UBNN thị xã Uông bí Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị xã
Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008.


Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29 / 01/ 2008

Bài 1:
a) Tìm số tự nhiên a sao cho
là số chính phương.
b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10?

Bài 2:
a) Cho x =
. Tính giá trị của biểu thức P = x3 + 3x + 2008.
b) Cho
. Chứng minh rằng:
.
Bài 3:
a) Cho x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:
.
b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

Bài 4: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là điểm bất kì trên đáy BC. P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi O là trung điểm của AM.
a) Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác OPHQ là hình gì? Chứng minh.
c) Tìm vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất.


......................Hết....................
hướng dẫn chấm thi hsg thị xã uông bí năm học 2007 -2008
môn toán

Lời giải sơ lược
Biểu điểm

Bài 1.a
Biến đổi:


(1)
0,25



là ước của 1991 (2)
0,25


có
(3)
0,25


Từ (1), (2), (3)


0,25


Giải (I) được:
, Giải (II) được:


0,25


Vậy
thì
là số chính phương
0,25

Bài 1.b
Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8, 9, 10 lần lượt là x, y, z
Ta có



0,25


Từ (2) và (3)

hay
kết hợp với (1), (2)
thay vào (3) ta có




0,5


 Từ đó tính được

Vậy học sinh đó đạt chín điểm 8, hai điểm 9 và một điểm 10.

0,25

Bài 2.a
Đặt
. ta có:


0,25





0,5


Vậy giá trị cần tìm của P là 2006
0,25

Bài 2.b



0,5


Lại có:






0,5


Vậy

0,25

Bài 3.a

do x, y, x+y dương

BĐT cuối cùng đúng. Do đó:


1,0


Bài 3.b
Theo câu a:
dấu bằng khi
. ta có




0,25

0,5


Vậy
khi

0,25

Bài 4



a
có
=> P, H, Q thuộc đường tròn đường kính AM. Vậy 5 điểm A, P, H, M, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM .

1,25

b
xét đường tròn đường kính AM tâm O bán kính R. có
nên POQH là hình thoi

1,0

c
Tính được
vậy
lại có
vậy PQmin khi và chỉ khi


1,0