UBND HUYỆN ĐỨC HÒA
TRƯỜNG THCS TÂN ĐỨC

TỔ TOÁN - TIN

CHUYÊN ĐỀ:

CÁC DẤU HIỆU
CHIA HẾT

ĐỨC HÒA, 2023

UBND HUYỆN ĐỨC HÒA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THCS TÂN

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỨC
Đức Hòa Hạ, ngày 19 tháng 10 năm 2023

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
I.

Đặt vấn đề:
Nhìn chung hứng thú học tập môn Toán của học sinh THCS vẫn còn

bị hạn chế, còn không ít các em sợ toán, coi việc học toán là một việc
nặng nhọc, căng thẳng. Nguyên nhân chính cho thực trạng trên có thể do
các em chưa thật sự nhận biết được tầm quan trọng và ý nghĩa của việc
học toán, chưa được kích thích hành động tích cực, sáng tạo trong quá
trình học và giải toán, cũng có thể nội dung Toán khô khan, phương pháp
dạy của giáo viên chưa hấp dẫn, ...
Dấu hiệu chia hết được áp dụng rất nhiều trong viêc giải toán. Qua
các năm được phân công giảng dạy toán lớp 6, trong quá trình giảng dạy
thấy các em vận dụng chưa linh hoạt, lập luận chưa chặt chẽ, có nhiều
thiếu sót trong quá trình làm. Để vận dụng linh hoạt phần dấu hiệu chia
hết học sinh cần nắm được chính xác các dấu hiệu chia hết, thành thục
các phép nhân chia ,... Tuy nhiên lượng bài tập này trong sách giáo khoa
rất ít về số lượng, và chất lượng bài tập cũng chưa phong phú, đa dạng,
giáo viên lại chưa có nhiều quỹ thời gian để củng cố mở rộng thêm cho
học sinh. Vậy nên Nhóm Toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này nhằm
mục đích giúp học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo về các dấu hiệu
chia hết thường gặp trong chương trình THCS đặc biệt là các dấu hiệu chia
hết cho 2, 3, 5, 9 đồng thời mở rộng thêm các dấu hiệu chia hết khác

thường gặp như dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 10 và 25 nhằm làm tăng khả
năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú cho học sinh tự tìm tòi
nghiên cứu thêm nhiều dấu hiệu chia hết khác nữa, cho các em thấy được
những ứng dụng của toán học trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn
nhanh và hiệu quả. Chính vì vậy chúng tôi chọn chuyên đề “Các dấu
hiệu chia hết”.

II.

Nội dung chuyên đề
Để học sinh hiểu rõ và vận dụng thành thục các dấu hiệu chia hết

vào các dạng bài tập khác nhau thì giải pháp hiệu quả nhất là giáo viên
sẽ hệ thống lại các dấu hiệu chia hết (thường gặp) và cho học sinh
luyện tập các dạng bài tập giúp học sinh có cơ hội thực hành làm quen,
vận dụng các dấu hiệu chia hết cho các bài học sau này.
Các bước tham khảo
Bước 1: Gợi nhớ và giới thiệu các dấu hiệu chia hết (thường
gặp).
Dấu hiệu chia hết cho 2:
Chữ số tận cùng là một số chẵn 0, 2, 4, 6, 8.
Ví dụ: 156 chia hết cho 2 bởi vì chữ sô tận cùng là một số
chẵn (6)
Dấu hiệu chia hết cho 3:
Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
Ví dụ: 156 chia hết cho 3 vì 1 + 5 + 6 = 12 và 12 chia hết cho
3 (12 : 3 = 4)
Dấu hiệu chia hết cho 4:
Hai chữ số cuối cùng của số đó tạo thành một số chia hết cho
4.

Ví dụ: 344 chia hết cho 4 bởi vì hai chữ số cuối tạo thành số
44 mà số 44 chia hết cho 4 (44 : 4 = 11)
Dấu hiệu chia hết cho 5:
Chữ số cuối cùng bằng “0” hoặc “5”.
Ví dụ: 615 chia hết cho 5 vì nó có chữ số tận cùng là 5
Dấu hiệu chia hết cho 6:
Số đó chia hết cho cả 2 và 3.
Ví dụ: 318 chia hết cho 6 vì nó chia hết cho cả 2 (tận cùng
bằng 8 – một số chẵn) và 3 (tổng các chữ số trong số là 3 + 1 + 8 =
12 chia hết cho 3)
Dấu hiệu chia hết cho 8:
Ba chữ số cuối của số đó tạo thành một số chia hết cho 8.
Ví dụ: 5240 chia hết cho 8 vì 3 chữ số cuối tạo thành 240 chia
hết cho 8 (240 : 8 = 30)
Dấu hiệu chia hết cho 9:
Tổng của các chữ số của số đó chia hết cho 9.
Ví dụ: 738 chia hết cho 9 vì 7 + 3 + 8 = 18 chia hết cho 9
(18 : 9 = 2)
Dấu hiệu chia hết cho 10:
Số đó tận cùng bằng 0.
Ví dụ: 730 chia hết cho 10 vì nó tận cùng bằng 0
Dấu hiệu chia hết cho 25:
Hai chữ số cuối của số đó tạo thành một số chia hết cho 25.
Ví dụ: 475 chia hết cho 25 vì hai chữ số cuối của nó (75) chia
hết cho 25.
 Chú ý:
-

Các số chia hết cho cả 2 và 5 là các số có chữ số tận cùng là 0.

-

Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
Một số chia hết cho 3 thì có thể không chia hết cho 9.
Bước 2: Giáo viên cho học sinh áp dụng các dấu hiệu chia hết
để làm các bài tập dạng trắc nghiệm, học sinh sẽ được vận
dụng những dấu hiệu chia hết vừa nêu trên nhiều lần, các
em sẽ nhớ lâu hơn thay vì phải học thuộc một cách máy móc.
 Một số bài tập trắc nghiệm

Câu 1.

Xét số

thay * bởi chữ số nào thì

A.
Câu 2.

. B.

Cho các số

Câu 4.

Câu 5.

.

B.

Cho các số
A.

C.

.

. Số chia hết cho

A.
Câu 3.

.

chia hết cho

.

B.

.

C.

C.

.

là?
.

. Số chia hết cho
.

D.

D.

.

là?
.

D.

.

Trong các khẳng định dưới đây. Khẳng định sai là
A. Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho

.

B. Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho

.

C. Một số chia hết cho 10 thì số đó chia hết cho

.

D. Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho

.

Từ ba trong bốn số 5, 6, 3, 0 hãy ghép thành số có ba chữ số khác
nhau là số lớn nhất chia hết cho 2 và 5
A.

Câu 6.

B.

.

Trong các số
A.

Câu 7.

.

.

C.

.

D.

.

số chia hết cho 9 là
B. 360.

C. 1617.

Trong các số sau, số chia hết cho cả

và

là

D. 152.

A. 1125.

B. 1140.

Tìm các chữ số

Câu 8.

biết rằng

A.

đó

D. 2021.

chia hết cho

. B.

Cho

Câu 9.

C. 2020.

.

C.

và
.

D.

.

chia hết cho 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2. Khi
là
A. 3.

B. 0.

C. -3.

Câu 10. Viết các số tự nhiên liên tiếp từ

đến

D. 1.
ta được số A. Khi đó tổng

tất cả các chữ số của A chia hết cho
A.

và

.

B.

và

.

C.

Câu 11. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

.

D.

để để được số

.
chia hết

cho
A.

. B.

.

C.

.

D.

.
Câu 12. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

để để được số

chia hết

cho
A.

.

B.

.

C.

Câu 13. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

.

D.

để để được số

.
chia hết

cho
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Câu 14. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

cho

để để được số

chia hết

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 15. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

cho

để để được số

chia hết

.
A.

.

B.

.

C.

Câu 16. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

cho cả

D.

.

để để được số

chia hết

và

A.

.

B.

.

C.

Câu 17. Tìm tập hợp các chữ số điền vào dấu

cho cả

.

và

A.

.

D.

.

để để được số

chia hết

.

.

B.

Câu 18. Tìm hai chữ số

A.

.

và
.

sao cho số

B.

Câu 19. Dùng ba chữ số

C.

.

D.

chia hết cho cả

.

C.

.

.
;

;

và

D.

.
.

. Em ghép được bao nhiêu số tự nhiên có ba

chữ số khác nhau và chia hết cho 5
A. .

B.

.

C. .

Câu 20. Dùng ba trong bốn chữ số

D.

.

. Em ghép được bao nhiêu số tự

nhiên có ba chữ số khác nhau và và số đó chia hết cho
không chia hết cho
A. .

.

B.

Câu 21. Các số tự nhiên từ

A.

.

mà

.

C. .

đến
B.

D. .

có bao nhiêu số chia hết cho
.

C.

.

D.

BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

.

.

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
B

D

D

B

C

A

D

A

A

A

 Bài tập tự luận
Sau khi đã luyện tập qua các bài tập trắc nghiệm học sinh đã một
phần nào đó nắm được các dấu hiệu, giáo viên tiếp tục rèn luyện thêm
bằng các bài tập tự luận sau đây.
a) Dạng bài tập cơ bản vận dụng các dấu hiệu chia hết
Câu 1: Hãy xác định mỗi số dưới đây chia hết cho những số nào trong các
số 2, 3, 4, 5, 6, 9 và 10
1) 342

2) 270

3) 297

4) 999

5) 1430

6) 1222

7) 5940

8) 343

9) 720

10)

7

92
(Ví dụ: 126 chia hết cho 2, 3, 6 và 9; 380 chia hết cho 2, 4, 5 và 10)
Câu 2: Điền chữ số còn thiếu để tạo thành một số chia hết cho 9.
9 4
Câu 3: Điền chữ số còn thiếu để tạo thành một số không chia hết cho 9.
3 5
Câu 4: Viết một số có 3 chữ số, sao cho số đó chia hết cho 3 và 5 nhưng
không chia hết cho 9 và 10.

Câu 5: Viết một số có 4 chữ số, sao cho số đó không chia hết cho cả 2, 3
và 5.

Câu 6: Trong các số sau:
57 ; 0 ; 63 ; 496 ; 11 ; 9458 ; 2 ; 46 ; 3000 ; 68 451.
i)

Số nào chia hết cho 2?

ii)

Số nào không chia hết cho 2?

Câu 7:
i)

Viết số chẵn thích hợp vào chỗ trống:
1532 ; 1534 ; 1536 ; ________;________;________; 1544

ii)

Viết số lẻ thích hợp vào chỗ trống:
2085 ; 2087 ; 2089 ; ________;________;________; 2097

Câu 8: Trong các số sau:
32566 ; 4557; 7584; 578 ; 93 ; 3456 ; 66 ; 100
i)

Số nào chia hết cho 3?

ii)

Số nào không chia hết cho 3?

Câu 9: Viết số chia hết cho 3 thích hợp vào chỗ trống:
i)

413 < ______< 417.

ii)

2001 < ______< 2005.

iii)

603 ; 606 ; 609 ; _____; _____; _____; 621.

Câu 10: Trong các số sau:
6524 ; 85 ; 359 ; 111 ; 10 ; 30956 ; 2365.
i)

Số nào chia hết cho 5?

ii)

Số nào không chia hết cho 5?

Câu 11: Viết số chia hết cho 5 thích hợp vào chỗ chấm:
i)

234 < ______< 240.

ii)

4206 < ______< 4214.

iii)

750 ; 755 ; 760 ; ______; ______; ______; 780.

Câu 12: Trong các số sau:
939 ; 207 ; 33 ; 34863 ; 1845 ; 11 ; 9504.
i)

Số nào chia hết cho 9?

ii)

Số nào không chia hết cho 9?

Câu 13: Điền chữ số thích hợp vào chỗ trống để được số chia hết cho 9.
35__

;

94__

;

__27

;

4__3

Câu 14: Trong các số sau:
3562 ; 20 ; 55 ; 780 ; 574 ; 10 ; 6875 ; 8 ; 2000
i)

Số nào vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 2?

ii)

Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2?

Câu 15: Trong các số sau:
624 ; 807 ; 320 ; 240 ; 2842 ; 17255 ; 57210.
i)

Số nào vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5?

ii)

Số nào chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5?

iii)

Số nào chia hết cho 2; 3 và 5?

Câu 16: Viết số chia hết cho cả 2 và 3 thích hợp vào chỗ trống:
i)

756 <_______< 765.

ii)

5001 < _______ < 5009.

Câu 17: Hãy cho biết mỗi số dưới đây chia hết cho số nào trong các số 2;
3; 5; 9
1) 432

2) 270

3) 387

4) 343

5) 297

6) 720

7) 972

8) 212

9) 325

10)

2

0

5

490

Câu 18: Hãy xác định mỗi số dưới đây chia hết cho những số nào trong
các số 2, 3, 4, 5, 6, 9 và 10.
1) 20

2) 14

3) 20

4) 45

5) 51

01

40

25

90

00

6) 91

7) 24

8) 79

9) 41

0

7

8

8

10)
975

Câu 19: Điền chữ số còn thiếu để tạo thành một số chia hết cho 9.
2 4
Câu 20: Điền chữ số còn thiếu để tạo thành một số không chia hết cho 9.
5 4
Câu 21: Điền chữ số thích hợp vào chỗ trống sao cho số tạo thành:
i)
ii)

50__
73__

không chia hết cho 9.
chia hết cho 5.

iii)

8__5

chia hết cho 3.

iv)

49__

chia hết cho 3 và chia hết cho 2.

v)

5973__

không chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9.

Câu 22: Trong các số sau:
95 ; 225; 396 ; 750 ; 1125 ; 3240 ; 3146 ; 9252 ; 41200 ; 8031672.
i)

Số nào chia hết cho 9.

ii)

Số nào vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 5.

iii)

Số nào chia hết cho cả 2; 3 và 5.

iv)

Số nào chia hết cho 6.

v)

Số nào chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 5?

Câu 23: Tôi là một số nhỏ hơn 34 nhưng lớn hơn 20. Tôi có thể chia hết
cho 3, nhưng tôi không thể chia hết cho 9. Tôi cũng không thể chia hết
cho 2. Vậy đố các bạn, tôi có thể là những số nào?

Câu 24: Viết một số có ba chữ số khác nhau sao cho số đó:
i)

Chia hết cho cả 2 và 3.

ii)

Chia hết cho cả 2 và 5.

iii)

Chia hết cho cả 3 và 5.

Câu 25: Tìm các số nằm giữa 560 và 590 và chia hết cho 5. Trong các số
vừa tìm được những số nào chia hết cho 3.
Câu 26: Tôi là một số có hai chữ số và tôi nhỏ hơn một nửa của 120. Tôi
có thể chia hết cho 5 nhưng không thể chia hết cho 2. Tôi cũng có thể
chia hết cho 3. Vậy đố các bạn, tôi có thể là những số nào?
Câu 27: Tôi là một số lớn hơn 99 và nhỏ hơn 129. Tôi chia hết cho 3 và
cho 5. Nhưng tôi không chia hết cho 6. Đố các bạn, tôi có thể là những số
nào?
b) Dạng toán thực tế
Sau khi học sinh đã thực hiện xong các bài tập vận dụng trên giáo
viên tiếp tục nâng cao mở rộng thêm cho các em sử dụng các dấu hiệu
chia hết để giải quyết các tình huống thực tế liên quan.
Câu 1: Hãy dùng dấu hiệu chia hết (không đặt phép tính) để giải các bài
toán sau đây.
i) 825 mẩu bánh mì có thể chia đều hết cho 25 chú chim hay không? Tại
sao?
ii) Một nhà máy sản xuất 14532 sản phẩm. Họ muốn đóng gói chúng, cứ
10 món vào một hộp. Hỏi có sản phẩm nào dư ra hay không? Tại sao?
Câu 2: Hãy dùng dấu hiệu chia hết (không đặt phép tính) để giải các bài
toán sau đây.
i) Một nhà máy sản xuất 27320 sản phẩm. Họ muốn đóng gói chúng, cứ 6
món vào một hộp. Hỏi liệu có sản phẩm nào dư ra hay không? Tại sao?

ii) Tôi là một số nhỏ hơn 41 nhưng lớn hơn 28. Tôi chia hết cho 3 nhưng tôi
không chia hết cho 9 và 10. Tôi cũng không chia hết cho 2. Đố các bạn,
tôi có thể là những số nào?
Câu 3: Đèn xanh bật sáng mỗi 7 giây, đèn vàng bật sáng mỗi 5 giây và
đèn đỏ bật sáng mỗi 9 giây. Nếu cả ba đèn trên đều bật sáng lần đầu tiên
cùng lúc, thì sau bao lâu cả ba đèn lại bật sáng cùng một lúc lần thứ hai?
Câu 4: Một nhà sản xuất đồ chơi có 12354 món đồ chơi nhỏ. Ông ấy
muốn đóng gói chúng, cứ 6 món vào một hộp. Hỏi ông ấy còn dư lại món
nào đồ chơi nào không được đóng gói hay không? Tại sao?
Câu 5: Một nhà máy sản xuất 24010 sản phẩm. Họ muốn đóng gói chúng
theo những nhóm 5 sản phẩm vào một hộp. Hỏi liệu có sản phẩm nào dư
ra, không được đóng gói hay không? Không thực hiện phép tính, hãy giải
thích tại sao?
Câu 6: Hải có số bánh nhiều hơn 12 cái và ít hơn 25 cái. Biết rằng, nếu
Hải đem chia đều số bánh cho 2 bạn hoặc chia đều cho 5 bạn thì cũng vừa
hết. Hỏi Hải có bao nhiêu cái bánh?
Câu 7: Cửa hàng văn phòng phẩm có 45312 cái bút chì cần đóng vào một
trong các loại hộp 2 cái, 3 cái và 9 cái. Hỏi cửa hàng nên đóng bút chì vào
loại hộp nào để sử dụng số hộp ít nhất và không bị dư ra cái bút nào?
Câu 8: Lớp 6A có nhiều hơn 35 học sinh và ít hơn 60 học sinh. Nếu học
sinh trong lớp xếp đều thành 3 hàng hoặc thành 5 hàng thì không thừa,
không thiếu bạn nào. Hỏi lớp 6A có bao nhiêu học sinh?
Câu 9: Có 15218 cây cao su con được trồng lại. Nếu chúng được trồng
thành hàng, mỗi hàng có 18 cây, hỏi liệu có cây nào dư ra không? Hãy
dùng dấu hiệu chia hết giải thích tại sao? Nếu có dư ra, hãy cho biết số
cây dư ra là bao nhiêu?
III.

Kết luận:

Trên đây là vài gợi ý chúng tôi đã từng dùng để hướng dẫn học sinh
làm tốt các dạng bài tập về dấu hiệu chia hết. Chuyên đề đã hệ thống
lại một vài dấu hiệu chia hết thường gặp, cụ thể là dấu hiệu chia hết
cho 2, 3, 4, 5, 6, 9,10 và 25. Những dạng bài tập nêu trên đây được áp
dụng trong các tiết luyện tập hoặc giáo viên có thể sử dụng như một
phiếu bài tập. Có thể áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh, rèn
luyện và phát triển kĩ năng, tư duy liên quan đến dấu hiệu chia hết,
giúp học sinh vận dụng các nội dung của toán học vào việc giải quyết
các tình huống xuất hiện trong cuộc sống xung quanh, kích thích sự tò
mò tìm hiểu thêm nhiều dấu hiệu chia hết nữa.
Các dấu hiệu chia hết và ứng dụng của chúng trong việc giải toán là
vấn đề lớn, học sinh ít khi thấy được những lợi ích ẩn bên trong của
việc ứng dụng dấu hiệu chia hết vì vậy đòi hỏi ở người giáo viên phải có
phương pháp thích hợp, các dạng bài tập vừa đa dạng vừa gần gũi với
thực tiễn kích thích được nhu cầu tìm hiểu them của các em. Để làm
được điều đó trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị
chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu
bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng
thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các
em. Cần kiểm tra thường xuyên, đánh giá kết quả học tập, bổ sung
thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, logic
giữa các bài tập khác nhau.
Bài học rút ra như sau:
- Đối với giáo viên:
+ Xác định rõ từng dạng toán đồng thời thấy được mối quan hệ của
những bài tập theo một trình tự hợp lý, lôgic để dạy cho học sinh.
+ Dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng
cao, đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa về dạng toán đã biết.
+ Hướng cho học sinh tìm ra hướng đi phù hợp để giải bài toán.
- Đối với học sinh:

Rèn luyện ý thức tự giác, tự suy nghĩ, tự tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo
trong giải toán nếu có vướng mắc thì trao đổi cùng bạn bè, thầy cô.
- Đối với nhà trường: Cần phân loại học sinh để phụ đạo phù hợp.
Tóm lại, vì tính chất đặc thù của môn học lí thuyết lồng ghép vào trong
bài tập. Muốn giải
bài tập bắt buộc học sinh phải nắm vững lí thuyết, nên quá trình ôn tập
không nhất thiết phải phân biệt rõ ràng giữa lí thuyết và bài tập mà
phải từ bài tập kiểm tra lí thuyết và ngược lại kiểm tra lí thuyết là vận
dụng ngay để làm bài tập. Quá trình phân loại và hình thành cách giải
của từng dạng bài tập trên khi được nhắc lại là tự bản thân học sinh
phải nắm được lí thuyết đã học.
Vừa giải bài tập, chúng ta vừa ôn lại kiến thức cho học sinh. Như vậy
tiết ôn tập không là
một tiết luyện tập mà được hệ thống lại toàn bộ kiến thức thông qua
các dạng bài tập đã học.
Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề, song không tránh khỏi
thiếu sót, rất mong
các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề có khả năng
áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!