Giới hạn của dãy số:
Kí hiệu:
(un) có giới hạn là a được viết là
hoặc

Định nghĩa:

Ta nói (un) có giới hạn là a nếu với mọi số dương ( cho trước, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0 thì

Các giới hạn cơ bản:






Ví dụ:







Nhắc lại:



Dựa vào các giới hạn cơ bản tính các giới hạn sau:












Các định lí về giới hạn:
Giả sử

Ta có:










Ví dụ:



Tính:














Ví dụ:


Lưu ý: Để tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức mà bậc của tử và mẫu bằng nhau, ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho n( (với ( là số mũ cao nhất của tử và mẫu thức). Sau đó tính giới hạn dựa vào các giới hạn cơ bản và tính chất.



Tính:

(2)

(3)
(4)

(5)
(6)

Ví dụ:



Tính:














Ví dụ:



Tính:






Ví dụ:


Tính:




Ví dụ:

Để tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức mà bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho n( (với ( bậc của mẫu thức). Sau đó tính giới hạn dựa vào các giới hạn cơ bản và tính chất.
Lưu ý:Với những dãy số có dạng như trên thì giới hạn có giá trị 0.

Tính:








Trong một phân thức, khi giá trị của tử thức dần về một hằng số nhưng giá trị của mẫu dần về 0 thì phân thức tiến về (.
Ví dụ:

Để tính giới hạn của một dãy số có dạng phân thức mà bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho n( (với ( là bậc của tử thức). Sau đó tính giới hạn dựa vào các giới hạn cơ bản và tính chất.
Lưu ý:Với những dãy số có dạng như trên thì nó không có giới hạn, tuy nhiên để cho tiện người ta vẫn dùng kí hiệu lim un = (.

Tính:








Ví dụ:



Tính:









Ví dụ:


Tính:











Tính:










Hằng đẳng thức: a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Biểu thức (a + b) là biểu thức liên hợp của (a – b) và ngược lại.
Các giới hạn cơ bản:






Ví dụ:



Tính các giới hạn sau (nhân và chia cho dạng liên hợp của nó):








Ví dụ:


Tính:





Ví dụ:





Tính:







Ví dụ:


Tính:







Tính:








Hằng đẳng thức:
a3 – b3 =(a – b)(a2 + ab + b2)
Biểu thức a2 + ab + b2 là biểu thức liên hợp của a – b và ngược lại.
a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2)
Ta nói: a2 – ab + b2 là lượng liên hợp của a + b và ngược lại.
Ví dụ:





Tính:

Tính:




Định lí:



Ta có:


Ví dụ:



Tính giới hạn của các dãy số (chú ý những trường hợp dãy số dần tới vô cực):










Tính: