Bồi dưỡng HSG
Phát triển từ một vài bài toán cơ sở
Ta có hằng đẳng thức

Với a =
b =
c =
ta có:
(1)
Từ đó ta có: Nếu x + y + z = 0 và xyz
0 thì:
(2)
Căn cứ bài toán trên ta có các bài toán liên quan:
Bài toán 1:
Cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0. Tính A = (a – 1)2005 + b2006 + (c + 1)2007
Hướng dẫn: Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức trên có:
a2 + b2 +c2 = (a +b + c)2 – 2(ab +bc + ac) = 0(a = b = c = 0. Vậy A = 0.
Lời bình: Với bài toán trên HS thường bị “ choáng” bởi số mũ lớn , GV cần lưu ý HS với những bài toán như vậy các số thường có giá trị đặc biệt, căn cứ vào giả thiết để tìm chúng.
Bài toán 2: Cho a + b + c = abc và

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: Từ nhận xét 1 ta có:

=
+
, kết hợp giả thiết ta có:
32 =
+ 2

= 7
Lời bình: Từ bài toán trên nếu thay số 3 bởi một số khác thì ta có một bài toán khác.
Bài toán 3: Cho
và
. Tính A =

Hướng dẫn: Nếu đặt m =
, n =
, p =
thì ta có:
m + n + p = 0 và m.n.p
0 (vì a
0 , b
0 , c
0)
Áp dụng (1) có:


22 =
hay
= 4
Lời bình: Từ bài toán trên nếu thay số 2 bởi một số tổng quát thì ta có bài toán khác.
Bài toán 4: (Bài toán lớp 9)
Tính giá trị biểu thức: A =
+
+ ... +

Hướng dẫn: Đặt x = 1 , y = k – 1 , z = -k ( k
2)
Ta có x + y + z = 0 và xyz
0. Áp dụng (2) có:

(vì
) =>
=

Áp dụng công thức tổng quát này cho các căn thức trên ta có:
A = 1 +
-
+1 +
-
+ ... + 1 +
-
= 98,49
Lời bình: Bài toán trên ta có thể thay đổi số lượng căn thức tuỳ ý hoặc giá trị các số trong căn nhưng vẫn đảm bảo x + y + z = 0
Ví dụ: Tính A =
+
+...+

Một số bài toán áp dụng khác:
Câu 1: Cho x , y , z thoả mãn điều kiện:
+
+
= 0
Chứng minh:
+
+
= 0
Câu 2: Cho a , b , c
Q. Chứng minh rằng: A =

Q
II ) BÀI TOÁN CƠ SỞ 2:
Chứng minh rằng nếu
thì luôn tồn tại hai số đối nhau.
Hướng dẫn:










Từ kết quả bài toán trên ta có thể áp dụng vào một số bài toán sau:
Bài toán 1:
Cho 3 số thực x , y , z thoả mãn

Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba số bằng 2007
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta nhận thấy

Áp dụng kết quả bài toán trên thì trong 3 số x,y,z luôn có 2 số đối nhau,
mà x + y + z =2007 => có ít nhất một số bằng 2007
Bài toán 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

(*) .Chứng minh:

Hướng dẫn:
Đặt a =
, b = -
, c = -
=> a > 0 , b < 0 , c < 0
(*)


(a + b)( b+c)(c+a) = 0


( vì b + c < 0 ) =>

Thay kết quả đó vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được kết quả cần c/m
Lời bình: Thoạt nhìn thì bài toán trên không có liên quan gì với bài toán cơ sở, nhưng bằng cách đặt biến số phụ ta có thể đưa về bài toán cơ sở.
Bài toán 3: Cho số số thực a, b, c khác 0 thoả mãn:
. Chứng minh:
a) Có ít nhất một trong 3 số bằng k
b)
với n là số lẻ
c)
với n là số lẻ
d) (an+