Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

CHUYÊN ĐỀ: MẠCH CẦU

I. KHÁI QUÁT VỀ MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ.
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thí
nghiệm điện.
- Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H 0.b)

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở, R5 có vai trò
khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta không tính thêm đ ường chéo n ối
giữa A – B. Vì nếu có thì ta coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu).
- Mạch cầu có thể phân thành 2 loại: Mạch cầu cân bằng và mạch c ầu không cân
bằng.
1. Mạch cầu cân bằng :
- Nếu mạch cầu điện trở có dòng I 5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch
cầu lập thành tỷ lệ thức:

(n là hằng số) ( * ) (Với bất kỳ giá trị nào của

R5.).
Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
Biểu thức (*) là điều kiện cân bằng của mạch cầu
- Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức trên, ta có
mạch cầu cân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0
Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định
và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R 5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế
và cường độ dòng điện không phụ thuộc vào điện trở R 5. Lúc đó có thể coi mạch điện
không có điện trở R5 và bài toán được giải bình thường theo định luật Ôm.
2. Mạch cầu không cân bằng: được phân làm 2 loại:
- Loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng không ( mạch c ầu khuy ết) (ví d ụ
một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào đó là một ampe kế có đi ện tr ở bằng

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

1

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

không ) . Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuy ển mạch v ề dạng quen thu ộc, r ồi áp
dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không th ể giải
được nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp
đặc biệt ( Trình bày ở mục II.2)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU.
A .Mạch cầu cân bằng và mạch cầu khuyết : Có thể chuyển mạch cầu đó về
mạch điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp
dụng định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản.
Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
R1

Trong đó U = 24V, R1 = 12 , R2 = 9 , R3 = 6 ,
R4 = 6 . Ampe kế có điện trở nhỏ không đáng

A

C

A
B

R3

kể.
Tìm cường độ dòng điện qua các điện

D

R2

R4

trở R1,R2 và số chỉ của ampe kế
Bài giải
Vì ampe kế có điện trở RA không đáng kể ( RA = 0 ) nên ta có thể chập hai điểm C
và B làm một. Mạch điện lúc này gồm R1// (R2 nt ( R3//R4)).
Dòng điện I1 qua R1 là

Vậy

.

, Vì R3 = R4 = 6

nên

Ta thấy I2 > I4 nên dòng điện có chiều đi từ D đến C.
Do đó IA = I1 + I3 =3A
Bài 2. Cho mạch điện như hình bên. Biết RA1 = RA2 = 0, R5
= 1, R2 = 3, R4 = 6 , UAB = 2V. Tìm CĐ DĐ qua các điện trở và
số chỉ các ampe kế.

A
+

A1

D

R2
B

R5
A3

C

R4

Bài giải
Chập các nút A, M,N (RA1 = RA2 = 0), ta được hình bên.

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

2

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Các CĐDĐ

:

R2

A
+

Bài 3: Cho mạch điện như hình bên.
A

Biết RA1 = RA2 = RA3 = 0, A3 chỉ 0,1A, R4 = 1, R5 =

+

2, UAB=1V. Hỏi số chỉ các ampe kế A1, A2

-

R4

R4

D

A1

B

B

A3

-

A2

C

R5

Bài giải
AB là đoạn mạch như hình bên (RA1; RA2; RA3 = 0)

R4

A

Các CĐDĐ:

+

B
-

R5

- Nếu dòng điện có chiều từ D đến C:
- Nếu dòng điện có chiều từ C đến D:
Bài 4: Cho mạch điện có dạng như hình vẽ.
Cho biết R1 = 2 , R2 = R3 = 6 ; R4 = 8 , R5=
18 . Tìm RAB ?
Bài giải
- Ta thấy:

R1
A

C

R3
B

R4
R2

D

R5

và

Mạch cầu AB là mạch cầu cân bằng
I4 = 0 (A) và VC = VD nghĩa là có thể bỏ điện trở R 4 khỏi mạch điện để tính điện
trở tương đương của đoạn mạch. Khi đó các điện trở trong mạch được mắc như sau:
(R1 nt R3) // (R2 nt R5).
- Do đó: R13 = R1 + R3 = 2 + 6 = 8
R25 = R2 + R5 = 6 + 18 = 24
RAB = (R13 .R25) : (R13+ R25) = 6
Vậy RAB = 6

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

3

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Bài 5 Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R1 : R2 : R3

R1
A

= 1: 2: 3; I = 1A, U4 = 1V, I5 = 0. Tìm R1, R2, R3, R4, R5 và

R2

M

B

R5

+

RAB.

N

R3

R4

Bài giải
I5 = 0, AB là cầu cân bằng :

;

Theo đề bài

(1)

:

Thay (2) vào (1)

;

:

; U4 = 1V ; I = 1A (2)



 U3 = 0,5V; U = U1+U2 = 1,5V
Công thức định luật Ôm
;

:
;

;

;

;

Bài 6 Cho mạch điện như hình bên. Biết R 0 = 6000, RV1 = 2000, RV2 = 4000.
Điện trở khóa K và các dây nối không đáng kể, UAB không đổi và bằng 60V.
a/ K mở, các vôn kế chỉ bao nhiêu?
b/ Khi K đóng. Tìm vị trí con chạy C để không có

D

V1

A

K

+
M

dòng điện qua khóa K. Tính số chỉ các vôn kế?

V2

B

C

N

R0

Bài giải
a/ K mở, ta có sơ đồ mạch điện như hình bên.
Các hệ thức :

RV1

D

RV2

A

;

B

+

(1)

x

C

6-x

Thay các giá trị vào (1): U1 = 20V; U2 = 40V
b/ Khi K đóng , ta có sơ đồ mạch điện như hình bên. Mạch cầu cân bằng (I k = 0).
Các hệ thức cầu cân bằng :

(2)

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

4

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
RV1

D

RV2

A

B

+

Ta có:

x

C

6-x

U2 = U – U1 = 40V
B. Mạch cầu tổng quát không cân bằng được giải bằng các phương pháp sau
1. Phương pháp chuyển mạch:
Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuy ển
mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ m ạch tam giác thành
mạch sao). Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli.)
Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở.
(H2.1a

mạch tam giác

()

H2.1b - Mạch sao (Y)

- Với các giá trị thích hợp

của điện trở có thể thay thế

mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch tương đương nhau. Công th ức tính đi ện tr ở
của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương nhau như sau:
* Chuyển từ mạch () R1, R2, R3 → mạch (Y) R'1, R'2, R'3
(1)

;

(2)

(3)
( Ở đây R'1, R'2, R'3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )
* Chuyển từ mạch (Y) R'1, R'2, R'3→ mạch ()R1, R2, R3

(5)
(6)

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

5

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

* Chẳng hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R'1 , R'3 , R'5 ta được

sơ đồ mạch điện tương đương H2.3b (Lúc đó các giá trị R AB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn không
đổi). Các điện trở R'1 , R'3 , R'5 được tính theo công thức : (1); (2) và (3)
* Chuyển mạch sao R1, R2 , R5 thành mạch
tam giác R'1, R'2 , R'5 (H2.2b ). Trong đó các điện trở
R'1, R'2, R'3 được xác định theo công thức (4), (5)
và(6).
* Các bước tiến hành giải như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bước 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R'1 ,
R'3 , R'5)
Bước 3: Tính điện trở tương đương của mạch
Bước 4: Tính các đại lượng đề bài yêu cầu
2. Phương pháp dùng công thức định luật ôm
* Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện hoặc hiệu điện thế (Chẳng hạn
chọn I1 hoặc U1 làm ẩn số)
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ
Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lượng còn
lại theo ẩn số (I1) hoặc (U1) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1 hoặc U1).
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu
cầu.
Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở
bước 1
+ Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
+ Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.
3. Phương pháp chọn gốc điện thế.
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch
Bước 2: Lập phương trình về cường độ dòng điện tại các nút (Nút C và D)
Bước 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bước 4: Chọn VB = 0

VA = UAB

Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VD theo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

