Chuyên đề: hình bình hành.
Lý thuyết:
Định nghĩa: Hình bình hành là một tứ giác có các cạnh đối song song.
Nói cách khác: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song.
Tính chất:
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì ta luôn có:
+ AB//CD và AD//BC.
+ AB = CD và AD = BC.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
Một tứ giác là hình bình hành nếu có một trong các dấu hiệu sau:
+ Có các cạnh đối song song.
+ Có các cạnh đối bằng nhau.
+ Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
+ Có các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Bài tập:
Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD có góc A và góc D bằng 900 và AB = CD:2. Gọi H là hình chiếu của D lên AC, M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng: góc BMD = 900.
Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm của DH. Sau đó chứng minh: N là trực tâm của tam giác AMD và tứ giác ABMN là hình bình hành.
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A > 600. Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Dựng hình bình hành ADFE.
CMR: Tam giác FBC là tam giác đều.
Hướng dẫn: Chứng minh: góc BAC = góc BED = góc DFC = 600 + AED.
Suy ra: ∆ABC = ∆EBD = ∆FDC (c-g-c) suy ra BC = BD = DC.
Bài 3: Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy theo thứ tự đặt các đoạn MN và PQ sao cho: MN = PQ. Gọi R và S lầm lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MP và NQ. CMR: RS//Oz.
Hướng dẫn: Kẻ Rx’ //Ox, Ry’//Oy, Nn//MN, Qq//MN.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, có M và N là trung điểm các cạnh BC và CD. Chứng minh rằng: AM và AN chia đường chéo BD thành ba phần bằng nhau.
Hướng dẫn: Gọi giao điểm của AM, AN với BD là E và F. Chứng minh: E và F là trọng tâm của hai tam giác ABC và ADC.
Bài 5: Trong tứ giác ABCD, E và F là trung điểm của các cạnh AB và CD. M, N, P, Q là trung điểm của các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng: MNPQ là hình bình hành.
Hướng dẫn: Chứng minh MP, NQ, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi b và d là khoảng cách từ B và D đến một đường thẳng xy bất kỳ đi qua A. Tính khoảng cách từ C đến xy theo b và d.
Hướng dẫn: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, kẻ OO’ vuông góc với xy. Lấy OO’ là đoạn thẳng trung gian để tính.
Xét hai trường hợp:
+ xy không cắt BD: CC’ = 2OO’ = b + d.
+ xy cắt BD, giả sử b < d thì CC’ = 2OO’ = d - b.
Bài 7: