Bài giảng hình học giải tích

Đ0 : Mở đầu
Nguyên tắc
Trực quan
Các quan hệ véctơ
Các liên hệ trong hệ toạ độ
Đ1 : Véctơ
I. Tổng quan
1. Là gì ?
+ là khái niệm toán học thể hiện sự tác động có thứ tự ( mối quan hệ ) giữa các điểm.
2 điểm
Được tạo thành nhờ 1 hướng xác định giữa 2 điểm
Cụ thể :
+) Với 2 điểm A; B ta có véctơ

Với A : điểm đầu
B : điểm cuối
+) Nếu điểm đầu trùng điểm cuối ta có véctơ

1.2) Đặc trưng của 1 véctơ
Phương : là phương của 1 đt với điểm đầu, điểm cuối
Gồm : Hướng : từ điểm đầu đến điểm cuối
Độ lớn : độ dài đoạn với 2 điểm
Cụ thể :
Phương : là phương của đt MN ( đường thẳng giá )
+)
Hướng : từ M đến N

= MN

+) Véctơ
có phương tuỳ ý, hướng tuỳ ý,
= o

Phương
Ta nói : 2 véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng có 3 trùng Hướng
Độ lớn
Nhận xét:
+) Với 3 đặc trưng trên người ta xác định 1 véctơ tức là không còn quan trọng vì 1 véctơ là 2điểm nút của chúng nữa mà là 3 đặc trưng trên.
Do vậy :
Ta có thể ký hiệu 1 véctơ kiểu đại số như :
;
; …
thay cho …. Viết rõ
;
; … nếu không thực sự quan tâm tới 2 nút.

2. Quan hệ đồng phẳng
+ Khái niệm này ám chỉ sự kiện 3 véctơ có thể dời về cùng một mặt phẳng và vì vậychúng sẽ phải được đặt trên 3 đt giá cùng song song với 1 mặt phẳng.
Định lý :
Các khẳng định sau là các mệnh đề tưong đương :
1/
đồng phẳng với
&
, (
&
giả thiết là không cùng mặt phẳng ).
2/
! Cặp ( k;l )


= k.
+ l.

3/
=
= 0
Chú ý :
Câu hỏi đặt ra là nhỡ
cùng phẳng với
thì sao tuy nhiên sự kiện này rất tầm thường bởi nhẽ : Nếu thế
;
;
luôn đồng phẳng bất chấp
ra sao.
3. Quan hệ

+ Từ định nghĩa vô hướng ta thấy quá rõ ràng rằng
và
có phương vuông góc với nhau


.
= 0
Điều tầm thường này dùng để xem xét các quan hệ
= véctơ
Chú ý :
+) Xét 3 Vector đơn vị
,
,
chung gốc T ( ….. ) và đặt theo thứ tự tam diện vuông thuận khi đó

.
=
.
=
.
= 0;
=
=
= 1
Hơn nữa :
[
] =

[
]=

[
]=

Đồng thời :
Với
,
,
không đồng phẳng trong không gian 3 chiều thì


! bộ ( k; l; m )

= k.
+ l.
+ m.

Nếu giờ
vector trong không gian 3 chiều đều được biểu diễn tuyến tính qua
;
;
thì
định lượng trở lên rất đơn giản !

Định lý I ( Định lý về sự dời gốc )
* Cho trước 1
và 1 điểm gốc Tcố định, khi đó
! A thỏa

=

II. Các phép toán véctơ
II.1 : Phép cộng
+) Là phép toán thể hiện mối quan hệ không thứ tự và có tính tác động truyền dẫn giữa 2 véctơ.
Luật
( Tam giác )
Cho
=
;
=
khi đó

+
=
+
=
T C


Luật hình bình hành

=
;
=
khi đó

+
=
+
=

Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành
II.2: Phép trừ
+) Véctơ đối của 1 véctơ
=
là véctơ

Phương : cùng với
=

Có các đặc trưng
Hướng : ngược với

Độ lớn :
=
= AB
Ký hiệu :
= -
= -

+ Phép trừ 2 véctơ là phép toán ngược của phép cộng 2 véctơ nó có tính thứ tự

-
=
+ ( -
)

-
=
+ ( -
) =
+

II.3 : Phép nhân 1 véctơ với 1 số
Tác động của số k lên
được định nghĩa
Phương : cùng với
k >0 ( cùng hướng)

k
=
Hướng : tùy theo dấu của k k < 0 ( ngược hướng)
Độ lớn :
=
.

Chú ý :
Ba phép toán ( + ); ( _ ) & nhân véctơ với 1 số gọi là 3 phép toán tuyến tính của các véctơ. Nếu

= k
.
+ k
.
+ … + k
.
thì ta nói

được biểu diễn tuyến tính theo
; …
với các hệ số biểu diễn tương ứng là k
… k

/ R
* Định lý II ( Định lý về sự cùng phương )

cùng phương với





! k


= k

k được xác định qua
&
nhờ
=


dấu k phụ thuộc vào sự cùng hoặc ngược hướng giữa
&

Ngoài ra phép toán tuyến tính còn có một số t/c đáng lưu ý sau :

+
=
+
( Giao hoán )
(
+
) +
=
+ (
+
) ( Kết hợp )
k. (
+
) = k
+ k

( k + l ).
= k.
+ l.
( phân phối )
II.4/ Tính vô hướng của 2 véctơ
II.4.1/ Là gì ?
+ )Là phép toán ( quan hệ 2 ngôi trên các véctơ có tính lượng hóa
II.4.2/ Định nghĩa :

.
=
.
. Cos (
;
)
Chú ý :
+) Về bản chất


.
=
.
=
.