6

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Bước 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng đi ện đã ch ọn ở

bước1.
4. Phương pháp áp dụng định luật kiếc sốp.
a. Định luật về nút mạng
- Từ công thức: I = I1+ I2+ … +In (đối với mạch mắc song song).
Ta có thể phát biểu tổng quát: “ Ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm
nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”.
b. Trong mỗi mạch vòng hay mắt mạch.
- Công thức: U = U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là
đúng không những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở r ộng ra: “ Hi ệu đi ện
thế UAB giữa hai điểm A và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện th ế U 1, U2,… của các
đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong m ạch
điện ”
* Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng
đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)
* Chú ý: + Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
+ Dòng điện IK mang dấu (–) nếu ngược chiều đi trên mạch.
* Các bước tiến hành giải
Bước 1: Chọn chiều dòng điện đi trong mạch
Bước 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dòng điện và hiệu
điện thế trong mạch.
Bước 4: Biện luận kết quả. Nếu dòng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.
5. Bài toán vận dụng
Bài 1.Cho mạch điện như hình vẽ: R1 = 15 , R2 = 10 , R3 = 12
UAB = 12V. Bỏ qua điện trở của ampe kế.
a. Cho R4 = 12 . Tính cường độ dòng điện và
chỉ rõ chiều dòng điện qua ampe kế.

R1
A

C

R3
B

A

b. Tính R4 khi dòng điện đi qua ampe kế có
R2

D

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

R4

7

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

chiều từ C đến D và có cường độ là 0,2A

Bài giải
a. Vì bỏ qua điện trở của ampe kế ( RA = 0) nên ta có thể chập hai điểm C và D làm
một.
Khi đó sơ đồ mạch điện mới là: ( R1 //R2) nt ( R3 //R4).
Điện trở tương đương của đoạn mạch:
.
Cường độ dòng điện của mạch chính là
=>UAC = I.RAC = 6V, UCB = I.RCB = 6V =>

.
,

.

Ta thấy I1 < I3 => dòng điện chạy từ D đến C và Ia = I3 – I1 = 0,1A
b. Dòng điện đi qua ampe kế có chiều từ C đến D nên ta có
I'a = I'1 – I'3 <=>



Giải phương trình ta được U'AC = 8V => U'BC = 4V.
Mặt khác I4 = I'2 + I'a =

1A =>

.

Bài 2: Cho mạch điện như hình H . 2.3a. Biết R1 = R3 = R5 = 3 , R2 = 2 ; R4 = 5 
a.Tính điện trở tương đương của đoạn

C

mạch AB.
b.Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện

D

thế không đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dòng
điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu
mỗi điện trở.
Bài giải
Phương pháp 1: Chuyển mạch.
Cách 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5
thành
mạch sao R'1 ; R'3 ; R'5 (H2.3b) Ta có:

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

8

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch
AB là

Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác

(H2.3c). Ta có:

Suy ra:
Phương pháp 2: Dùng công thức định luật Ôm.
Từ công thức:
Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng đi ện qua
đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Giả sử dòng điện trong mạch có chiều từ C đến D
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1 = 3 I1

(1)

;

U 2 = U – U 1 = U – 3 I1

(2)

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

9

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Tại nút D, ta có: I4 = I3 + I5

Thay (11) vào (7) ta được: I3 =
Suy ra cường độ dòng điện mạch chính.
Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 ()
b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được:
Thay U = 3(V) và I1 =

vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
(

có chiều từ C đến D)
;

* Lư u ý

 Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng đ ể tính đi ện tr ở t ương đ ương
của bất kỳ mạch cầu điện trở nào. Mỗi phương trình gi ải đ ều có nh ững ưu đi ểm và
nhược điểm của nó. Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho h ợp lý.

 Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (ch ỉ câu h ỏi
a) thì áp dụng phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn g ọn h ơn.

 Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu đi ện th ế (h ỏi thêm câu
b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để gi ải bài toán, bao gi ờ cũng ng ắn g ọn, d ễ hi ểu và
lô gic hơn.

 Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan tr ực ti ếp đ ến vi ệc
tính toán các đại lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong m ạch c ầu. Đây là

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

10

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

một bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay g ặp trong khi gi ải các đ ề thi h ọc sinh gi ỏi,
thi tuyển sinh.
Bài 3:Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 4
Ω, UAB = 5,7V. Tính các cường độ dòng điện qua các điện trở và điện trở tương đương
của đoạn mạch AB.
R1

R2

M

A

B

R5

+

R3

N

R4

Bài giải
I5

0, AB là mạch cầu không cân bằng. Giả sử dòng điện có chiều từ N M.

Phương trình dòng và nút:

(1)

Biến đổi (2) theo (1)

(2)

:




(3)

Thay (3) vào (1)

: U2 = 2,9V; U4 = 3,3V; U5 = 0,4V

Các CĐDĐ qua các ĐT

:
;

;

;

;
; I = I1+I3 = 4A

Điện trở tương đương

:

Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ (H3.2a)
Biết U = 45V; R1 = 20, R2 = 24 ; R3 = 50 ; R4 =

C

45; R5 là một biến trở
D

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

11

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

1. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế

của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của
mạch khi R5 = 30
2. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì điện trở tương đương của
mạch điện thay đổi như thế nào?
Bài giải
1. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở
tương đương của mạch khi R5 = 30
* Phương pháp 1: Chọn I1 làm ẩn số


Giả sử dòng điện mạch có chiều từ C đến D

U1 = R1 . I1 = 20I1

(1)

;

U2 = U – U1 = 45 – 20I1

(2)

(9)
Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

(10)

Suy ra I1= 1,05 (A)
Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)

;

I3 = 0,45 (A)

;

I4 = 0,5 (A)

;

I5 = 0,05 (A)

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng.
Hiệu điện thế : U1 = 21(V)

U2 = 24 (V)

U3 = 22,5 (V)

U5 = 1,5 (V)

UBND = 22,5 (V)

 Điện trở tương đương
* Phương pháp 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến
hành giống như phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế.


Chọn chiều dòng điện trong mạch có chiều từ C đến D



Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

12

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)
Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

(10)

Giải phương trinh (10) Suy ra: U 1 = 21 (V)
Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết qu ả giống hệt
phương pháp 1
2. Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R 5
 Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là:

 Khi R5 = , mạch cầu có điện trở là:

Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng (R o,
R )
Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R 5 đều có RTĐ = R0 = R

R

Bài 5: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:
Biết R1 = R5 = 1 , R2 = R3 = 2 ;R4 = 3 , U = 6V.

1

A

* Phương pháp 1: Chọn gốc điện thế ( VB = 0)

R
2

B

R
5

Tìm cường độ dòng điện qua các điện trở trong mạch
Bài giải

C

R

D

3

R
4

- Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

13

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có:

- Áp dụng định luật Ôm, ta có:
Chọn VB = 0 thì VA = UAB = 6 (V).

Hệ phương trình thành:
Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được:
Suy ra:
U1 = U – U 2 =

U 2 = VC – V B =
(V)

VC =

(V)

U3 = VA - VD =

(V);

U4 = VD – VB =
V

U5 = VC – VD =

VD =

(V)

(V)
(V)

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng điện
I1 = U1/R1 = 2,09A, I2 = U2/R2 = 1,95A, I3 =U3/R3 = 1,11A, I4 = U4/R4 = 1,25A, I5 =
U5/R5 = 0,14A
* Phương pháp 2: Áp dụng định luật kiếc sốp.
Chọn chiều dòng điện đi trong mạch như hình vẽ



Tại nút C và D ta có:



Phương trình cho các mạch vòng:

 Mạch vòng ACBA:

U = I1.R1 + I2.R2

(3)

 Mạch vòng ACDA:

I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(4)

 Mạch vòng BCDB:

I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(5

Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên r ồi rút g ọn,
ta được hệ phương trình

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

14

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Thay (2') vào (5') ta được 3I3 + 3I5 + I5 = 2I2  3I3 + 4I5 = 2I2 (6)
Từ (4') ta có

thay vào (6) ta được pt: 3I1+ 11I5 = 4I2 (7)

Từ (1') ta có I5 = I1 –I2 thay vào (7) ta được 14I1 = 15I2 (8)
Giải hệ hai pt (3') và (8) ta được I2 = 1,95A, I1 = 2,09A
=> I3 = 1,11A, I4 = 1,25A, I5 = 0,14A
Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.
D. BÀI TOÁN CẦU DÂY.
- Mạch cầu dây là mạch điện có dạng như hình vẽ
H4.1. Trong đó hai điện trở R 3 và R4 có giá trị thay đổi khi
con chạy C dịch chuyển dọc theo chiều dài của biến tr ở (R 3
= RAC;

