Chuyên đề:
áp dụng Lí thuyết đồng dư trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn dư.

I) Lí thuyết về đồng dư :
1) Định nghĩa:
Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c ( 0) mà có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo môđun c; kí hiệu là a ( b (mod c).
Như vậy: a ( b (mod c) a – b chia hết cho c.
Hệ thức có dạng: a ( b (mod c) gọi là một đồng dư thức, a gọi là vế trái của đồng dư thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun.
2) Một số tính chất:
Kí hiệu a; b; c; d; m; … là các số nguyên dương (Z+), ta luôn có:
a) Tính chất 1:
* a ( a (mod m);
* a ( b (mod m) ( b ( a (mod m);
* a ( b (mod m) và b ( c (mod m) thì a ( c(mod m);
b) Tính chất 2: Nếu a ( b (mod m) và c ( d (mod m) thì:
* a ( c ( b ( d (mod m);
* ac ( bd (mod m);
* Nếu d là một ước chung của a; b; m thì: ( (mod
c) Tính chất 3:
Nếu a ( b (mod m) và c ( Z+ thì ac ( bc (mod mc).
3) Một số kiến thức liên quan:
Trong khi làm bài tập sử dụng đồng dư thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay dùng sau đây:
* Với mọi a, b ( Z+ (a ( b) và n là số tự nhiên: an – bn a – b;
* Trong n số nguyên liên tiếp (n ( 1) có một và chỉ một số chia
hết cho n;
* Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n ( 1) đem chia cho n thì phải có
hai số khi chia cho n có cùng số dư; (Theo nguyên lí Đirichlet);
* Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số dư khi chia A cho 10m;

II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng dư :

Dạng 1: Tìm số dư trong một phép chia
Phương pháp: Muốn tìm số dư trong phép chia số A cho m, ta phải
tìm được số x (0 x < m) sao cho A ( x (mod m).

Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia số 19932000 cho số 3 ?

Giải
Ta có: 1993 ( 1 (mod 3) ( 19932000 ( 12000 (mod 3) ( 1 (mod 3)
Vậy: số 19932000 khi chia cho 3 thì dư 1.

Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Phương pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số
A hợp lý để được một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là
f(A) sao cho A ( f(A) (mod m).

Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ?

Giải
Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A =
Ta có: A = ( r (mod 3) (1)
( an.10n + an-1.10n-1 + … + a1.101 + a0 ( r (mod 3)
( (an. + an) + (an-1.