Các nhà toán học Đức


GOTTRIT VINGEM LEPNIT (1646- 1716)
Hồi thế kỉ thứ 17 ,ở châu Âu có cuộc tranh luận lớn ,vượt ra ngoài phạm quy một nước về một phát minh toán học . Ai là người đầu tiên phát hiện ra phép tính vi phân và tích phân ? Niutơn hay Lepnit ? Đó là vấn đề được tranh cãi hết sức sôi nổi trong nhiều năm và còn tiếp diễn trong những năm của thế kỉ sau nữa .Tham gia cuộc tranh cãi này không chỉ có các nhà khoa học ,nhiều người thuộc các giới khác cũng nhiệt tình không kém .Ngày nay ,người ta đều thống nhất rằng : Niutơn và Lepnit độc lập với nhau .Đều là tác giả của phát minh nỗi tiếng trên . Niutơn sớm hơn Lepnít,nhưng cách giải quyết vấn đề của toán học cao cấp rõ ràng hơn , kí hiệu ,ngôn ngữ sáng sủa hơn lại là công của Lepnit . Danh từ " vi phân " ,"tích phân " ,kí hiệu là y` = dy/dx ( đạo hàm của y(x)..) chính do Lepnit nêu ra .
Lepnit sinh ở Lepdich ( Đức ) ngày 1-7-1646 ( trẻ hơn Niutơn 4 tuổi ) và mất ngày 14-11-1716 ở Hanôvơ .
Lepnít là con một giáo sư trường Đại học Lepdich ,nhưng mồ côi cha từ năm lên 6 .Mẹ ông một người đàn bà thông minh tháo vát đã đảm nhận việc nuôi dạy ông với ý chí quyết tâm nuôi dạy con thành bác học . Ngay sau khi chồng chết bà sinh cho con học ở trong những trường tốt nhất ở Lepdich . Chính ở đây khả năng sáng tạo xuất hiện khá sớm ở Lepnit - đã được bồi dưỡng phát huy đầy đủ .
Mặc dù mồ côi cha từ nhỏ ,Lepnit cũng đã thừa hưởng ở cha lòng ham học .Ngay từ nhỏ ,ngoài giờ học ở trường cậu bé Lepnit miệt mài đọc sách trong thư viện của cha .Lépnit tự học tiếng La Tinh đến năm 12 tuổi thì làm được thơ bằng thứ tiếng " hóc búa" này .Và cũng từ đó chuyển sang tự học tiếng Hi Lạp .Khi còn là cậu bé 14 tuổi Lepnít đã suy nghĩ liên miên về những vấn đề của Logich ,và ngay từ hồi đó đã đi đến kết luận rằng bài toán chân thực nhất của Lôgich là phân loại tư duy của con người .Trong những năm còn ngồi trên ghế trường phổ thông Lepnít đã mơ ước xây dựng một ngôn ngữ chung cho mọi khoa học .Ước mơ táo bạo này đưa Lépnít sống vượt thời đại mình hai thế kỉ .Ông đã đặt những viên gạch đầu tiên cho Lôgich toán hiện đại . Lépnit vốn là một nhà luật học năm 1666 khi Niutơn đang đắm chìm trong những suy nghĩ không dứt ,thai nghén cho sự ra đời của sự ra đời của phép tính vi tích phân và định luật vạn vật hấp dẫn thì Lepnít viết luận án chuẩn bị thi tiến sĩ luật .Nhưng ông còn trẻ quá ! Đó là lý do người ta nêu ra để từ chối cấp học vị tiến sĩ cho Lepnit .Song nguyên nhân chủ yếu của việc thi trượt chính lại vì ông biết luật nhiều hơn số đông giáo sư luật của trường Đại học Lepdich . Trong những năm đầu của thời sinh viên , Lepnit đọc rất nhiều sách triết ,và ông hiểu rằng để hiểu triết học " tự nhiên" của Keplê ,Galilê , và Đềcác thì không thể không biết toán học .Cho nên ông đã nghe giảng toán .Song ông chỉ bắt đầu học toán bắt đầu vào năm 1672 ,dưới sự hướng dẫn của Huyghen ( 1629- 1695 ) và cũng từ đó thiên tài của Lepnit mới bắt đầu thực sự biểu lộ trong toán học .Cho nên ông đã nghe giảng toán .Ngay trong những năm đầu sáng tạo toán học ,Lepnít đã làm ra máy tính và máy tích phân gần đúng . Phép tính vi tích phân là công trình lớn nhất của Lepnit . Chính bằng những phương trình của phép tính này Lepnít đã giải quyết được hàng loạt vấn đề mà các nhà bác học khác cùng thời không làm nổi . Những người cùng thời kể lại rằng ,Lepnít người tầm thước gầy và xấu trai .Ông thường đeo bộ tóc giả màu đen và vì vậy đã xanh càng thêm xanh .Và như người ta nói ,ông không có tướng " bác học ".Một lần lúc còn ở Pari ,khi Lepnít hỏi mua một tác phẩm triết ở một hiệu sách thì người bán hàng ngắm ông từ đầu đến chân rồi hỏi : " Ông mua để làm gì ? " .Lepnit chưa kịp trả lời thì ,ngẫu nhiên tác giả quyển sách ấy bước vào và lớn tiếng : " Kính chào Lepnit vĩ đại ! " Người bán sách vô cùng ngạc nhiên .Anh ta không bao giờ ngờ dược rằng người đàn ông gầy gò xấu xí này lại chính là Lepnit ,người được các bác học Pari hết lòng khâm phục .
Có thể nói ,nhiệt tình tự học và lòng say mê phát minh là những nét đặc trưng lớn của Lepnit .Chính ông đã viết "có hai điều đem lại cho tôi lợi ích nhất . Trước hết thẳng thắn mà nói ,tôi đã tự học mọi khoa học .Điều thứ hai là tôi luôn luôn lao vào tìm kiếm những điều mới mẻ ngay lúc vừa mới hiểu được những khái niệm đầu tiên của mỗi khoa học ..." Bất kì ở đâu ,bất kì lúc nào và bất kể những điều kiện như thế nào Lepnit vẫn đọc ,viết và suy nghĩ ,sáng tạo không ngừng . Ông đã viết phần lớn tác phẩm toán học ngay trên chiếc xe ngựa chạy dọc những con đường "bò đi " của châu Âu ở thế kỉ 17 .Và kết quả của sự lao động không ngừng ấy để lại cho đời sau những công trình bất hủ . Lepnit không chỉ là một nhà toán học vĩ đại .Ông còn là luật gia , nhà thơ ,nhà văn ,sử gia ...


Gauss Thời tuổi trẻ
Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy. [1]
Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn. Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau. Thời trung niên
Bìa quyển sách Disquistiones ArithmeticaeTrong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.
Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng 12, 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó. Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa." Vào thời điểm này Gauss tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông ngờ rằng sự dàn xếp này không được bảo đảm, mặt khác cho rằng công sức của ông đối với toán học thuần túy không xứng đáng được chu cấp như vậy. Vì thế, ông đã tìm việc trong ngành thiên văn học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại của cuộc đời.
Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo. Gauss,