Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(
):
Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (
).
Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (
).
Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng
.
Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c
b.
Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương
.
Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp(
) chứa đường thẳng b.
Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song.
+ Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Bài 1. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh BC
AD.
Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH
(BCD).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có
ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC =
. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH
MD.
Chứng minh AH
(BCD).
Cho AD =
.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G1G2
(ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) SC vuông góc với mp(BHK). b) HK vuông góc với mp(SBC).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.
Chứng minh SO
(ABCD) và AC
SD.
Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ
(SBD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a
. Gọi H, K là trung điểm của AB, AD.
Chứng minh SH
(ABCD). b) Chứng minh AC
SK và CK
SD.
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H
(ABC). Chứng minh rằng:
a) AA’
BC và AA’
B’C’.
b) Gọi MM’ là giao tuyến của hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M
BC và M’
B’C’. Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.
a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD.
Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK.
Bài 8. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC
BF. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:
ACH và BFK là các tam giác vuông. b) BF
AH và AC
BK.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA
đáy, tam giác ABC cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh
BC
(SAB). b) NG
(SAC).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI
(SCD), SJ
(SAB).
Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH
AC và tính độ dài SH.
Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM
SA. Tính AM theo aAM theo a.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA
đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC
BD.
Chứng minh tam giác SBC vuông.
Tính theo a độ dài đoạn AD.
Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với
. Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 12. Cho hình chóp S