Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước đó với một số không đổi gọi là công bội.
Gọi q là công bội: un+1 = un . q
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số nhân, đôi khi người ta dùng kí hiệu: (( u1, u2, u3, u4, …, un,…
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q được cho bởi công thức: un = u1 . qn – 1 (q ( 0)
Ví dụ: Cho dãy số (un) có dạng khai triển 1; – 2; 4; – 8. (un) có phải là cấp số nhân không? Nếu là cấp số nhân hãy xác định công thức của un.
Ta có: u2 = –2 = 1.(–2) = u1 . (–2) u3 = 4 = –2 . (–2) = u2 . (–2)
u4 = –8 = 4 .(– 2) = u3 . (–2)
Vậy (un) là một cấp số nhân với công bội q = –2 và u1 = 1
Do đó un = u1 . qn – 1 = 1 . ( – 2)n – 1 = (– 2)n – 1

Ví dụ: Cho dãy số (un) có dạng khai triển 2; 4; 8; 10; 20. (un) có phải là cấp số nhân không?
Ta có: u2 = 4 = 2 . 2 = u1 . 2 u3 = 8 = 4 . 2 = u2 . 2
u4 =10 = 5 . 2 ( u3 . 2
Vậy (un) không phải là cấp số nhân.

 Trong các dãy số hữu hạn (un) có dạng khai triển dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân, khi đó cho biết công thức của un:
Dãy số: – 3; 3; –3; 3
Dãy số: –3; –6; 12; –24
Dãy số: –10; 0; 0; 0
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q được cho bởi công thức: un = u1 . qn – 1 (q ( 0)
Ví dụ: Cho (un) là cấp số nhân, tìm u3 biết u1 = 7 và q = –2.
Giải: Ta có un = u1 . qn-1
( u3 = 7 . (–2)3-1 = 7 . 4 = 28

Cho (un) là cấp số nhân, giải các bài toán sau:
Biết u1 = 7 và q = – 2. Tìm u3 = ?
Cho u1 = 2 và
, viết 4 số hạng đầu của cấp số nhân.
Cho u1 = –4 và
, tìm u2 , u4 , u6.
Cho
, tìm u3 , u5 , u7.
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q được cho bởi công thức: un = u1 . qn – 1 (q ( 0)
Ví dụ: Cho cấp số nhân có dạng khai triển – 3; 6; –12; … .Xác định un và u5.
Giải: Ta có: q = u2 : u1 = 6 : (– 3) = –2 và u1 = –3
Suy ra un = u1 . qn – 1 = –3 ( – 2)n – 1
Vậy u5 = –3 . (–2)4 = – 3 . 16 = – 48

Cho (un) là cấp số nhân có dạng khai triển tương ứng:
(( –9; –3; –1;… Xác định un = ? u5 = ?
((
Xác định un = ? u7 = ?
Ví dụ: Cho (un) là một cấp số nhân, tìm công bội q biết u1 = 2; u11 = 64.
Giải: Ta có:
un = u1qn-1 ( u11 = u1.q10 ( 64 = 2.q10 (
.

 Tìm công bội q của các cấp số nhân sau, biết:
u1 = 3; u3 = 12
u1 = –3; u4 = 24


Ví dụ: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u3 = – 8; u5 = – 32
Giải: Ta có un = u1 . qn – 1 nên theo đề ta có hệ phương trình:



Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau, biết:

(2)

(3)
(4)

Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lí: Trong một cấp