7 класс
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рублей. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже: две тетради или одна ручка? Ответ обоснуйте.
Ответ: ручка стоит дороже.
Обозначим цены тетради, ручки и карандаша через Т, Р и К соответственно. Тогда: Т + Р + К = 120 (1) и 5Т + 2Р + 3К = 350 (2). Умножив обе части уравнения (1) на 3, получим: 3Т + 3Р + 3К = 360. Вычтем это уравнение из уравнения (2): 2Т – Р = –10.
Следовательно, одна ручка на 10 рублей дороже, чем две тетради.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены словесно – без выписывания уравнений в явном виде.


Рис. 1
1.2. В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если (KDE = 70(, (DKF = 140(. Ответ обоснуйте.
Ответ: 70(; 90( и 20(.
Так как угол DKF – внешний для треугольника DKÅ, то (DЕK = (DKF – (KDE = 70( (см. рис. 1). Значит, треугольник DKÅ – равнобедренный: DK = EK = FK.
Таким образом, медиана DK треугольника DEF равна половине стороны EF, к которой она проведена, поэтому этот треугольник – прямоугольный: (EDF = 90(. Следовательно, (DFE = 180( – ((DЕF + (EDF) = 20(.
1.3. Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7 и записывается четырьмя различными цифрами. Ответ обоснуйте.
Ответ: 9870.
Выберем последовательно наибольшие возможные значения в разрядах тысяч, сотен и десятков, то есть будем искать число вида
. Число 987 делится на 7, значит, а должно делится на 7. Так как значение а = 7 выбрать нельзя, то а = 0. Число 9870 – искомое.


Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Число
записали в виде несократимой дроби. Найдите ее знаменатель. Ответ обоснуйте. (Напомним, что 100! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до 100.)
Ответ: 526.
Так как 1050 = 250(550, то для ответа на вопрос задачи надо выяснить, какие из этих ста простых множителей сократятся.
Заметим, что 100! = 1(2(...(99(100 содержит 50 четных чисел, значит, в разложении числа 100! на простые множители не меньше, чем 50 двоек. Следовательно, 250 сократится.


Среди всех натуральных чисел от 1 до 100 ровно двадцать чисел делятся на 5 и ровно четыре из них делятся на 25. Значит, в разложении числа 100! на простые множители число 5 содержится с показателем степени 24. Сократив дробь на 524, получим в знаменателе 526.
2.2. Покажите, как разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами.
Ответ: см. рис. 2.
Показанный способ разрезания можно придумать, исходя, например, из следующих соображений. Площадь данной фигуры – 36 клеток, поэтому каждая из частей, полученных по результатам разрезания, должна иметь площадь 4,5 клетки. Значит, разрезать по границам клеток смысла не имеет. Кроме того, чтобы получить восемь равных фигур, разрезы должны проходить по диагоналям четырех прямоугольников с границами на сетке


Рис. 2




2.3. По кругу стоят 12 детей. Мальчики всегда говорят правду мальчикам и врут девочкам, а девочки всегда говорят правду девочкам и врут мальчикам. Каждый из них сказал одну фразу своему соседу справа: «Ты – мальчик» или «Ты – девочка». Таких фраз оказалось поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек стоит по кругу? Ответ обоснуйте.
Ответ: 6 мальчиков и 6 девочек.
Из условия задачи следует, что каждый мальчик произносил одну и ту же фразу: «Ты – мальчик». Действительно, если его сосед справа – мальчик, то он этой фразой говорил правду, а если это девочка, то он этой фразой лгал. Аналогичное рассуждение показывает, что каждая девочка говорила только фразу: «Ты – девочка».
Так как этих фраз было произнесено поровну, то по кругу стоят 6 мальчиков и 6 девочек.


Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).


Рис. 3
3.1. Два поезда, в каждом из которых по 20 одинаковых вагонов, двигались навстречу друг другу по параллельным путям с постоянными скоростями. Ровно через 36 секунд после встречи их первых вагонов пассажир Вова, сидя в купе четвертого вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Олегом, а еще через 44 секунды последние вагоны поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Олег? Ответ обоснуйте.
Ответ: в 15 вагоне.
Будем считать, что первый поезд (в котором ехал Вова) неподвижен. Тогда другой поезд двигался относительно первого, преодолевая расстояние, равное 20 + 20 = 40 вагонам за 36 + 44 = 80 секунд, то есть со скоростью 0,5 вагона в секунду.
От момента встречи первых вагонов поездов до момента, когда Олег поравнялся с Вовой