MỤC LỤC
TRANG
I Đặt vấn đề

1/ Lý do chọn đề tài 2
2/Mục đích và nhiệm vụ 2

II Giải quyết vấn đề
1/ Bài toán phụ chứng minh đẳng thức,va �bất đẳng thức 3
2/ Bài toán phụ giải phương trình và hệ phương trình 8
3/ Bài toán phụ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 13

III Kết thúc vấn đề
Bài học kinh nghiệm 14
.


IV Tài liệu tham khảo
1/ Một số hương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp , nhà xuất bản giáo dục 1993
2/ Tạp chí toán học và tuổi trẻ năm 2001-2005
3/ Tuyển chọn các bài toán lượng giác, Phan huy Khải, nhà xuất bản giáo dục 1996














I ĐẶT VẤN ĐỀ

2/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ở trường THP, dạy toán là dạy hoạt động toán học, với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, học sinh phải biết vận dụng khái niệm toán học vào những bài toán cụ thể và bài toán tổng hợp. Khi tiếp cận khái niệm của toán học chúng ta thường xuất phát từ một số ví dụ cụ thể hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn, để học sinh dễ dàng tiếp cận với khái niệm đang được nói tới. Khi thực hành giải bài tập chúng ta cũng xuất phát từ một cơ sở lí luận đã học đó là định lí, định nghĩa, tính chất, hoặc một bài tập phương pháp nào đó thích hợp cho việc giải các dạng bài tâp tương ứng. Chúng được xem như một "bài toán phụ" làm cho lời giải súc tích ngắn gọn dễ hiểu và hiệu quả của việc giải toán được tốt hơn tiết kiệm được thời gian, gây hứng thú cho học sinh và định hướng cho việc thiết kế tổ chức soạn giảng được tốt người viết chọn đề tài :"NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ" để nghiên cứu phân tích đánh giá như một phương tiện không thể thiếu trong các tiết dạy bài tập toán.

3/ MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ
Như đã nói ở trên, chúng ta cần quan tâm đến dạy học giải bài tập toán như thế nào để học sinh hiểu được kĩ thuật vận dụng định lí, tính chất hay định nghĩa các khái niệm toán học khi giải bài tập,từ thực tiễn học sinh không biết hoặc không quan tâm đến kỹ năng và năng lực vận dụng định nghĩa, khái niệm vào từng bài toán cụ thể. Các bài kiểm tra chỉ ở mức độ kiểm tra những điều học sinh ghi nhớ hơn là vận dụng sáng tạo .
+Sau khi giải xong một bài toán đa số học sinh coi như hoàn thành nghĩa vụ, không có thói quen trình bày lời giải hay hơn đẹp hơn, hay chiêm ngưỡng thành quả lao động của mình để thấy được cái quyến rủ của sự sáng tạo
+Trình bày lời giải sơ sài theo cảm tính , không theo trình tự lô gic của bài toán, thường rườm rà không khoa học thậm chí trình bày vụng về, phạm nhiều sai sót
"BÀI TOÁN PHỤ" sẽ giải đáp những khiếm khuyết nêu trên , "BÀI TOÁN PHỤ" có thể là một bài tập phương pháp theo chủ đề nào đó, hoặc bài toán nêu lên một định lí, một tính chất của khái niệm đã được học từ trước đó làm phương tiện hoặc phương pháp cho việc giải bài tập hoặc nói lên đặc trưng cơ bản của một khái niệm từ đó hình thành một khái niệm tổng quát hơn. Làm cho học sinh phát triển được năng lực vận dụng Toán học và hoạt động nhiều hơn.Trang bị cho học sinh phương pháp học và những tri thức phương pháp trong quá trình học tập môn Toán. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng không tránh khỏi những thiếu sót.Người viết rất mong được sự chia xẽ, góp ý chân thành của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, và các em Học sinh để bản thân được học hỏi, rút kinh nghiệm cho việc dạy học ngày càng tốt hơn









II GIẢI QUYẾT ĐẶT VẤN ĐỀ

1/ BÀI TOÁN PHỤ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài toán1 Cho a,b, c thỏa mãn a>c, b > c > 0. Chứng minh rằng:



BÀI GIẢI
Bài toán phụ: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,x,y ta có:
(ax+by)2
(a2+b2)(x2+y2) (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)




A�p dụng bài toán trên , với a=
ta có:




với a>c, b > c > 0 (bài này còn có nhiều cách giải khác nửa)

Bài toán2 Cho a, b, c thỏa mãn: a+b+c =1, chứng minh rằng:

+
+



BÀI GIẢI

Bài toán phụ: Chứng minh rằng:Với mọi số thực x, y, z, ta có:
.
Thật vậy (x+y+z)2
(x+y+z)2 +(x-y)2 +(y-z)2 + (z-x)2 = 3(x2 +y2+z2)


.
A�p dụng bài toán phụ trên ta có:

+
+
=



@Bài tập tương tự:
Cho a, b, c
0 và a+b+c=3, chứng minh rằng:
+
+

3


Bài toán 3 Với hai số dương bất kì avà b chứng minh rằng:





BÀI GIẢI

Bài toán phụ: A�p dụng tính đơn điệu của hàm số ta có kết quả sau
f(x)
f(y)


A�p dụng bài toán phụ trên ta đặt: f(x) =
với x > 0 khi đó f`(x) =
>0 nên hàm số f(x) đồng biến với mọi x > 0
Với mọi a, b > 0 ta có : a+ b > a
f(a+b) > f(a)

(1)
a+ b > b
f(a+b) > f(b)

(2)
cộng (1) và (2) ta có

Bài toán 4 Chứng minh rằng:

BÀI GIẢI
Bài toán phụ Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn
, thì
I =

Chứng minh: Thật vậy ta phân tích I =
+
, ta tính I1 =
, đặt x = -t

dx = -dt , do f(x) là hàm số lẻ nên f(-t) = -f(t),
vì thế I1 =
=


, do đó I =
+
= 0
Ta xét hàm số f(x) = cosx.ln
dx, liên tục trên đoạn
ta có: f(x) + f(-x) = cosx.(ln
+ ln
) = ( cosx). ln 1 = 0 hay f(-x) = - f(x) , tức f(x) là hàm số lẻ trên đoạn
. Vậy áp dụng bài toán phụ trên ta có



@ Bài tập tương tự Chứng minh rằng: 1)

2)

Bài toán 5 Chứng minh rằng: Với mọi x > 0 ta luôn có
a) sinx < x , b) cos x > 1 -


BÀI GIẢI
Bài toán phụ Nếu f(x) < g(x) với mọi x trên đoạn
thì


(tính chất của tích phân)
a)Từ bất đẳng thức cost < 1 với mọi t , do đó với mọi x > 0, áp dụng tính chất trên ta được:




sinx < x
b)Tương tự từ sint < t với mọi t > 0 :



cos x > 1 -

@ Bài tập tương tự Chứng minh rằng: Với mọi x > 0
cos x < 1 -
+

sin x <1 -
+



Bài toán 6: Cho tam giác ABC, có chu vi 2p = a + b + c ( a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh rằng:
+
+

(
+
+
)
BÀI GIẢI
Bài toán phụ Cho x > 0, y > 0, chứng minh rằng :
+



chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số x và y, 1/x và 1/y
ta được : x + y
2
và
+


, nhân vế theo vế ta có
(x+ y )(
+
)




+


(*) dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = y

Trong tam giác ta có p-a =
, p-b =
, p-c =


A�p dụng bài toán phụ trên ta có:
+


=


+


=


+


=
, cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có
+
+

(
+
+
), đẳng thức xảy ra khi a=b=c



Bài toán7: Chứng minh rằng: a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

+
+


BÀI GIẢI

Bài toán phụ Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z ta luôn có :

+
+



+
+
= (
+
)+(
+
)+(
+
)
(dùng bất đẳng thức Cô si) suy ra đpcm
Ta biết rằng trong tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3 do đó ta đặt
x= b+c-a > 0 ,y= a+c-b > 0và z = b+a-c > 0, từ đó a =
, b =
, c =
, thì


+
+
=

= 3 suy ra điều phải chứng minh

.
Bài toán 8 Cho đường tròn tâm 0 bán kính r nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi ra , rb, rc lần lượt là
bán kính đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh a, b, c tương ứng . Chứng minh rằng

+
+
=

BÀI GIẢI

Bài toán phụ Chứng minh rằng diện tích S của tam giac ABC tính theo công thức :
S = ra .(p-a) trong đó p =
là nửa chu vi, ra là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh a,hình vẽ








Ta có AK = AL(tiếp tuyến xuất phát từ điểmA)
CK = CD (tiếp tuyến xuất phát từ điểmC)
BL = BD (tiếp tuyến xuất phát từ điểmB)
Do a= BC = CD +DB = CK + BL, khi đó p =
(a+b+c) =
(BC+b+c)=

(CK + BL +b+c) =
((CK + b) +(BL +c)) =
((CK + CA) +(BL + BA))=
(AK+AL)
hay p = AK = AL
Mặt khác CK = CD =AK - AC = p - b, BL = BD = AL - AB = p - c
SAKOL= 2SOAK =2.
OK.AK = OK.AK = ra . p, lại vì SOKAL=SABC + 2.SOKC +2SOBD = S + ra.KC+
ra.BD =S + ra.(p-b) +ra.(p-c)= S + a.ra, hay ra.p = S + a.ra
S = ra .(p-a)
Từ bài toán phụ tasuy ra:
, tương tự cũng có
,


+
+
=
(3p- (a+b+c)) =
p =
, suy ra điều phải chứng minh.

2/ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán9:Tìm các số x, y thuộc khoảng
thỏa mãn hệ

GIẢI
Bài toán phu
Cho hàm số y =f(x) xác định trên đoạn
. Nếu f(x) đơn điệu trên đoạn
thì f(x1) = f(x2)



Ta viết pt(1) dưới dạng: x-cotg x = y- cotgy (3), và xét hàm số f(t) = t- cotgt, xác định với mọi t thuộc khoảng
, ta có f,(t) = 1+ 1/sin2x

=> f(x) đồng biến trên khoảng

từ (3) =>