-----oOo-----

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ & SỐ CHÍNH PHƯƠNG :
Số nguyên tố đã được nghiên cứu từ nhiều thế kỷ - trước Công nguyên - nhưng cho đến nay nhiều bài toán về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết một cách trọn vẹn .
Một trong những bài toán nổi tiếng nhất là bài toán GoldBach-Euler đề ra năm 1742 :
Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố
Suốt hơn 200 năm qua bài toán đó vẫn còn là một thách thức đối với Toán học.
Một số định nghĩa :
p (N , p > 1 : p là số nguyên tố ( Ư(p) = { 1, p }
Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất
Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số.

Các bài toán minh họa:
Bài 1:
Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố
Giải
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , p3 , ... , pn trong đó pn là số nguyên tố lớn nhất.
Xét số N = p1.p2.p3...pn + 1 .Khi đó N chia mỗi số nguyên tố pi ( i = 1,n ) đều dư 1.( 1 )
Mặt khác vì N > pn nên N là hợp số ( N sẽ chia hết cho một số nguyên tố nào đó hay N chia hết cho một trong các số pi ( i = 1,n ). ( 2 )
Từ ( 1 ) & ( 2 ) ( Mâu thuẩn !
Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Bài 2:
Cho a, a + k, a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng tỏ rằng k chia hết cho 6. ( a, k ( N )
Giải
Vì a và a + k là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên a và a + k là hai số lẻ ( ( a + k ) – a chia hết cho 2 ( k chia hết cho 2 ( 1 )
Khi chia 3 số : a, a + k, a + 2k cho 3 thì do chúng là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta chỉ được các số dư là 1 hoặc 2.
Điều đó chứng tỏ : Trong 3 số a, a + k, a + 2k sẽ có hai số khi chia 3 có cùng dư
Nếu đó là hai số a, a + k thì ( a + k ) – a = k chia hết cho 3
Nếu đó là hai số a, a + 2k thì ( a + 2k ) – a = 2k chia hết cho 3
( k chia hết cho 3 ( vì 2,3 là hai số nguyên tố cùng nhau )
Nếu đó là hai số a + k, a + 2k thì ( a + 2k ) – ( a + k ) = k chia hết cho 3
Vậy trong trường hợp nào ta cũng có k chia hết cho 3 ( 2 )
Từ ( 1 ) & ( 2 ) , ta có k chia hết cho 6 ( vì 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau )
Bài 3:
Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên bất kỳ. Chứng tỏ rằng a và ab + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải
Giả sử d(ƯC( a, ab + 4 ) ( d(N* ) ( a chia hết cho d ( ab chia hết cho d
( ( ab + 4 ) – ab chia hết cho d hay 4 chia hết cho d ( d(Ư(4)={ 1, 2, 4 }
Nhưng do a là số lẻ nên a không chia hết cho d=2 hoặc d=4.
Vậy d=1, hay a và ab + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.


( Ta tiếp tục tìm hiểu thêm một số tính chất cơ bản về SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT
Một số tự nhiên A được gọi là một số chính phương khi nó là bình phương của một số tự nhiên. ( Định nghĩa trong khuôn khổ Lớp 6 )
Ví dụ: số 49 là một số chính phương vì 49 = 72 ( 49 là bình phương của số tự nhiên 7 )
Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ là một trong các chữ số : 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 9
( Đây là một tính chất quan trọng, đề nghị bạn đọc chú ý.! )
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Chứng minh:
Thật vậy , giả sử N là một số chính phương và N = a2
Khi đó phân tích a ra thừa số nguyên tố