BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
•Ta kí hiệu x = (x1xn) với x1xn là các biến. Khi đó biểu thức f(x1xn) được viết gọn là f(x).
•Bất phương trình là hai biểu thức chứa biến nối với nhau bởi dấu bất đẳng thức.
•Trong bất phương trình f(x)
g(x) (*), thì x được gọi là ẩn số hoặc biến số của bất phương trình (*); Nếu các giá trị của các biến x1, x2, xn thuộc tập K thì (*) được gọi là bất phương trình của n ẩn x1, x2, xn trên K. Tập con S của Kn được gọi là tập xác định của bất phương trình (*) nếu f(a) và g(a) có nghĩa vói mọi a ∈ S.
• Nếu a
S làm cho f(a) ≤𝑔(𝑎) đúng, thì a được gọi là một ngiệm của bất phương trình (*). Nếu b ∈ S mà f(b) ≤𝑔(𝑏) không xảy ra thì b không là nghiệm của (*).
•Giải bất phương trình (*) trên tập con T của S là đi tìm tập hợp tất cả các nghiệm của (*) nằm trong T. Gỉa sử L là tập nghệm của (*) thì L có thể là tập hữu hạn hay vô hạn. Nếu L =
thì ta nói bất phương trình vô nghiệm trong T.


B.CÁC LOẠI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
I.Bất phương trình - Hệ bất phương trình bậc nhất:
Dạng 𝑎𝑥+𝑏>0 (bất phương trình bậc nhất một ẩn).
Phương pháp giải: 𝑎>0 thì tập nghiệm 𝐷
𝑥|𝑥−𝑏
𝑎
𝑎<0 thì tập nghiệm 𝐷
𝑥|𝑥−𝑏
𝑎

Ví dụ: 2𝑥+3>0⟺𝑥−3
2. Vậy 𝐷−3
2
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn là một khoảng hoặc nửa khoảng đóng hoặc mở.
Dạng 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐>0
𝑎
2
𝑏
2>0) (bất phương trình bậc nhất hai ẩn).
Phương pháp giải: Đường thẳng
𝑑:𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 chia mặt phẳng toạ độ thành hai miền
𝛼,(𝛽) bờ là đường thẳng (𝑑Mỗi miền ứng với bất phương trình 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐>0 hoặc 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐<0. Lấy điểm
𝑥
0
𝑦
0∈(𝛼) và xét dấu 𝑎
𝑥
0+𝑏
𝑦
0+𝑐>0 hoặc
𝑎
𝑥
0+𝑏
𝑦
0+𝑐<0.
Nếu 𝑎
𝑥
0+𝑏
𝑦
0+𝑐>0 thì (𝛼) là miền nghiệm của bất phương trình 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐>0.
Nếu 𝑎
𝑥
0+𝑏
𝑦
0+𝑐<0 thì (𝛽) là miền nghiềm của bất phương trình 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐<0.
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là nửa mặt phẳng.


Ví dụ: Giải hệ bất phương trình:
𝑥− 𝑦 >0
𝑥+ 𝑦−4<0
𝑥−2𝑦−1<0
Giải: Nghiệm là miền giới hạn bởi ∆𝐴𝐵𝐶 trừ các biên.
/
S
x,y:−1<𝑥<2
1
2
x−1<𝑦<𝑥
x,y:2<𝑥<3
1
2
x−1<𝑦<4−𝑥

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Giải hệ bất phương trình:
𝑥−2𝑦+8≥0
𝑥 +𝑦+2 ≥0
2𝑥−𝑦+4≤0

Tìm m hệ sau có nghiệm
𝑥−2𝑦+8≥0 (1
𝑥+𝑦+2≥0 (2
2𝑥−𝑦+4≤0 (3
𝑥
2
𝑦
2=𝑚 (4

Gợi ý: - Tập nghiệm bài toán 1 là miền giới hạn của ∆𝐴𝐵𝐶 kể cả biên.

/
- Chỉ xét 𝑚≥0
- (4) được biểu diễn bởi (0
𝑚)

Hệ có nghiệm ⟺𝑂𝐻
𝑚≤𝑚𝑎𝑥
𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶=𝑂𝐴
20
Đáp số: 𝑚
16
5;20;
Xét hệ bất phương trình:
2𝑥−𝑦+𝑎≤0 (1
6𝑥+3𝑦+5𝑎≥0 (2

Gọi
là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình trên. Trong mặt phẳng
𝑂𝑥𝑦, xét 𝐴
0;9, 𝐵