Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho một hàm số f(x) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm a ( K.
Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn)(xn ( K, xn( a, ( n ( N* ) sao cho khi

Ta viết

Một số định lí về giới hạn của hàm số:
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
Nếu hai hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần đến a thì:


Các giới hạn cơ bản:




Ví dụ: Tính


Tính:










Tính giới hạn của hàm phân thức:
Cho hàm số ở dạng phân thức:

Nếu hàm số xác định tại x = a thì

Nếu P(a) ( 0 và Q(a) = 0 thì
(hàm số không có giới hạn).
Nếu P(a) = 0 và Q(a) = 0 (dạng vô định
), ta phân tích các đa thức P(x) và Q(x) thành nhân tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x – a. Sau đó tính giới hạn bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản.
Ví dụ:



Tính:



Tính giới hạn của hàm phân thức:
Cho hàm số ở dạng phân thức:

Nếu P(a) ( 0 và Q(a) = 0 thì
(hàm số không có giới hạn).
Ví dụ: Tính

Giải: Vì khi x = 2 thì x + 1 = 3 ( 0 và x – 2 = 0, nên


Tính:







Tính giới hạn của hàm phân thức dạng vô định
:
Cho hàm số ở dạng phân thức:

Nếu P(a) = Q(a) = 0, ta phân tích các đa thức P(x) và Q(x) thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho x – a, sau đó tính giới hạn.
Ví dụ:



Tính:












Thực hiện phép chia Hócnơ:
Cho đa thức f(x) = x4 – 3x3 – x + 10, ta có f(2) = 0 (x0 = 2 là một nghiệm của đa thức).
Bước 1: Viết tất cả các hệ số của đa thức theo thứ tự hệ số của số mũ giảm dần trên cùng một hàng (bỏ trống ở cột đầu tiên).
f(x) = x4 – 3x3 + 0x2 – x + 10

1
–3
0
–1
10








Bước 2:Viết giá trị nghiệm vào ô đầu tiên ở hàng 2 (sụt ra một cột so với hàng đầu), ô thứ 2 hàng 2 ta viết lại giá trị ở ô thứ 2 hàng 1.

1
–3
0
–1
10

2
1





Bước 3: Ta tính các giá trị ở các cột còn lại bằng cách: Lấy nghiệm nhân với giá trị trong ô đứng trước và cộng với giá trị của ô trên đầu.

1
–3
0
–1
10

2
1
2.1 – 3 = – 1
–1.2 + 0 = –2
–2.2 – 1 = –5
–5.2 + 10 = 0

Lưu ý: Giá trị của ô cuối cùng luôn là 0 khi ô đầu tiên là nghiệm của đa thức. Lúc này f(x) được viết dưới dạng:
f(x) = (x – x0)Q(x), với Q(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) là 1 và các hệ số được lấy theo thứ tự từ ô thứ 2 đến ô áp cuối ở hàng thứ 2 trong bảng kết quả trên.
Vậy: f(x) = x4 – 3x3 – x + 10 = (x – 2)(x3 – x2 – 2x – 5)

 Sử dụng phương pháp chia Hócnơ phân tích đa thức sau giống như ví dụ trên (giá trị x0 là nghiệm được ghi trong ngoặc).
f(x) =– 2x2 + 3x + 2 (x0 = 2)
f(x) =(x – 2) . ( )
f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 2 (x0 = 1)
f(x) =(x – 1) .