1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.1Định nghĩa: Cho điểm
và mặt phẳng
Gọi
là hình chiếu của
lân mặt phẳng
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm
và
được gọi là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

Kí hiệu:




1.2 Cách tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

* Cách 1:
Bước 1: Tìm mặt phẳng
qua
vuông góc

Bước 2: Tìm

Bước 3: Trong mặt phẳng
, kẻ

Vậy



* Cách 2: Nếu biết khoảng cách từ
đến mặt phẳng
và
i/




ii/ Biết
và
cắt
tại


thì



Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau. Gọi
là giao tuyến của chúng. Từ
lấy hai điểm
sao cho
Lấy điểm
trên
và
trên
sao cho
và
cùng vuông góc với
mà
Tìm khoảng cách từ
đến

Giải.


Do



(
là trung điểm
)(1)
Mặt khác ta có


(
cân tại
)(2)
Từ (1)(2) suy ra

Vậy

Xét
vuông cân tại

Ta có:



Nên


Ví dụ 2: Cho hình chóp
có đáy là hình thoi
,
cạnh bên
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng đáy là
Tính
Đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Giải.



a.Vì
là hình thoi và
, nên
là tam giác đều.
Gọi
là trung điểm của
thì

Mặt khác
là tam giác vuông tại
nên
là góc giữa
và

Theo giả thiết

Ta có
mà
nên

Vì
nên
là đường cao của hình chóp

Ta có

Vậy

b. Ta có
từ đó

vậy nếu kẻ đường cao
của
thì

Xét
vuông tại
.
Ta có:



Bài tập.
Cho tam giác điều
cạnh
điểm
thuộc cạnh
với
Vẽ đoạn
vuông góc
và

Hãy nêu cách dựng đoạn vuông góc
vẽ từ
đến

Tính khoảng cách từ
và từ
đến mặt phẳng

Giải.
a.Cách dựng đoạn vuông góc
vẽ từ
đến

Gọi
là trung điểm

Ta có:
đều, có
là đường trung tuyến suy ra

Qua
kẻ đường thẳng song song với
và cắt
tại

Khi đó
(1)
Mặt khác:
(vì
) (2)
Từ (1)(2) suy ra:

Mà

Qua
dựng đường thẳng vuông góc với
tại
.
Suy ra:
hay
là đoạn vuông góc từ
đến

b.Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Ta có:


Mặt khác:
vuông tại
, có
là đường cao
Suy ra


Vậy

* Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Ta có:

Suy ra




Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
và

Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ tâm
hình vuông
đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác
đến mặt phẳng

Giải.


a.Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Ta có:


Mặt khác:


Trong mặt phẳng
, kẻ
tại

Suy ra
hay


vuông tại
có
là đường cao nên ta có:


Vậy

b.Tính khoảng cách từ tâm
hình vuông
đến mặt phẳng

ta có:


Vậy

c.Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác
đến mặt phẳng

Gọi
là trọng tâm

Ta có:


Mà


Vậy

Cho lăng trụ đứng
có
và
Gọi
là trung điểm cạnh

Chứng minh

Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Giải.


Chứng minh

Áp dụng định lý cosin trong
ta có:


Ta có:


Mà
hay

Suy ra
vuông tại

Vậy

b.Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng

Gọi
là hình chiếu của
lên

Khi đó:


Với



Suy ra:


Tính

Ta có:

(1)
Mặt khác:
(2)
Từ (1)(2) suy ra