Bài tập về BDT
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Tường Linh
Ngày gửi: 16h:00' 06-07-2008
Dung lượng: 493.5 KB
Số lượt tải: 351
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Tường Linh
Ngày gửi: 16h:00' 06-07-2008
Dung lượng: 493.5 KB
Số lượt tải: 351
Số lượt thích:
0 người
Chuyên đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
Chú ý:
Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề ""
Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề ""
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có:
2. Định nghĩa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
2. Tính chất 2:
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
3. Tính chất 3:
4. Tính chất 4:
Hệ quả 3:
Hệ quả 4:
5. Tính chất 5:
6. Tính chất 6:
7. Tính chất 7:
8. Tính chất 8:
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :
Nếu a và b là hai số không âm thì :
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
1. Định nghĩa:
2. Tính chất :
3. Với mọi ta có :
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
a > 0, b > 0, c > 0
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số và ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. với mọi số thực a,b,c
2. với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi x > 0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi
Ví dụ 4: Với , chứng minh
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I.Bin ỉi tng ng,nh gi
Bi 1: CMR (a.
Bi 2: CMR ( x,y,z.
Bi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ( 0 (x.
Bi 4: Cho a,b,c tho mn a2 + b2 + c2 = 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ( 0
Bi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) Nu ab ( 1 th .
2) Nu a,b,c ( 1 th .
Bi 6: Cho a,b,c tho mn . CMR .
Bi 7: Cho a+b ( 0. CMR .
Bi 8: Cho a,b,c > 0. CMR .
Bi 9: CMR .
Bi 10: CMR 1. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ( a( b + c + d + e ) (a,b,c,d,e
2.a2 + b2 + c2 + d2 ( a( b + c + d) (a,b,c,d.
Bi 11.Cho x>0 CMR
Bi 12.Cho a,b>0 CMR .
Bi 13.Cho a,b>0 v (Nhn cho v phn tch).
Bi 14.Cho a,b,c>0 v a,b,c 1,CMR (AD bi 13 v ababc).
Bi 15.
II.Bt ng thc Csi
Bi 1: Cho a,b,c > 0. CMR
a4 + b4 + c4 ( ab3 + bc3 +ca3
3a3 + 7b3 ( 9ab2
Bi 2: Cho x , y,z > 0 tha mn xyz = 1. CMR
Bi 3: Cho x,y,z > 0 tho mn x + y + z = 1.
a) CMR : .
b) Tm GTNN cđa : A = .
Bi 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a) b)
Bi 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a) (Bt ng thc Nesbit)
b) Nu abc = 1 th : .
Ba 6.
Cho a,b0,CMR.
Bi7.Cho a,b,c>0,CM cc BT sau
.
Cho thm k :a+b=1 CMR
Bi 8:Cho a,b,c l ba cnh cđa mt tam gic,CM cc BT sau:
Bi 9.Cho a,b,c>0,CM cc BT sau
Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
Khi no đẳng thức xảy ra?
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x, ta có:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng:
Bi 13.(K thut co si ngỵc du).
Cho a,b,c>0 v a+b+c=3 CMR:
Cho a,b,c,d>0,CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c>0 tho mn a+b+c=3,CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Bi 14(K thut thm bít trong BT COSI)
Cho a,b,c>0 CMR (Thm (a+b)/4..hoỈc COSI ngỵc )
Cho a,b,c>0 CMR(Thm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR(Thm b+c.)
Cho a,b,c>0 v abc=1,CMR
(Thm(1+b)/8+(1+c)/8.)
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
(Thm (b+c+d)/9..)
Cho a,b,c>0 CMR (Thm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR
Cho a,b,c>0 CMR (Thm ab,bc,ca)
Cho a,b,c>0 CMR(Thm )
Cho a,b,c>0 CMR
III.Bt ng thc BunhiacpSki
Bi 1: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
b)
c)
Bi 2 : Cho a,b,c ( tho mn a+b+c = 1. CMR:
Bi 3 : CMR :
a) víi x,y ( 1
b) víi 0 < ca,b
Bi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR:
a) ( a + b )4 8(a4 + b4) ;
b)
c) víi 2a + 3b ( 7
d) víi ab + bc + ca = abc
Bi 5: Cho x,y > 0. Tm GTNN:
a) A = víi x + y = 1
b) B = x + y víi
c) C =
d) D =
IV.Bt ng thc vỊ tr tuyƯt i:
Bi 1: Cho CMR:
Bi 2: CMR :
Bi tp thm :
Bi 1: Cho a,b,c > 0 tho mn a + b = c .CMR
Bi 2: CMR
Bi 3: Tm GTNN cđa biĨu thc:
A = víi x > 0 ; B = víi x > 0 ; C =
bit rng x,y,z > 0 v x + y + z 1
Bi 4: Cho x,y > 0 tho mn x2 + y3 ( x3 + y4 . CMR
Bi 5:Cho x,y,z > 0 tho mn xyz( x + y + z) = 1.Tm GTNN P = (x+y)(x+z)
Bi 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a)
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ( 16abc
c)
Bi 7: Cho a,b,c ((-1,1( tho mn a + b + c = 0.Tm GTLN,GTNN cđa P = a2 + b4 + c6
Bi 8: Cho a,b,c > 0 tho mn a+b+c = 1.Tm GTNN P =
Bi 9: CMR:
a)
b)
c)
Bi 10.CMR víi mi a,bR ta c,du "=" sy ra khi no?
Bi 11: CMR:
V.Bt ng thc dng tnh cht t s
A.T/C:Cho ba s dng a,b,c
Nu
Nu
Nu cho thm d>0 th Nu
B.Bi tp
Cho a,b,c>0,CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR Khng l s t nhin
Cho a,b,c,d>0 CMR
Bi tp cđng c :
CMR : víi a,b,c > 0 bt k ta c :
a)
b)
c)
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
Chú ý:
Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề ""
Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề ""
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có:
2. Định nghĩa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
2. Tính chất 2:
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
3. Tính chất 3:
4. Tính chất 4:
Hệ quả 3:
Hệ quả 4:
5. Tính chất 5:
6. Tính chất 6:
7. Tính chất 7:
8. Tính chất 8:
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :
Nếu a và b là hai số không âm thì :
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
1. Định nghĩa:
2. Tính chất :
3. Với mọi ta có :
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
a > 0, b > 0, c > 0
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số và ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. với mọi số thực a,b,c
2. với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi x > 0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi
Ví dụ 4: Với , chứng minh
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I.Bin ỉi tng ng,nh gi
Bi 1: CMR (a.
Bi 2: CMR ( x,y,z.
Bi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ( 0 (x.
Bi 4: Cho a,b,c tho mn a2 + b2 + c2 = 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ( 0
Bi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) Nu ab ( 1 th .
2) Nu a,b,c ( 1 th .
Bi 6: Cho a,b,c tho mn . CMR .
Bi 7: Cho a+b ( 0. CMR .
Bi 8: Cho a,b,c > 0. CMR .
Bi 9: CMR .
Bi 10: CMR 1. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ( a( b + c + d + e ) (a,b,c,d,e
2.a2 + b2 + c2 + d2 ( a( b + c + d) (a,b,c,d.
Bi 11.Cho x>0 CMR
Bi 12.Cho a,b>0 CMR .
Bi 13.Cho a,b>0 v (Nhn cho v phn tch).
Bi 14.Cho a,b,c>0 v a,b,c 1,CMR (AD bi 13 v ababc).
Bi 15.
II.Bt ng thc Csi
Bi 1: Cho a,b,c > 0. CMR
a4 + b4 + c4 ( ab3 + bc3 +ca3
3a3 + 7b3 ( 9ab2
Bi 2: Cho x , y,z > 0 tha mn xyz = 1. CMR
Bi 3: Cho x,y,z > 0 tho mn x + y + z = 1.
a) CMR : .
b) Tm GTNN cđa : A = .
Bi 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a) b)
Bi 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a) (Bt ng thc Nesbit)
b) Nu abc = 1 th : .
Ba 6.
Cho a,b0,CMR.
Bi7.Cho a,b,c>0,CM cc BT sau
.
Cho thm k :a+b=1 CMR
Bi 8:Cho a,b,c l ba cnh cđa mt tam gic,CM cc BT sau:
Bi 9.Cho a,b,c>0,CM cc BT sau
Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
Khi no đẳng thức xảy ra?
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x, ta có:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng:
Bi 13.(K thut co si ngỵc du).
Cho a,b,c>0 v a+b+c=3 CMR:
Cho a,b,c,d>0,CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c>0 tho mn a+b+c=3,CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
Cho a,b,c0 tho mn a+b+c=3 CMR
Bi 14(K thut thm bít trong BT COSI)
Cho a,b,c>0 CMR (Thm (a+b)/4..hoỈc COSI ngỵc )
Cho a,b,c>0 CMR(Thm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR(Thm b+c.)
Cho a,b,c>0 v abc=1,CMR
(Thm(1+b)/8+(1+c)/8.)
Cho a,b,c,d>0 tho mn a+b+c+d=4,CMR
(Thm (b+c+d)/9..)
Cho a,b,c>0 CMR (Thm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR
Cho a,b,c>0 CMR (Thm ab,bc,ca)
Cho a,b,c>0 CMR(Thm )
Cho a,b,c>0 CMR
III.Bt ng thc BunhiacpSki
Bi 1: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
b)
c)
Bi 2 : Cho a,b,c ( tho mn a+b+c = 1. CMR:
Bi 3 : CMR :
a) víi x,y ( 1
b) víi 0 < ca,b
Bi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR:
a) ( a + b )4 8(a4 + b4) ;
b)
c) víi 2a + 3b ( 7
d) víi ab + bc + ca = abc
Bi 5: Cho x,y > 0. Tm GTNN:
a) A = víi x + y = 1
b) B = x + y víi
c) C =
d) D =
IV.Bt ng thc vỊ tr tuyƯt i:
Bi 1: Cho CMR:
Bi 2: CMR :
Bi tp thm :
Bi 1: Cho a,b,c > 0 tho mn a + b = c .CMR
Bi 2: CMR
Bi 3: Tm GTNN cđa biĨu thc:
A = víi x > 0 ; B = víi x > 0 ; C =
bit rng x,y,z > 0 v x + y + z 1
Bi 4: Cho x,y > 0 tho mn x2 + y3 ( x3 + y4 . CMR
Bi 5:Cho x,y,z > 0 tho mn xyz( x + y + z) = 1.Tm GTNN P = (x+y)(x+z)
Bi 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a)
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ( 16abc
c)
Bi 7: Cho a,b,c ((-1,1( tho mn a + b + c = 0.Tm GTLN,GTNN cđa P = a2 + b4 + c6
Bi 8: Cho a,b,c > 0 tho mn a+b+c = 1.Tm GTNN P =
Bi 9: CMR:
a)
b)
c)
Bi 10.CMR víi mi a,bR ta c,du "=" sy ra khi no?
Bi 11: CMR:
V.Bt ng thc dng tnh cht t s
A.T/C:Cho ba s dng a,b,c
Nu
Nu
Nu cho thm d>0 th Nu
B.Bi tp
Cho a,b,c>0,CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR
Cho a,b,c,d>0 CMR Khng l s t nhin
Cho a,b,c,d>0 CMR
Bi tp cđng c :
CMR : víi a,b,c > 0 bt k ta c :
a)
b)
c)
Các ý kiến mới nhất