Câu 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.
Tính tích
theo R.
Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?
Giải:
Chứng minh tứ giác
nội tiếp.



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


Xét tứ giác
có:

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

Tứ giác
nội tiếp.
Tính
theo R.
Xét tam giác
và
có:





Mà
và


Xác định vị trí của
để

* Chứng minh
đều:

cân tại M (MC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)
Mà

đều


cân tại B vì



Mặt khác:
(góc nội tiếp chắn cung
)


cân tại B lại có
nên
là tam giác đều
* Chứng minh

Trên cạnh NK lấy điểm D sao cho


là tam giác cân mà
sđ
=


là tam giác đều


Ta có:
(góc nội tiếp chắn cung
)

(kề bù với
trong
đều)

(góc nội tiếp chắn cung
)

(tổng các góc trong tam giác bằng
)
Xét /và/có:
/
/(2 cạnh tương ứng)
/
/khi KN là đường kính/thẳng hàng
/là điểm chính giữa cung BM.
Vậy với K là điểm chính giữa cung BM thì/đạt giá trị max bằng 4R.
Câu 2. Cho đường tròn
tiếp xúc với đường thẳng
tại
Trên
lấy điểm
không trùng với điểm
và
Qua
kẻ đường thẳng vuông góc với
đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm
và

nằm giữa
và

Chứng minh
và

Lấy điểm
trên
sao cho
là trung điểm của đoạn thẳng
đường thẳng
cắt
tại
Chứng minh
là tứ giác nội tiếp.
Xác định vị trí điểm
để

Giải:
Chứng minh:/
/sđ /(t/c góc nội tiếp)
/ sđ /(t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
/
Xét /và /có:
/
Xét/
/mà /(cmt)
/
Mặt khác:/
/
/vuông tại K
Xét tứ giác/có:/
/mà 2 góc ở vị trí đối nhau
/ Tứ giác/nội tiếp.
Hạ//
Xét /vuông tại/có cos/
//
/vuông tại/có://cos /
/
Vậy cần lấy điểm/sao cho độ dài/thì/

Câu 3. Cho đường tròn
có đường kính
và E là điểm bất kì trên đường tròn đó
khác
và
Đường phân giác góc
cắt đoạn thẳng
tại
và cắt đường tròn
tại điểm thứ hai là
.
Chứng minh

Gọi
là giao điểm của đường trung trực đoạn
với
, chứng minh đường tròn
bán kính
tiếp xúc với đường tròn
tại
và tiếp xúc với đường thẳng
tại

Chứng minh
trong đó
và
lần lượt là giao điểm thứ hai của
với đường tròn

Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác
theo
khi
chuyển động trên đường tròn
với
là giao điểm của
và

là giao điểm của
và

Giải:

Chứng minh /
/(góc nội tiếp cùng chắn /
Xét /và /có:
/
* Đường tròn /và đường tròn /
/thẳng hàng/
/
Vậy/và/tiếp xúc trong tại

* Chứng minh /tiếp xúc với/tại /
Dễ dàng chứng minh:/cân tại // trung trực của/
/cân tại //
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị /(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)
Có :/
/cân tại/
/
Vì /
/tiếp xúc với/tại /
/(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
/mà/là góc nội tiếp đường tròn/
/là đường kính/
/cân tại/
Lại có:/cân tại//mà 2 góc này vị trí đồng vị
/(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //).
Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi/theo/khi/chuyển động trên/
/ (góc nội tiếp/cùng chắn cung/)
/(góc nội tiếp/cùng chắn cung /)
Mà /, hai góc này lại ở vị trí đồng vị
/(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)