ cña y lµ
, do ®ã

0,5


2.2
(3,0 ®iÓm)





(***)
0,5



§Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×:

lµ sè chÝnh ph­¬ng.



1,0



Ta cã: Tæng
lµ sè ch½n, nªn

cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. Mµ 12 chØ cã thÓ b»ng tÝch 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:


0,5



Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a):

0,5



Thay c¸c gi¸ trÞ
vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã c¸c nghiÖm nguyªn (x; y) lµ:


0,5

3.


7,0

(4 ®)
3.1

Ta cã:
v×:

;
chung. Suy ra:


Ta cã:
v×:

,
. Suy ra:


Tõ (1) vµ (2):

1,0









Tõ (4) vµ (5):
. Tõ (3) vµ (6):

1,0



§Æt
. Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ:

DÊu "=" xÈy ra khi:

1,0



VËy: Tæng

( E lµ trung ®iÓm cña d©y cung
.
1,0


3.2
(3,0 ®iÓm)





cã c¹nh GH cè ®Þnh, nªn chu vi cña nã lín nhÊt khi tæng
lín nhÊt.
Trªn tia ®èi cña tia KG lÊy ®iÓm N sao cho KN = KH. Khi ®ã,
c©n t¹i K. Suy ra
vµ

mµ
(gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá
cè ®Þnh), do ®ã
kh«ng ®æi. VËy N ch¹y trªn cung trßn (O`) tËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n GH d­íi gãc
kh«ng ®æi.
1,5



GN lµ d©y cung cña cung trßn (O`) nªn GN lín nhÊt khi GN lµ ®­êng kÝnh cña cung trßn, suy ra
vu«ng t¹i H, do ®ã
(v× lÇn l­ît phô víi hai gãc b»ng nhau). Khi ®ã, K lµ trung ®iÓm cña cung lín
.
VËy: Chu vi cña
lín nhÊt khi K lµ trung ®iÓm cña cung lín
.
1,5












Phßng GD-§T TP
Tr­êng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
M«n : To¸n (Vßng 1)
§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót


Bµi 1: (8 ®iÓm)
Cho ph­¬ng tr×nh
.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña
®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña
®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
vµ
tho¶ m·n hÖ thøc
.
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña
®Ó nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
(2)
Bµi 3: (8 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã
(
lµ hai ®é dµi cho tr­íc), H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn c¹nh BC ®­îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC.
T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng th­íc kÎ vµ com-pa. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã.


HÕt
















Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái
Tr­êng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 1
ý
Néi dung
§iÓm

1.


8,0


1.1
(2,0 ®iÓm)





§Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt, cÇn vµ ®ñ lµ:


0.5





1.5


1.2
(3,0 ®iÓm)




Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
(*)
0,50





0,50





0,5





0,5



Ta cã:


vµ

0,5



VËy: Cã 2 gi¸ trÞ cña m tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n:

0,5


1.3
(3,0 ®iÓm)




Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m khi vµ chØ khi:


0,50




Khi ®ã 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ:

0,50



Hai nghiÖm nµy kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0, nªn nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh lµ
. Suy ra:


0,50



Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si:

0,50



Suy ra:
.
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi:
.
0,5



VËy nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ

0,5

2.

(4,0 ®iÓm)





(2)

(3)
0,5





1,0



Giải phương trình theo t, ta có:

(lo¹i);


. Suy ra nghiÖm cña (3) lµ
.
1,0



Gi¶i ph­¬ng tr×nh

VËy: ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt:


1,0






0,5


3.


8,0


3.1
+ §Æt
.
Ta cã:



.
Suy ra diÖn tÝch cña MNPQ lµ:


2,0



+ Ta cã bÊt ®¼ng thøc:

¸p dông, ta cã:
.
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi:
.
Suy ra:
.
VËy:
khi
hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC.
2,0



3.2
+ Gi¶ sö ®· dùng ®­îc h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F`.
Dùng h×nh ch÷ nhËt:
E`F`G`H`
.
Ta cã: E`F`//EF vµ F`G`//FG, nªn:



. Do ®ã E`F`G`H` lµ h×nh vu«ng.
1,0



+ C¸ch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E` tuú ý, dùng h×nh vu«ng E`F`G`H` (G`, H` thuéc c¹nh BC). Dùng tia BF` c¾t AC t¹i F. Dùng h×nh ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh t­¬ng tù trªn, ta cã EF = FG, suy ra EFGH lµ h×nh vu«ng.
1,0



+ Ta cã:
;

.
Suy ra: Tia BF` cè ®Þnh khi E` di ®éng trªn AB, c¾t AC t¹i mét ®iÓm F duy nhÊt.
Tr­êng hîp h×nh vu«ng E`F`G`H` cã ®Ønh