Bài tập thực hành giải toán
Bài 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia x – 2 dư 1, f(x) chia x – 3 dư 2, f(x) chia x2 – 5x + 6 được thương là x và còn dư.
*Phân tích:
+ f(x) chia x2 – 5x + 6 được thương là x và còn dư nên bậc của f(x) là bậc 3 và f(x) = (x2 – 5x + 6)x + ax + b
+ f(x) chia x – 2 dư 1 và f(x) chia x – 3 dư 2, ta áp dụng định lý Bơdu để có:

Giải hệ này ta được a = 1, b = -1
Vậy f(x) = (x2 – 5x + 6)x + x – 1 .
*Lời giải:
f(x) chia x – 2 dư 1 nên f(x) = (x – 2).g(x) + 1 (1)
f(x) chia x – 3 dư 2 nên f(x) = (x – 3).h(x) + 2 (2)
f(x) chia x2 – 5x + 6 được thương là x và còn dư nên
f(x) = (x2 – 5x + 6)x + ax + b (3)
Áp dụng định lý Bơdu ta có:

Vậy f(x) = (x2 – 5x + 6)x + x – 1.
*Khai thác bài toán:
Ta sử dụng định lý Bơdu và định lý về phép chia có dư trong vành đa thức R(x), ta có thể giải các bài toán tương tự:
1)Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 1, x – 2 dư 2 và f(x) chia cho x2 + 4x + 3 thì được thương là x – 1 và còn dư.

2) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia x – 2 dư 1, f(x) chia x + 3 dư 2, f(x) chia x2 – x – 2 được thương là x và còn dư.
Bài 2. Tính nhẩm:
992, 1012,
(
).
*Phân tích:
Ta thấy 99 = 100 – 1 , nhưng đề bài yêu cầu tính 992 nên ta nghĩ đến thêm , bớt để xuất hiên 100, 1 và 2 số này có thể tính ngay bình phương.
* Lời giải:
992 = 992 – 12 + 12
= (99 – 1)(99 + 1) + 1
= 98.100 + 1
= 9801
1012 = 1012 – 12 + 12
= (101 – 1)(101 + 1) +1
= 100.102 + 1
= 10201
Riêng các số có hai chữ số có tận cùng bằng 5, dạng
(
)
Ta có:
= (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
= a(a + 1).100 + 25
Ví dụ: 252 = 2.3.100 + 5 = 625.
*khai thác bài toán:
Bằng phương phá giải như trên ta có thể giải được nhiều bài toán tương tự khác nhau như:
1.Tính nhẩm: 192, 292, 20112…
Bài 3: phân tích đa thức thành nhân tử
x3+ 4x2-41x-20
* phân tích
+ Đa thức trên ta nhân thấy không thể rút nhân tử chung một cách trực tiếp. Vì vầy ta có thể nghĩ đến nhóm các hạng tử hoặc nhẩm nghiêm.
+ Bằng cách nhẩm nghiệm ta thấy đa thức trên có nghiêm là x = 5
+ Dùng sơ đò Hoocne để chia đa thức trên cho x – 5
*Lời giải
Nhận thấy x=5 là một nghiệm của phương trình
1 4 -41 -20
5 1 9 4 0
Suy ra :y=(x-5).( x2+9x+4)
* Khai thác bài toán:
1)Bằng phương pháp tương tự Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 2x4 + 7x3 – 2x2 – 13x + 6
b) x5 – 12x3 + 36x – 25
2) Rút gọn phân thức sau:

Bài 4. Rút gọn
biểu thức:


* Phân tích:
Đây là bài tập rút gọn biểu thức mà biểu thức chứa hai dấu ngoặc nên ta đi biến đổi lần lượt các biểu thức trong ngoặc.
*Lời giải:
Ta đặt biểu thức trên bằng A. ta có:
A=

=

=

=

=

=

Vậy A =

* Khai thác bài toán:
Có