Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước đó với một số không đổi gọi là công sai.
Gọi d là công sai: un+1 = un + d
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng, đôi khi người ta dùng kí hiệu: ( u1, u2, u3, u4, …, un,…
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d
Ví dụ: Cho dãy số (un) có dạng khai triển 1, 3, 5, 7. (un) có phải là cấp số cộng không? Nếu là cấp số cộng hãy xác định công thức của un.
Ta có: u2 = 3 = 1 + 2 = u1 + 2 u3 = 5 = 3 + 2 = u2 + 2
u4 = 7 = 5 + 2 = u3 + 2
Vậy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 1
Do đó un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).2 = 2n – 1

Ví dụ: Cho dãy số (un) có dạng khai triển 2, 5, 8, 10, 13, 16. (un) có phải là cấp số cộng không?
Ta có: u2 = 5 = 2 + 3 = u1 + 3 u3 = 8 = 5 + 3 = u2 + 3
u4 =10 = 8 + 2 ( u3 + 3
Vậy (un) không phải là cấp số cộng.

 Trong các dãy số hữu hạn (un) có dạng khai triển dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết công thức của un :
Dãy số: – 3, –1, 1, 3, 5 (2) Dãy số: 2, 4, 6, 7, 8
(3) Dãy số: –10, –5, 0, 5, 10
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d
Ví dụ: Cho cấp số cộng có dạng khai triển – 1, 6, 13, 20, … .Xác định un và u29.
Giải: Ta có: d = 20 – 13 = 7 và u1 = –1
Suy ra:
un = u1 + (n – 1)d = –1 + (n – 1).7 = 7n – 8
u29 = u1 + 28d = – 1 + 28.7 = 195

Cho (un) là cấp số cộng có dạng khai triển tương ứng:
( –9, –6, –3,… Xác định un = ? u20 = ?
(
Xác định un = ? u15 = ?
Ví dụ: Cho (un) là một cấp số cộng, biết u1 = 5; u11 = 55 tìm công sai d.
Giải: Ta có: un = u1 + (n – 1)d
( u11 = u1 + 10d ( 55 = 5 + 10d ( d = 5

 Tìm công sai d của các cấp số cộng sau, biết:
u1 = 0; u7 = 12 (2)



Ví dụ: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u4 = – 1; u11 = 20.
Giải: Ta có un = u1 + (n – 1)d nên theo đề ta có hệ phương trình:



Xác định số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

(2)
(3)

(4)

Xác định số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

(2)

(3)
(4)

Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó.
Ta có:

Ví dụ: Cho (un) là một cấp số cộng, tìm u5 biết: u4 = 6; u3 = 11
Giải:

Cho (un ) là cấp số cộng, giải các bài toán sau:
Tìm u4 biết

Tìm u9 biết

Tìm u20 biết

T ìm một số hạng của một cấp số cộng khi biết hai số hạng bất kì của cấp số cộng đĩ.
Phương pháp