Báo cáo chuyên đề tháng 1
Ngày: 17/ 01/2017
Giáo viên báo cáo: Trần Đình Phú

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT SỐ DẠNG BIỂU THỨC ÁP DỤNG VÀO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
A. Các kiến thức thường sử dụng:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức:
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
+
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab
0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu
thì min y = a khi f(x) = 0.
Nếu
thì max y = a khi f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị”
B. Các dạng toán và cách giải:
Dạng 1: Các bài toán mà biểu thức là một đa thức.
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)


Giải:
a) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36
-36

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
b)

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
2

Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Max A = 21 khi x = -4.
Bài toán 2: Tìm GTNN của các biểu thức




Giải:
a)

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)
0 hay



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)
0 hay

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi
.
b)

Đặt
thì t
0
Do đó N = t2 – 3t + 2 =

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Do đó
khi

Vậy min
hay
.
Bài toán 3: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2




Ngoài ra: x + y = 1
x2 + y2 + 2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó
và

Ta có:
và

Do đó
và dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của

Bài toán 4: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0


Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN của x2 + y2 =

GTNN của x2 + y2 =

Bài toán 5: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì
)
Dấu “=” có thể