R 4 = RCB). Mạch cầu dây được ứng dụng để đo

điện trở của 1 vật dẫn.
* Phương pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây
Để đo giá trị của điện trở Rx người ta dùng một
điện trở mẫu Ro,một biến trở ACB có điện trở phân bố
đều theo chiều dài, và một điện kế nhạy G( ví dụ ampe
kế A như hình vẽ) , mắc vào mạch như hình vẽ H 4.2. Di
chuyển con chạy C của biến trở đến khi điện kế chỉ số
0 đo l1 ; l2 ta được kết quả:

. ( với l1 = AC, l2 =

CB )
* Đo điện trở của vật dẫn bằng phương pháp trên cho kết quả có độ chính
xác rất cao và đơn giản nên được ứng dụng rộng rãi trong phòng thí nghiệm

* Các bài toán thường gặp về mạch cầu dây.

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

15

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Bài 1 Cho mạch điện như hình vẽ H4.3. Biết U = 7V không đổi. R 1 = 3, R2= 6.

Biến trở ACB là một dây dẫn có điện trở suất là

= 4.106 ( m); chiều dài l = AB =

1,5m; tiết diện đều: S = 1mm2
a. Tính điện trở toàn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?
1
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ 3 (A)?

Bài giải
a. Điện trở toàn phần của biến trở:

()

b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó:
Đặt x = RAC

RCB = 6 – x

3
6
=
x 6−x

. Suy ra x = 2 ()

Với RAC = x = 2 thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng:
Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 ()
Còn RCB = 2 (). Vì RA = 0

Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)

Điện trở tương đương của mạch:

()

Cường độ dòng điện trong mạch chính:
Suy ra:

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là:
Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
1
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ 3 (A)

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

16

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

-Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1
Phương trình dòng điện tại nút C:

Phương trình dòng điện tại nút D:



Trường hợp 1:

Ampe kế chỉ IA =

1
3 (A) D đến C

Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)
Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 ()
Với RAC= x = 3 ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC = 75
(m)


Trường hợp 2:

1
Ampe kế chỉ IA = 3 (A) chiều từ C đến D

Từ phương trình (2) ta tìm được U1
Thay U1

vào phương trình (1) ta tìm được x  1,16 ()

Với RAC = x = 1,16  , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC  29
(cm)
Vậy tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) ho ặc 29 (cm) thì ampe
kế chỉ

.

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V = 9V không đổi, R1 = 3, R2 = 6.
Biến trở ACB có điện trở toàn phần là R = 18, vốn kế là lý tưởng.
a. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 1vôn
c. Khi RAC = 10 thì vôn kế chỉ bao nhiêu vôn ?

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

17

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Bài giải
Vì vôn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB
a. Để vôn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:
RAC = 6 ()
b. Xác định vị trí con chạy C, để U v = 1(V).Với mọi vị trí của con chạy C, ta luôn có:



Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)

Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V)


RAC =

()

Trường hợp 2:

Vôn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V)

= 8 ()

Vậy tại vị trí mà RAC = 4 () hoặc RAC = 8 () thì vôn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vôn kế, khi RAC = 10 ()
Khi RAC = 10()

RCB = 18 – 10 = 8 ()

UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)

Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
Vậy khi RAC = 10 thì vôn kế chỉ 2(V).
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết Ra = 0, R1

R1
A

= 1Ω, R2 = 2 Ω, R0 = 3 Ω, UAB = 4V.
a. Xác định vị trí của con chạy C để ampe kế chỉ số

R2
B

A
C

+

0

D

M

R0

N

b. Xác định vị trí của con chạy C để ampe kế chỉ
1A.
Bài giải
a/ AB là mạch cầu cân bằng (Ia = 0).
Ta viết hệ thức

:

.

Vậy con chạy C ở vị trí mà điện trở MC có giá trị là 1Ω
b/ AB gồm 2 đọan mạch song song mắc nối tiếp như hình bên (R a = 0).

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

18

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

AB là mạch cầu không cân bằng (IA = 1A). Các hệ thức của đọan mạch:
R1

R2

D

A

B

+
M

C

x

N

3-x

- Giả sử dòng điện có chiều từ DC. Ta có:
I1 - I2 = IA 
 11x2-13x-42 = 0 

và

.