Với
là véctơ chiếu
của
lên trục giá của


là véctơ chiếu
của
lên trục của

+)Tính vô hướng có tính tác động phân phối lên 3 phép toán tuyến tính và giao hoán.
Cụ thể

. ( k
+ l
) = ( k
+ l
).

= k

k, l
/ R
Chả có nghĩa lý gì cho ký hiệu


Còn (
) .
được hiểu là lấy
trước rồi lấy hằng số
= k nhân vào
để được k
( tích vô hướng không có tính kết hợp )
II.5/ Tích hữu hướng của 2 véctơ trong không gian

II.5.1/ Về bản chất
+) là phép toán véctơ thể hiện tính đóng
II.5.2/ Định nghĩa :

là véctơ được khai báo :
+ Phương
cả phương
&

+ Hướng : Luật tam diện thuận
+ Độ lớn :
=
.
sin (
)
Luật tam diện thuận






























III. Các định tính bằng véctơ
1. Quan hệ cùng phương
+)
cùng phương với
được hiểu là khi 2 đường thẳng giá của chúng song song hoặc trùng nhau ( theo định lý dời gốc khi này cần dời chúng về chung một gốc vì vậy chúng được đặt trên cùng 1 giá ).
Định lí
3 điều sau là

1.
cùng phương với

2.
! k /
; ( k được xác định nhờ
và quan hệ về hướng giữa
$
).
3.
=

Chú ý :
+)
véctơ được coi là cùng phương ( và cùng hướng với
véctơ ) và vì thế hướng của nó hóa ra là bất định !
+) Quan hệ cùng phương ( cùng hướng ) giữa các véctơ có tính bắc cầu
IV. Hệ tọa độ Decacty
IV.1 Là gì ?
+) Là hệ các véctơ biểu diễn tuyến tính qua 1 cơ sở trực chuẩn
Tức là :
đôi một vuông góc ( phương)
Hệ cơ sở gồm
độ lớn mỗi véctơ = 1

đặt theo thứ tự tam diện thuận
Nhận xét :
Với :
= l
.
+ m
.
+ n
.


= l
.
+ m
.
+ n
.

Ta có :

.
= l
l
+ m
m
+ n
n



=

+

+




=


* Định nghĩa :
Giả sử :
= x

+ y

+ z

Với x
, y
, z

/R
Ta nói : ( x
; y
; z
) là tọa độ của
theo…
Phương trình 1 đt trong oxy
1. Làgì ?
+) là điều kiện ràng buộc giữa các tọa độ của 1 điểm muốn
vào đường thẳng.
2. làm nào để lập phương trình đường thẳng?
1 điểm đặt M
VTCP

+) Cần biết 2 đặc trưng
1 đặc trưng phương VTPT




+) Cụ thể :
Giả dụ M
( x
;y
);
(a;b);
(A,B)
Lấy M (x;y)

bất kỳ khi đó



= t.






; t
/R
Pt tham số




Lại có : M


.
= 0


A (x - x
) + B ( y - y
) = 0
Rút gọn : ( - Ax
- By
= C)
Ax + By + C = 0
Phương trình tổng quát
* Chú ý :

( a; b ) thì ( - b;a ) =


( A; B ) thì ( - B; A ) =

II. Quan hệ của đường tròn với các đối ượng hình học khác như thế nào?
1. Với 1điểm M
Nhận xét :
- Sự “ xa gần ” của M với tâm T sẽ quyết định quan hệ của M với (C)
Cụ thể :
+) Xét P
= TM2 – R2
= ( xM - a)2 + ( yM – b2) – R2 = x
+ y
+ Ax
+ ByM + C
Giá trị này gọi là phương tính của M với ( C)







P
< 0
TM < R
M nằm trong (C)
= 0
TM = R
M nằm trên ( C)
> 0
TM > R
M nằm ngoài ( C)
Với 1 đường thẳng

Xét H = d2 ( I;
) – R2 < 0 :
cắt ( C )
= 0 :
tiếp xúc ( C )
> 0 :
không có điểm chung ( C )
Vấn đề
Ta sẽ đi sâu hơn vào điều kiện sao cho
tiếp xúc với ( C )
Giả sử
: kx + ly + m = 0
( C ) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0


tiếp xúc với ( C )

d ( I;
) = R (*)
Mà I (
); R=


Nên (*)

=



(kA + lB – 2m )2 = ( k2 + l2 ) ( A2 + B2 – 4C)
Rút gọn từ phương trình chính …. Và đặt
- 2a = A; -2b = B; a2 + b2 – R2 = C
Ta được :
x
+ y
+ Ax + By + C = 0
Phương trình tổng quát
Chú ý :
+) Với 1 đường tròn cho bởi phương trình tổng quát như trên thì tâm của nó là T (
)
Còn bán kính
R =

Do vậy cần có điều kiện :
A2 + B2 > 4C
+) Trong thực hành xác định tâm và bk của đường tròn cho bởi pt tổng quát ta cần điêu luyện kỹ thuật ptik tam thức bậc 2.
VD :
(C) : x2 + y2 + 2..x + 9y – 478 = 0

( x +
)
+ ( y -
)
=



( x +
)
+ ( y -
)
=


Vậy I (
) & R =