Chia đa thức

: phép chia
Ví dụ1: Chia đa thức f(x) = 3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x – 5 cho đa thức g(x) = 3x2 - 2x + 1

3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x – 5 3x2 - 2x + 1
3x4 – 2x3 + x2
– 6x3 – 11x2 + 8x – 5
- 6x3 + 4x2 – 2x
- 15 x2 + 10x – 5
- 15 x2 + 10x – 5
0
Vậy 3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x – 5 = (3x2 - 2x + 1)( x2 – 2x – 15)
Ví dụ2: Chia đa thức f(x) = x4 – 6x3 +16x2 - 22x + 15 cho đa thức g(x) = x2 - 2x + 3

x4 – 6x3 +16x2 - 22x + 15 x2 - 2x + 3
x4 - 4x3 + 6x2
- 2x3 - 10x2 - 22x + 15
-2x3 + 4x2 - 6x
- 14x2 - 16x + 15
- 14 x2+28x - 42
- 44x + 57

Vậy x4 – 6x3 +16x2 - 22x + 15 = (x2 - 2x + 3)( x2 – 2x - 14) + ( - 44x + 57)
BT: 1. (3x4 – 8x3 – 10x2 + 8x + 7): (x + 1)
(x4 – 6x3 +10x2 - 22x + 17 ) : ( x -1)
(- 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : ( -3x + 5)
Dạng 2: Xác định hệ số của biến
Ví dụ1: Xác định k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho g(x) = x2– x – 2
Giải

x4 – 9x3 + 21x2 + x + k x2 - x - 2
x4 - x3 - 2x2
- 8x3 + 23x2 + x + k
-8x3 + 8x2 + 16x
15x2 - 15x + k
15x2 - 15x - 30
k - 30

Để f(x) chia hết cho g(x) thì k + 30 = 0 suy ra k = - 30
Bài tập vận dụng: Tìm k để
f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho g(x) = x – 2
f(x) = x4 – 10x3 +27x2 + 8x + k chia hết cho g(x) = x + 2
f(x) = x4 – 19x3 + 25x2 - 6x + k chia hết cho g(x) = x – 3
f(x) = x4 – 8x3 + 24x2 + 7x + k chia hết cho g(x) = x + 4
f(x) = 3x4 – 7x3 + 11x2 + x -k chia hết cho g(x) = x – 4
f(x) = 4x4 – 13x3 + 23x2 + 18x - k chia hết cho g(x) = x + 4
Ví dụ 2: Xác định các hệ số a, b của f(x) = x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b để f(x) chia hết cho g(x) = x2 - 3x + 4
Giải
Thực hiện phép chia ta có
x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b x2 - 3x + 4
x4 – 3x3 + 4x2
x2 + ax + b
x2+ 3x – 4
(a – 3)x + b + 4

Để f(x) chia hết cho g(x) thì r = 0 với mọi giá trị của x . Vậy ta có
Bài tập:
1 . Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 chia hết cho g(x) = x2 – x + b
2. Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức f(x) = 2x4 – 6x3 + ax2 - 7x + 3 chia hết cho g(x) = x2 – x + b
Dạng 3: Tìm giá trị nguyên của ẩn .
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1
Giải:
Thực hiện phép chia ta có:
x3 - 3x2 - 3x - 1 x2 + x + 1
x3 + x2