- Giả sử dòng điện có chiều từ CD. Ta có:
I2 - I1 = IA



 x2+x-6 = 0 

và

.

Vậy con chạy C ở một trong hai vị trí mà điện trở MC có giá trị bằng 2,6
Bài 4: Cho mạch điện hình vẽ. Biết R1 = 3Ω, R2 = 6 Ω,

R1

B

V
C

+

con chạy có thể di động trên biến trở, UAB = 9V không đổi.

R2

D

A

R0 là một biến trở có điện trở toàn phần là R0 = 18 Ω, C là

và 2

M

N

R0

a. Xác định vị trí của con chạy C để vôn kế chỉ số 0.
b. Điện trở của vôn kế lớn vô cùng, tìm vị trí con chạy C để vôn kế chỉ 1V.
Bài giải
R1

a/ AB là mạch cầu cân bằng (UV = 0).

R2

D

A

Ta có hệ thức

:

.

B

+

x

C

18-x

Vậy con chạy C ở vị trí sau cho điện trở Rx có giá trị bằng
6Ω
b/ AB gồm 2 đọan mạch nối tiếp mắc song song như hình trên (R v =

).

AB là mạch cầu không cân bằng (UV = 1V).
Các hệ thức :

;

- Giả sử dòng điện có chiều từ C  D :
- Giả sử dòng điện có chiều từ D  C :

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

19

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Vậy con chạy C ở một trong hai vị trí sao cho đi ện tr ở R x có giá trị bằng 2Ω hoặc

4Ω

III. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

R1

Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ: R1 = 8 ,
R2 = 4 , R3 = 2, U = 12V.

A

mỗi điện trở. Bỏ qua điện trở của ampe kế.
Đáp số: R4 = 4, I1 = I2 = 1A, I3 =I4 = 2A.

D

R2

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết U AB

R1

=12V không đổi. Vôn kế có điện trở rất lớn, R 1 = 30,

a. Chứng tỏ rằng khi vôn kế chỉ 0V thì

B

A

Tính điện trở R4 và cường độ dòng điện qua

R2 = 50, R3 = 45. R4 là một biến trở đủ lớn.

R3

C

R4
R2

C

A

B

V

.

D

R3

b. Tính R4 khi vôn kế chỉ 3V

R4

c, Thay vôn kế bằng ampe kế có điện trở không đáng kể, tính R 4 để số chỉ của
ampe kế là 80mA.
Đáp số: b. R4 = 27 và R4 = 315. c, R4 = 28,125.
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ,
biết R2 = 1, R1 = R3 = R4 = R5 = 2,
bỏ qua điện trở các đoạn dây nối. Tính
điện trở tương đương của đoạn mạch?
Đáp số: RAB =

.

R

Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ. Với U=60V,
R1 = 10, R2 = R5 =20, R3 = R4 = 40. V là vôn kế lí
tưởng. Bỏ qua điện trở của các dây nối. Hãy tìm số
chỉ của vôn kế.

M

R
1

P

2

R
3

N

V
Q

R
4

U

R
5

Đáp số: UPQ = 15V.
Bài 5: Cho mạch điện có sơ đồ sau. Biết U AB = 12V không đổi, R1 = 5 ; R2 = 25 ;
R3 = 20 . Nhánh DB có hai điện trở giống nhau và bằng r, khi hai đi ện tr ở r mắc n ối

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

20

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

tiếp vôn kế V chỉ giá trị U 1, khi hai điện trở r mắc song song vôn kế V chỉ giá trị U 2 =
3U1.
1. Xác định giá trị của điện trở r ? ( vônkế có R =  )
2. Khi nhánh DB chỉ có một điện trở r, vôn kế V chỉ giá trị bao nhiêu ?
3. Vônkế V đang chỉ giá trị U 1 ( hai điện trở r nối tiếp ). Để V chỉ số 0 chỉ cần hoặc
chuyển chỗ một điện trở, đó là điện trở nào và chuyển nó đi đâu trong mạch điện ?
R

R

C

1

A

2

B

V
r

R
3

r

D

Bài giải
Do vônkế có điện trở vô cùng lớn nên ta có cách mắc ( R1 nt R2 ) // ( R3 nt 2r ) .
Ta tính được cường độ dòng điện qua điện trở R 1 là I1 = 0,4A; cường độ dòng
điện qua R3 là
U AB

12
I3 = R 3 +2 r 20+2 r
=

12. 20
 UDC = UAC - UAD = I1.R1 - I3.R3 = 0,4.5 - 20+2 r =

(1)

r
Tương tự khi hai điện trở r mắc song song ta có cách mắc là ( R 1 nt R2 ) // ( R3 nt 2 )

Lý luận như trên, ta có:

2 r −400
U'DC = 40+r
(2) .

Theo bài ta có U'DC = 3.UDC , từ (1) & (2)  r2 + 80r – 16000 =0 (*)
Giải PT (*) ta được r = 20 ( loại giá trị r = - 100 ).
2) Tính UAC & UAD ( tự giải )
ĐS : 4V
R AC

3. Khi vôn kế chỉ số 0 thì khi đó mạch cầu cân bằng và : R AD

=

R CB
R DB (3)

+ Chuyển chỗ một điện trở : Để thoả mãn (3), ta nhận thấy có thể chuyển một
điện trở r lên nhánh AC và mắc nối tiếp với R 1. Thật vậy, khi đó có R AC = r + R1 = 25 ;
RCB = 25 ; RAD = 20 và RDB = 20  (3) được thoả mãn.

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

21

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

+ Đổi chỗ hai điện trở : Để thoả mãn (3), có thể đổi chỗ R 1 với một điện trở r

( lý luận và trình bày tương tự ).
Bài 6: Cho mạch điện MN như hình vẽ dưới đây, hiệu điện thế ở hai đầu mạch
điện không đổi UMN = 7V; các điện trở R1 = 3 và R2 = 6 . AB là một dây dẫn điện có
chiều dài 1,5m tiết diện không đổi S = 0,1mm 2, điện trở suất  = 4.10-7 m ; điện trở
của ampe kế A và các dây nối không đáng kể
a. Tính điện trở của dây dẫn AB ?

M UMN

b. Dịch chuyển con chạy c sao cho

R1

N
R2

D

AC = 1/2 BC. Tính cường độ dòng điện
qua ampe kế ?

A

c. Xác định vị trí con chạy C để
A

Ia =1/3A ?

C

B

Bài giải
a. RAB = 6
b. Khi

AC=

BC
1
2  RAC = 3 .RAB  RAC = 2 và có RCB = RAB - RAC = 4
R1

=

R2

Xét mạch cầu MN ta có R AC R CB

=

3
2 nên mạch cầu là cân bằng. Vậy I = 0
A

c. Đặt RAC = x ( ĐK : 0 ¿ x ¿ 6 ) ta có RCB = ( 6 - x )
* Điện trở mạch ngoài gồm ( R1 // RAC ) nối tiếp ( R2 // RCB ) là
R=

3 . x 6 .(6−x )
+
3+x 6+(6−x ) = ?

U
I= =
R ?
* Cường độ dòng điện trong mạch chính :

3. x
.I
* Áp dụng công thức tính HĐT của mạch // có : UAD = RAD . I = 3+ x = ?
6 .(6−x )
.I
Và U DB = RDB . I = 12−x
=?

U AD

* Ta có cường độ dòng điện qua R1 ; R2 lần lượt là : I1 = R 1 = ?

U DB

và I2 = R2 = ?

+ Nếu cực dương của ampe kế gắn vào D thì : I1 = Ia + I2  Ia = I1 - I2 = ? (1)

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

22

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

Thay Ia = 1/3A vào (1)  Phương trình bậc 2 theo x, giải PT này được x = 3 

( loại giá trị -18)
+ Nếu cực dương của ampe kế gắn vào C thì : Ia = I2 - I1 = ? (2)
Thay Ia = 1/3A vào (2)  Phương trình bậc 2 khác theo x, giải PT này được x =
1,2 ( loại 25,8 vì > 6 )
AC R AC
=
* Để định vị trí điểm C ta lập tỉ số CB RCB = ?  AC = 0,3m.

Bài 7: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R 1 = 3, R2 = 6, AB là biến trở có điện
trở toàn phần phân bố đều R0 = 18, C là con chạy có thể di động trên biến trở, U MN =
9V.
Điện trở dây nối và ampe kế rất nhỏ.

M

a. Hỏi ampe kế chỉ bao nhiêu khi C ở vị trí
sao cho chiều dài đoạn AC bằng 1/3 đoạn AB?

N
R2

R1

b. Thay ampe kế bằng vôn kế. Tìm vị trí con

A

chạy C để vôn kế chỉ 1V. Điện trở vôn kế vô cùng

A

lớn.

C

B

R0

Bài giải
Đáp số: a. Ia = 0.
b. Hướng dẫn: Rv vô cùng lớn nên có thể bỏ qua. Khi đó:
.
Ta có

.

Đặt RAC = x => RBC = 18 – x. ta có: UCD = I1R1 –

x. (*)

Để vôn kế chỉ 1V thì UCD = 1V hoặc UCD = -1V và kết hợp với pt (*)
ta tìm được x = 4 hoặc x = 8.
Vậy con chạy C ở vị trí sao cho RAC = 4 hoặc RAC = 8
Bài 8: Cho mạch điện như hình bên. Biết R0 = 6000, RV1 = 2000, RV2 = 4000.
Điện trở khóa K và các dây nối không đáng kể, UAB không đổi và bằng 60V.
a. K mở, các vôn kế chỉ bao nhiêu?

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

23

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

b. Khi K đóng

+ Tìm vị trí con chạy C để không có dòng điện qua

K

+
M

khóa K. Tính số chỉ các vôn kế?

D

V1

A

V2

B

C
R0

N

+ Tìm vị trí con chạy C để hai vôn kế chỉ cùng môt
giá trị. Khi đó dòng điện qua khóa K là bao nhiêu, theo
chiều nào?
Bài giải
a. K mở, ta có sơ đồ mạch điện như hình bên.

RV1

D

RV2

A

Các hệ thức :

;

Thay các giá trị vào (1):

U1 = 20V;

B

+

(1)

x

C

6-x

U2 = 40V

b. Khi K đóng , ta có sơ đồ mạch điện như hình bên. Mạch cầu cân bằng (I k = 0).
Các hệ thức cầu cân bằng :
RV1

D

(2)

RV2

A

B

+

x

C

6-x

Vậy con chạy C ở vị trí mà điện trở Rx có giá trị là 2k.

Viết hệ thức U:

; U2 = U – U1 = 40V

c. Khi K đóng. Mạch cầu không cân bằng (Ik

0).

Cách 1: Viết hệ thức U

Theo đề bài :

U1 = U2 =30V

Áp dụng định luật Ôm:

I1 = 15mA; I2 = 7,5mA

Dòng điện qua khóa k:

Ik = I1 – I2 = 7,5mA.

Vậy dòng điện có chiều từ C D
Cách 2: Các hệ thức của đoạn mạch

Tài liệu: cô Kim Chi (facebook: Kim Chi Lê) ^-^

24

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

;

;

;

Mà UV1 = UV2  RV1I1 = RV2I2 
 x = 4 kΩ;

x = -6(loại)

Vậy con chạy C ở vị trí mà điện trở Rx có giá trị là 4k.
Khi dòng điện qua khóa K theo chiều từ D đến C. CĐDĐ qua khóa k:
Ik = I1 – I2 =

-

= 7,5mA

Bài 9. Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R 1 = R3 = R5 = 3

R1
A

, R2 = 2 , R4 = 5 
a. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi

R2

M

B

R5

+

R3

N

R4

U=3(V). Hãy tính cường độ dòng điện qua các điện trở và hiệu
điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
b. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
Bài giải
a/Giả sử dòng điện có chiều từ NM. Các phương trình dòng và nút:

(1);

(2)

Biến đổi (2) theo (1)

:





(3)
Thay (3) vào (1)

: U2 = 4/3V; U4 = 5/3V; U5 = 1/3V

CĐDĐ qua R1, R2, R3, R4, R5 và đoạn mạch AB là:
;

;

;

;

; I = I1+I3 = 1A

b. Điện trở tương đương của đoạn mạch AB:

Tài liệu: cô ...