Bài toán số 1:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các điểm E, D thuộc các cạnh AB, AC sao cho AE =
AB và AD =
AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy.
Phân tích bài toán:

MB = MC
GT AE =
AB
AD =
AC

KL AM, BD, CE đồng quy

Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để chứng minh được AM, BD và CE đồng quy, chẳng hạn như gọi O là giao điểm của OM và BD, khi đó ta dễ dàng nhận ra O là trung điểm của AM. Ta chỉ cần chứng minh CE phải đi qua O bằng cách nhận xét MK là đường trung bình của tam giác EBC và EO là đường trung bình của tam giác AKM .
Lời giải (tóm tắt):
Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB.
Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC.
Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có : MQ // BD
Xét tam giác AMQ có:



OA = OM vậy O là trung điểm của AM
Chứng minh tương tự ta có CE qua trung điểm O của AM.
Vậy AM, BD và CE đồng quy tại O
3. Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Với giả thiết của bài toán 1 ta đã chứng minh được O là trung điểm của trung tuyến AM, vấn đề đặt ra là nếu có O là trung điểm của trung tuyến AM và AM, BD,CE đồng quy tại O,ta có thể chứng minh được


và
không? từ đó ta có bài toán khác.

Bài toán số 2:

Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB ; Ax cắt By tại D. nối BD, BD cắt AC tại B’ qua B’ kẻ đường thẳng song song vói AD cắt AB tại C’ gọi A’ là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ cùng đi qua 1 điểm.
:
Hướng dẫn giải:

ABC, A’ là trung điểm BC
AD // BC, DC // AB
GT B’C’ // AD

KL AA’, BB’, CC’; cùng đi qua một điểm
















Xét
B’AD và
B’CB có
(AD// BC)
AD = BC ( tính chất đoạn chắn )
( AD// BC)
Vậy
B’AD =
B’CB ( g. c . g)
Suy ra AB’ = B’C
C’B’// AD ( gt) và AD//BC(gt)
Suy ra C’B’//BC

ABC có C’B’ // BC và AB’ // B’C
Su ra AC’ = C’B

ABC có AA’, BB’ , CC’ là trung tuyến nên AA’, BB’ ,CC’ cùng đi qua một điểm.

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy các điểm D và E sao cho

BD = BA , CE = CA.
chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD cùng đi qua 1 điểm.

Hướng dẫn giải:


GT


KL AH, BE, CD đồng quy.




















Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC.
Gọi M là giao điểm của IB và DC
Xét
ABI và
BDC có
BA = BD (gt);
( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
AI = BC (gt)

Vậy
ABI =
DBC ( c. g .c)
Suy ra

Mà

Suy ra


DBM có
nên

Vậy IB
DC
Chứng minh tương tự ta cũng có BE
IC

BIC có IH, CD, BE là ba đường cao nên IH,CD, BE đồng quy.



Bài toán số 4:


Cho hai đường thẳng cắt nhau tại O. trên đường thẳng thứ nhất lấy ba điểm A,B,C saôch : OA = AB = BC.
Trên đường thẳng thứ hai lấy ba điểm D,E,F sao cho : OD OE = EF
Chứng minh rằng AD, BF,CE cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải:


GT a cắt b, OA = AB = BC
OD= OE = EF