Đại lượng véc tơ và tổng các đại lượng véc tơ

Đại lượng véc tơ là loại đại lượng vật lý chỉ có giá trị theo một hướng nhất định trong không gian, còn ở những hướng khác, giá trị của nó bằng không. Chúng được đặc trưng bởi ba yếu tố: điểm đặt, chiều dài và hướng; điểm đặt của véc tơ chỉ ra đối tượng “sở hữu” véc tơ đó tại một thời điểm xác định; chiều dài véc tơ mô phỏng độ lớn của đại lượng tương ứng; hướng của véc tơ chỉ ra hướng của đại lượng tương ứng. Ví dụ như vận tốc hay gia tốc chuyển động của một vật thể, lực tác động của vật thể này lên vật thể khác v.v.. Đại lượng véc tơ được biểu diễn bởi một đoạn thẳng có mũi tên với gốc là điểm đặt của đại lượng, chiều dài đoạn thẳng biểu diễn độ lớn của đại lượng, còn hướng của mũi tên biểu diễn hướng của đại lượng đó như được chỉ ra trên Hình 1.5a.
Bên cạnh sự khác nhau về tính định hướng của 2 đại lượng: vô hướng và véc tơ, giữa chúng còn có sự khác biệt đối với phép toán áp đặt lên chúng. Với các đại lượng vô hướng, phép toán được thực hiện như đối với các biến số thông thường, trong khi đó, với các đại lượng véc tơ, cần phải sử dụng giải tích véc tơ như đã biết. Tuy nhiên, khi áp dụng giải tích véc tơ đối với một số đại lượng vật lý trong cơ học chất điểm như từ trước tới nay vẫn làm thực ra là không đầy đủ, xét từ quan điểm của CĐM. Có thể lấy ví dụ về phép cộng 2 véc tơ FA và FB theo quy tắc hình bình hành như trên Hình 1.5b, theo đó:

(1.1)
ở đây φ là góc gữa 2 véc tơ FA và FB. Có thể thấy ngay rằng véc tơ tổng hợp F thật ra chỉ mới là tổng của 2 véc tơ F’A và F’B – là các hình chiếu của các véc tơ FA và FB tương ứng lên hướng của véc tơ F mà thôi:



,
(1.2)
gọi là các các véc tơ hướng ngoại, với eF là véc tơ đơn vị trùng với hướng của véc tơ hướng ngoại tổng F. Bản thân các véc tơ FA và FB còn có 2 hình chiếu F”A và F”B tương ứng lên phương vuông góc với véc tơ F nữa:

,
(1.3)
gọi là các véc tơ hướng nội, với
và
là các véc tơ đơn vị lập với hướng của véc tơ hướng ngoại tổng F một góc tương ứng bằng +π/2 và – π/2. Song, vì các véc tơ này bằng nhau về độ lớn nhưng ngược nhau về hướng nên, theo giải tích véc tơ, tổng của chúng phải bằng không:

(1.4)
và kết quả là người ta chỉ quan tâm tới 2 thành phần
mà thôi.
Nếu xét từ góc độ toán học thuần túy thì chắc sẽ không có gì để nói. Đối tượng của giải tích véc tơ là bản thân véc tơ với 3 đặc trưng vừa liệt kê ở trên trong đó điểm đặt của véc tơ cũng chỉ là một đối tượng hình học không kèm theo bất cứ một đặc tính vật chất nào, độc lập với các đối tượng khác và với không gian xung quanh nó. Tuy nhiên, nếu xem xét một cách kỹ lưỡng từ góc độ vật lý, ta sẽ thấy ngay có sự khác biệt rất lớn giữa việc không có bất cứ một véc tơ nào đặt lên vật thể và tổng các véc tơ đặt lên nó bằng không nhưng mỗi véc tơ thành phần lại khác không và thậm chí có thể rất lớn. Trong trường hợp thứ nhất, trạng thái của vật thể không có gì xáo động, nhưng trong trường hợp thứ hai, sự biến động xẩy ra bên trong nó chắc chắn không thể nào tránh khỏi. Khi xem xét các véc tơ động học như vận tốc hay gia tốc, các biến động đó có thể không cần tính đến, nhưng đối với các véc tơ động lực học như lực, năng lượng ... thì dù muốn không tính đến cũng không thể được.
Sự biến động này cho đến nay không được cơ học quan tâm đến vì không nhìn thấy mối tương quan biện chứng giữa không gian nội vi với không gian ngoại vi, giữa nội năng và ngoại năng (xem mục 1.3.4 dưới đây), giữa nội lực và ngoại lực (xem mục 1.3.5) của cùng một thực thể vật lý. Bên cạnh đó là việc thay thế 2 véc tơ có chung một điểm đặt nhưng khác nhau về hướng (ví dụ FA và FB) bằng chỉ một véc tơ (F) theo quy tắc hình bình hành là không tương đương như được rút ra từ các biểu thức (1.1) – (1.3). Ở đây, thành phần F”A và F”