I. Các bài toán về phép đếm, Chỉnh hợp và Tổ hợp.
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân.
2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
1)
a) Hoán vị
ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: Pn
Pn = n! = n(n-1)...2.1
P1 = 1; Quy ước: P0 = 0! = 1
b) Chỉnh hợp
ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử (của tập A).
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:


; Quy ước

c) Tổ hợp
ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:


; Chú ý:

TChất:

B. Bài tập
Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số Pn;
;

Bài 1. Giải các PT, BPT:
a)
ĐS: n = 6.
b)
ĐS: n
2.
c)
ĐS: n = 5.
d)
ĐS: n = {3; 4}
Bài 2. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k
0

ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3).
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức
nếu
.
ĐS: 3/4.
Bài 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử.
Bài 5. Chứng minh rằng:




Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bài 6. Có 6 phong bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau. Người ta chọn và dán 3 tem lên 3 bì thư, mỗi bì thư gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm? ĐS: 1200.
Bài 7(ĐH K D - 2004).Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. ĐS: 56.875 cách.
Bài 8 (ĐH K B - 2005). Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. ĐS:

Bài 9. (ĐH K D- 2006). Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225 cách
Bài 10. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ,