Contents

DẠNG 1: KẾT NỐI CÁC GÓC BẰNG NHAU THÔNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP............................................................................1
DẠNG 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.............................................................................................................11
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN...........................................................................................................................................................13
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN, CHỨNG MINH ĐƯỜNG KÍNH..........................................................17
DẠNG 5: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TA- LÉT VÀ ĐỊNH LÝ TA- LÉT ĐẢO............................................................................................21
DẠNG 6: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC.........................................................................................................................28
DẠNG 7: DẠNG TÍNH TOÁN.................................................................................................................................................34
Hệ thống bài tập trong chủ đề.............................................................................................................................................39

DẠNG 1: KẾT NỐI CÁC GÓC BẰNG NHAU THÔNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Ví dụ 1. Từ điểm A ở ngoài đường tròn
Gọi

là giao điểm của

các tia

và

theo thứ tự tại

Gọi

vẽ hai tiếp tuyến

đến

là trung điểm của

. Chứng minh

(với

Đường thẳng qua

cân tại

D
B
I
E
O
F
C

* Chứng minh

cân tại

Bước 1 Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

Bước 2 Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

Bước 3 Chứng minh
Từ đó, ta được

cân tại O, suy ra
nên

cân tại O

và vuông góc với

và F là trung điểm của AC.

Hướng dẫn

A

là hai tiếp điểm).

(cùng nhìn
(cùng nhìn

).
).

(tính chất tam giác cân).

cắt

* Chứng minh

là trung điểm

Bước 1 Chứng minh tứ giác

là hình bình hành bằng cách chỉ ra

là trung điểm cả

và

, suy ra

hay
Bước 2 Xét

chỉ ra

là trung điểm của

và kết hợp

suy ra

là trung điểm của

(Tính

chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm của cạnh
thứ ba).

Ví dụ 2. Cho đường tròn

. Lấy điểm A nằm ngoài đường tròn

, đường thẳng AO cắt

tại hai điểm B

và C với
. Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt
tại hai điểm D và E với
. Đường
thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với
. Tứ giác AMDF là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn

Bước 1 Xét

có

(cùng chắn

).

Bước 2 Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp, suy ra
Từ đó, ta được
thang.

, mà

và

(cùng nhìn AB).

là hai góc so le trong nên

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

do đó tứ giác AMDF là hình

đường kính AD (B thuộc cung nhỏ AC). Gọi giao điểm

hai đường chéo AC và BD là H. Kẻ HK vuông góc với AD tại K. Tia BK cắt
tại điểm thứ hai là F. Gọi P
và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB, BD. Chứng minh
và PQ đi qua
trung điểm của CF.

Hướng dẫn

* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp, suy ra
Bước 2 Xét

có

(cùng nhìn BH).

(cùng chắn cung BC).

Từ đó, ta được
mà
là hai góc đồng vị nên
* Chứng minh PQ đi qua trung điểm CF
Bước 1 Chứng minh tứ giác BPFQ là hình chữ nhật.
Suy ra

.

và PQ đi qua trung điểm của BF.

Bước 2 Chứng minh D là điểm chính giữa của cung CF, suy ra
Từ đó, ta được

, mà

là hai góc so le trong nên

Bước 3 Xét
có PQ đi qua trung điểm của BF và
nên PQ đi qua trung điểm của CF (tính chất
đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ
ba).
Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn
sao cho BC không phải là đường kính của

bất kì đi qua B và C

. Từ A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến

tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng FI và
và
Hướng dẫn

với E và F là các
. Chứng minh

* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh tứ giác AOIF nội tiếp, suy ra
Bước 2 Chứng minh
Từ đó, ta được

(cùng bằng nửa
mà

(cùng nhìn AF).
).

là hai góc đồng vị nên

* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh

suy ra

Bước 2 Chứng minh

suy ra

Từ đó, ta được

Ví dụ 5. Cho đường tròn

và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là điểm bất kì trên cung nhỏ BC

(A khác B, C và
). Kẻ đường kính AK của đường tròn
. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A
đến BC và E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AK. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
và

Hướng dẫn

* Chứng minh

Bước 1 Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp, suy ra
Bước 2 Xét

có

(tính chất góc ngoài bằng góc đối).

(cùng chắn cung AC).

Từ đó, ta được

mà

Bước 3 Chứng minh
* Chứng minh

là hai góc so le trong nên

suy ra

(Từ vuông góc đến song song).

Bước 1 Từ tứ giác ABDE nội tiếp, suy ra

(góc ngoài bằng góc đối).

Bước 2 Chứng minh tứ giác OBEI nội tiếp, suy ra
Từ đó, ta được

.

Ví dụ 6. Cho đường tròn
của đường tròn
Đường thẳng

(cùng nhìn BE).

và một điểm
(với

Kẻ tiếp tuyến

là tiếp điểm). Trên đoạn thẳng

cắt đường tròn

của đoạn thẳng

nằm ngoài đường tròn

tại hai điểm

Đường thẳng

và

đi qua điểm

(với

lấy điểm
nằm giữa

và song song với

(

và
cắt

và đường kính

khác

khác

). Gọi

là trung điểm

tại

Chứng minh

.
Hướng dẫn
B

O

A
D

H

I
E

K
C

Bước 1 Chứng minh tứ giác
Bước 2 Từ

suy ra

Từ đó, ta được
Bước 3 Xét
Từ đó, suy ra

nội tiếp, suy ra

(cùng nhìn

)

(hai góc so le trong).
do đó tứ giác

có

nội tiếp, suy ra

(cùng chắn cung
mà

).

là hai góc đồng vị nên

).

(cùng nhìn

).

Ví dụ 7. Từ điểm
và

nằm ngoài đường tròn

là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ

chiếu vuông góc của

trên

và

đến đường tròn

lấy điểm

và

Gọi

của
Gọi

Chứng minh

kẻ hai tiếp tuyến
khác

là giao điểm của

và

Hướng dẫn
B
K

2

A

1

P

1

M
1

H

1

1
2

I

O

Q
2 1

C
* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh tứ giác
Bước 2 Xét

có

nội tiếp, suy ra

(cùng nhìn

).

(cùng bằng nửa số đo cung BM).

Bước 3 Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

Từ đó, ta được

và tương tự

Do đó

(g.g) nên

(cùng nhìn

).

hay

* Chứng minh
Bước 1 Chỉ ra

suy ra
(tổng ba góc trong

Do đó tứ giác
Bước 2 Kết hợp

nội tiếp, suy ra

(cùng nhìn

(cmt) ta được

).

lần lượt là hình
là giao điểm của

và

).

(với

và

Mà

là hai góc đồng vị nên

Lại có

(gt) nên

Ví dụ 8. Từ điểm

nằm ngoài đường tròn

tuyến

sao cho

và tia

điểm

trên đường thẳng

vẽ tiếp tuyến

đến

nằm giữa hai tia

Chứng minh tứ giác

(với
Gọi

nội tiếp và

là hình chiếu vuông góc của

là tia phân giác của

Hướng dẫn

A
C
B
M
H

* Chứng minh tứ giác

O

nội tiếp

Bước 1 Chứng minh
Bước 2 Từ

ta lập được tỉ số

Suy ra

(c.g.c) nên

Do đó tứ giác

là tia phân giác của

Bước 1 Từ tứ giác
Bước 2 Chỉ ra
Mà
Bước 3 Từ

(hai góc tương ứng).

nội tiếp (Dấu hiệu góc ngoài bằng góc đối).

* Chứng minh

nội tiếp, suy ra
cân tại

(cùng nhìn

là tiếp điểm) và vẽ cát

).

, suy ra

(cmt) nên
suy ra

Vậy

là tia phân giác của

Ví dụ 9. Cho

nhọn (

hình chiếu vuông góc của

nội tiếp đường tròn
trên

Chứng minh

và
và

Kẻ

Đường thẳng

tại

cắt đường thẳng

là điểm chính giữa của

Gọi
tại

từ đó chứng minh

và
và cắt

lần lượt là
tại

là tâm đường tròn

ngoại tiếp
Hướng dẫn

A
x
F
M
K

E

B

N

O
H

C

* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh tứ giác
Bước 2

Từ

nội tiếp, suy ra
(cmt),

suy ra

nên

suy ra

nên

(g.g)
Bước 3

Từ

Vậy
* Chứng minh

là điểm chính giữa của

Bước 1 Kẻ tiếp tuyến
Bước 2 Chứng minh
+) Xét

có

của

tại

thì

như sau:
(cùng bằng nửa số đo

(tính chất tiếp tuyến).

+) Vì

(cmt) nên
suy ra

Vậy

là hai góc so le trong nên

do đó

đi qua điểm chính giữa của

là điểm chính giữa của

* Chứng minh

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bước 1 Từ

suy ra

Bước 2 Chứng minh
+) Xét

mà

(liên hệ giữa cung và dây cung).
như sau:

có

suy ra

Do đó
+) Xét

vuông tại H, đường cao HF nên

(hệ thức lượng).

Từ đó, ta được AM = AN = AH nên A là tâm đường tròn ngoại tiếp
Ví dụ 10. Cho

nhọn

có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi

là đường tròn

ngoại tiếp tứ giác CDHE. Trên cung nhỏ EC của
, lấy điểm I sao cho IC > IE. Gọi N là giao điểm của DI
với CE. Gọi M là giao điểm của EF với IC. Chứng minh
Hướng dẫn
A
M
E
I
F
N

H
O
B

D

Bước 1 Chứng minh tứ giác MENI nội tiếp như sau:
+) Xét

có

(cùng chắn

).

C

Mà

(đối đỉnh) nên

.

+) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp, suy ra
Mà

(đối đỉnh) nên

Bước 2 Chứng minh

,suy ra tứ giác MENI nội tiếp.
như sau:

+) Tứ giác MENI nội tiếp, suy ra
+) Xét

có

(cùng chắn

+) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
Từ đó suy ra

(cùng nhìn AF).

, mà

(cùng nhìn EN)
)
(góc ngoài bằng góc đối).
là hai góc so le trong nên

DẠNG 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Cách 1 ( Cách song song) chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng song song với một đường
thẳng thì A, B, C thẳng hàng.
Cách 2 (Cách vuông góc) Chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng vuông góc với một đường
thẳng thì A, B, C thẳng hàng.
Cách 3 (Cách góc bẹt) chứng minh

thì A, B, C thẳng hàng.

Ví dụ 1. Cho đường tròn
đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H nằm giữa A
và O. Lấy điểm F thuộc cung nhỏ AC. Giả sử BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I. Đường tròn ngoại tiếp
cắt AE tại M. Chứng minh M thuộc đường tròn

.

Hướng dẫn
I

M

C

F

j
E

A

H

O

B

D

Bước 1 Chứng minh
+) Chỉ ra

vuông tại F thì IE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp

+) Suy ra

hay

Bước 2 Chứng minh
+) Chỉ ra IH, BF là hai đường cao của
+) Suy ra
Mà

hay
nên

và

nên I, M, B thẳng hàng.
hay

, do đó M thuộc

nên E là trực tâm của

Ví dụ 2. Cho
vuông cân tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kỳ
trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ
tại K. Chứng minh
và tứ giác AIKM nội tiếp, từ đó chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Hướng dẫn
C

D
K
I

A



M

B

O

H

Chứng minh

Bước 1 Chứng minh tứ giác MDCI nội tiếp, suy ra
Bước 2 Chỉ ra AD là trung trực của BC,

(cùng nhìn MD)

nên MB = MC

Từ đó ta được



Chứng minh tứ giác AIKM nội tiếp

Bước 1 Chỉ ra tứ giác AHMI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Bước 2 Chỉ ra
kính HI, do đó tứ giác AIKM nội tiếp.


Chứng minh K, M, B thẳng hàng

Bước 1 từ tứ giác AIKM nội tiếp ta có
Bước 2 Chứng minh
Có
Mà

suy ra năm điểm A, H, M, K, I thuộc đường tròn đường

nên

( tổng hai góc đối)

Từ đó suy ra

hay K,M,B thẳng hàng.

DẠNG 3: TIẾP TUYẾN

M
M

1

3 2
A

O



Để chứng minh AM là tiếp tuyến của



Để chứng minh
ta thường chứng minh
nhọn một tam giác vuông.
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn

, ta cần chỉ ra 2 điều kiện
bằng cách chuyển

về hai góc

đường kính AB. Gọi C là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn sao cho

0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho

. Gọi E là giao điểm của AD và

BC, F là giao điểm của AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của
Hướng dẫn

.

F

I

C
D
E

A

Bước 1. Chỉ ra
giác vuông)

O H

vuông tại C và có CI là trung tuyến nên

B

( tính chất trung tuyến của tam

cân tại I nên

Bước 2. Chỉ ra

cân tại O nên

, suy ra

Bước 3. Kéo dài FE cắt AB tại H
+) Chỉ ra E là trực tâm
+) Xét

, suy ra

vuông tại H nên

Suy ra:
Mà OC là bán kính của (O) nên IC là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2. Cho đường tròn(O;R) và đường thẳng d cắt (O;R) tại hai điểm E và F. Gọi A là điểm trên d sao cho E
nằm giữa A và F. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến (O;R) với B, C là tiếp điểm và B, O nằm về hai phía
của đường thẳng d. Gọi H là trung điểm của EF , đường thẳng BC cắt OA tại I, cắt OH tại K. Chứng minh:
và KF là tiếp tuyến của (O;R)
Hướng dẫn
*Chứng minh:
Bước 1. Chứng minh

Bước 2. Chỉ ra
K

B
F
H

E

A

I

O

C

*Chứng minh KF là tiếp tuyến của (O;R)
Bước 1. Chứng minh:
Bước 2. Chỉ ra:
Mà OF là bán kính của (O) nên KF là tiếp tuyến của (O;R).
Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng OA (C khác O và A). Đường
thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kỳ trên cung BK (M khác B
và K). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H, D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn
tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua
trung điểm của DH.
Hướng dẫn
*Chứng minh: A, N, D thẳng hàng.

D

I

K

M

N

H

A

Bước 1. Chứng minh

C

từ giả thiết

B

O

đường kính AB.

Bước 2. Chứng minh
+) Chỉ ra AM, DC là hai đường cao của
+) Suy ra

hay

nên H là trực tâm của

từ đó suy ra A, N, D thẳng hàng.

*Chứng minh tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn (O) đi qua trung điểm của DH.
Bước 1. Gọi I là trug điểm của DH. Chỉ ra
(tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
cân tại I nên
Bước 2. Chỉ ra

cân tại O nên

Suy ra
Bước 3. Xét
Suy ra:

vuông tại C nên

vuông tại N và có NI là trung tuyến nên

Mà ON là bán kính của (O) nên IN là tiếp tuyến của (O) hay tiếp tuyến tại N của (O) đi qua I là trung điểm của
DH.
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN, CHỨNG MINH ĐƯỜNG KÍNH
Tính chất 1. Nếu
vuông ở A thì A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.
Tính chất 2. Nếu tứ giác ABCD nội tiếp và
Tính chất 3. Nếu

thì AB là đường kính của (O).

Tính chất 4. Nếu hình thang ABCD (AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) thì ABCD là hình thang cân.
Các tính chất 1,2,3 ta được sử dụng, tính chất 4 ta phải chứng minh lại như sau:
A

B

1

D

2

2
1

1

O

Cách 1. (Cộng cung để được hai đường chéo bằng nhau)
Có

(hai góc so le trong)

Do đó ABCD là hình thang cân
Cách 2. (Cộng hai góc để được hai góc kề một đáy bằng nhau)
Có

(Hai góc so le trong)

Mà
Xét (O) có
Do đó ABCD là hình thang cân

C

Cách 3. ( Sử dụng tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180 0 và tổng hai góc trong cùng phía của hai
đường thẳng song song bằng 1800).
Vì tứ giác

nội tiếp nên

Do

(tổng hai góc đối).

nên

(tổng hai góc trong cùng phía).

Suy ra

, do đó

là hình thang cân.

Ví dụ 1. Cho đường tròn

và dây

. Các đường cao
điểm đối xứng với

qua

cố định khác đường kính. Lấy điểm
của

cắt nhau tại

. Chứng minh

và tứ giác

thuộc cung lớn

. Vẽ đường kính

là hình thang cân

Hướng dẫn

A
1

D
E

O
H
1

B

2

1

F

C

2
3

K

I

* Chứng minh
Cách 1 (Chứng minh

)

Bước 1. Chứng minh
Do
đối xứng
với qua
Suy ra

(c.c.c) nên

Bước 2. Xét tứ giác
Mà

:
nên là trung trực

,

có

(do

nội tiếp, mà

Cách 2 (Chứng minh

nên

)

Bước 1. Chỉ ra

(cùng bằng

Bước 2. Chứng minh

)
(c.c.c), suy ra

nên tứ giác

Mà
nên
* Chứng minh tứ giác

.

.
)

(đối đỉnh) nên

Do đó tứ giác

Từ đó suy ra

, do đó

nội tiếp.

.
là hình thang cân

.

của

. Gọi

mà
là

+) Chứng minh tứ giác

là hình thang

Do
đường kính
nên
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra
, mà
nên
, do đó tứ giác
là hình thang
+) Chứng minh tứ giác
là hình thang cân
Cách 1 (Chứng minh
dựa vào hình bình hành)
Bước 1. Chứng minh tứ giác
là hình bình hành, suy ra
.
Bước 2. Từ
(cmt), suy ra
.
Từ đó suy ra
nên tứ giác
là hình thang cân.
Cách 2 (Chứng minh
dựa vào cộng cung)
Bước 1. Từ

(hai góc so le trong)

Bước 2. Cộng hai vế với

được
nên tứ giác

Cách 3 (Chứng minh
Từ
Mà

là hình thang cân.

dựa vào cộng góc)
(hai góc so le trong)

(cùng chắn

) nên

Vì
(cùng chắn
)
Do đó tứ giác
là hình thang cân.

hay

Cách 4 (Chứng minh
tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng
phía của hai đường thẳng song song bằng
)
Vì tứ giác
Do

nội tiếp nên

(tổng hai góc đối)

nên

Suy ra

(tổng hai góc trong cùng phía)
, do đó

là hình thang cân.

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn
thuộc cung

(

và tổng hai góc trong cùng

khác

đường kính
và

tại . Chứng minh

. Gọi

). Kẻ
và

tại

,

là điểm chính giữa của cung
cắt

lần lượt tại

thuộc đường tròn ngoại tiếp

.

Hướng dẫn

C
1

M
E

1

K
1

A
* Chứng minh

1

2

2
1

H

I

O

B

và
. Kẻ

là điểm

Cách 1 (Chứng minh
Bước 1. Chỉ ra
Bước 2. Chứng minh

)
vuông tại

, đường cao
(g.g), suy ra

nên

hay
Từ đó suy ra
Cách 2 (Chứng minh

(cùng bằng
)

Bước 1. Chứng minh
Bước 2. Xét
Từ đó suy ra

(cùng bằng

có

* Chứng minh

)
)

(cùng chắn
, do đó

) nên

hay
thuộc đường tròn ngoại tiếp

.
.

Bước 1 Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

(cùng nhìn đoạn

).

Bước 2 Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

(cùng nhìn đoạn

).

Bước 3 Xét

có

Suy ra

(quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm).
nên

Mà

, do đó tứ giác

thuộc đường tròn ngoại tiếp

Ví dụ 3. Cho đường tròn
(

và dây

nên

nội tiếp.

thuộc đường tròn ngoại tiếp

cố định khác đường kính. Gọi

.

là điểm di động trên cung lớn

khác ,
khác
và
khác điểm chính giữa của
). Các đường cao
,
,
của
cắt nhau tại . Chứng minh
và đường tròn ngoại tiếp
đi qua trung điểm của

.
Hướng dẫn

A
X

E
F

H
1

B
* Chứng minh

1 2

D

1

N

C

Bước 1 Kẻ tiếp tuyến
Bước 2 Chứng minh
+) Xét

của

có

tại
như sau

thì

(tính chất tiếp tuyến).

(cùng bằng nửa số đo

+) Chứng minh tứ giác

).

nội tiếp, suy ra

nên

.

Mà
là hai góc so le trong nên
, do đó
.
* Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
đi qua trung điểm của
Bước 1 Chỉ ra đường tròn ngoại tiếp tứ giác
có tâm
là trung điểm của
Bước 2 Chứng minh các tứ giác
và
nội tiếp.
Suy ra

(cùng nhìn đoạn

Bước 3: Xét (N) có

),

(cùng nhìn đoạn

).

(quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm).

Suy ra

nên

Mà
tiếp

.

, do đó tứ giác

thuộc đường tròn ngoại tiếp
đi qua N là trung điểm của BC.

nội tiếp.

nên N thuộc đường tròn ngoại tiếp

hay đường tròn ngoại

DẠNG 5: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TA- LÉT VÀ ĐỊNH LÝ TA- LÉT ĐẢO
Tính chất 1 (Tính chất thường gặp trong tam giác) Cho
có E và F lần lượt thuộc cạnh AB và AC sao cho
//
. Một đường thẳng d đi qua A và qua trung điểm của BC. Chứng minh d cũng đi qua trung điểm của
EF.
Chứng minh
A

I

E

F

C

M

B

Gọi M và I lần lượt là giao điểm của d với BC và EF.
Do
Xét

//

nên
có

//
//

//
nên

.
(Định lí Talet).

Xét

có

//

Suy ra

nên

(Định lí Talet).

, mà

nên

hay d đi qua trung điểm của

Tính chất 2 (Tính chất thường gặp trong hình thang) Cho hình thang
nhau tại . Qua kẻ đường thẳng song song với đáy, cắt
và

.

(
//
) có các đường chéo cắt
theo thứ tự tại và .Chứng minh

Chứng minh
B

A

F

E

O

C

D

có

//

nên

(Định lí Talet).

có

//

nên

(Định lí Talet).

có

//

Suy ra

nên
nên

(Định lí talet).
.

Tính chất 3 (Tính chất thường gặp trong tam giác vuông) Cho
sao cho
. Chứng minh
.
Chứng minh

C
1

M

2 1

1
B

vuông tại

, lấy điểm

trên cạnh

A

Vì

nên

cân tại

Mà

, do đó
nên

Ví dụ 1. Cho điểm

cân tại

thuộc nửa đường tròn

tuyến

với nửa đường tròn

điểm của

và

đường kính

. Tiếp tuyến tại

Chứng minh

của

(
cắt

và khi

khác
lần lượt tại

, hãy tính diện tích

Hướng dẫn
* Chứng minh
Bước 1 Chứng minh

(g.g)

Bước 2 Chỉ ra
Mà

, suy ra

//

(tính chất tiếp tuyến) nên

(Talet đảo).

.

F
M
E
K

A

H

O

B

và

). Kẻ các tiếp
Gọi
theo

là giao
.

* Tính diện tích

theo

Bước 1 Kéo dài

cắt

Bước 2 Chứng minh

khi
tại

thì

(do

là trung điểm của

có

//

nên

(Định lí Talet).

có

//

nên

(Định lí Talet).

có

//

nên

(Định lí talet).

Suy ra

hay

Bước 3 Xét

và

).

là trung điểm của

có chung đáy

Suy ra

.

và đường cao

.

(tính chất tỉ số diện tích).

Có

và

Vậy

(đvdt).

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ

đường kính

chứa nửa đường tròn). Gọi

tròn và tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt
. Chứng minh

Hướng dẫn

là trung điểm của

. Kẻ hai tiếp tuyến

và ba điểm

lần lượt tại
thẳng hàng.

x
N

y

với nửa đường tròn đó (
là điểm bất kỳ thuộc nửa đường

. Kẻ

và

cắt

tại

C

M
D
I

O

A

* Chứng minh

H

B

là trung điểm của

Bước 1 Kéo dài

cắt

+) Chỉ ra

tại

vuông tại

và chứng minh

và có

nên

+) Mà

nên

Do đó

cân tại

nên

, suy ra

.

nên

(Định lý Ta lét).

Bước 2: Chứng minh
+)

có

+)

có

nên

Suy ra

(Định lý Ta lét).

, mà

nên

* Chứng minh

thẳng hàng

Bước 1: Kéo dài

cắt

Bước 2: Gọi
Suy ra

trùng

tại

là giao điểm của
, mà

nên

hay

là trung điểm của

và chứng minh
và

Chứng minh
hay

là trung điểm

thẳng hàng.

.

Ví dụ 3: Cho đường tròn

và dây cung

không đi qua tâm

. Từ điểm

thuộc tia đối của tia

khác ) vẽ hai tiếp tuyến
đến
với
là hai tiếp điểm và
thuộc cung nhỏ
. Gọi
trung điểm của
. Đường thẳng đi qua và song song với
cắt
tại . Chứng minh tứ giác
nội tiếp và đường thẳng
đi qua trung điểm của
.
Hướng dẫn

D

O
S
N
* Chứng minh tứ giác

Từ đó suy ra

hay

nên tứ giác

+) Từ tứ giác

nội tiếp

tại

có

Suy ra
có

Bước 2: Kéo dài
có

+)

có

và chứng minh
(cùng nhìn

(cùng chắn cung
nên

+)

nội tiếp.

đi qua trung điểm của
cắt

+) Xét

B

(hai góc đồng vị).

Bước 1: Kéo dài

+) Xét

M

cùng thuộc một đường tròn đường kính

(gt)

* Chứng minh

K
C

nội tiếp

Bước 1: Chứng minh năm điểm
(cùng nhìn
).
Bước 2: Từ

H

A

).

).

.

là trung điểm của
cắt

tại

nên
nên

và

và chứng minh
(Định lý Ta lét).
(Định lý Ta lét).

nên

.

(
là

Suy ra
Vậy

, mà
đi qua trung điểm của

nên
.

hay

là trung điểm của

.

DẠNG 6: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC
Tính chất 1

A

K

D

B


Với

là phân giác trong của

thì ta có



Với

là phân giác ngoài của

thì ta có




Kết nối hai tỷ số trên, ta được tính chất
hay
(phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc với nhau)

C


Tính chất 2

A

O
B

C
M



Cho

nội tiếp đường tròn

là điểm chính giữa của


Nếu



Nếu

. Nếu

là tia phân giác của góc

và ngược lại.

là điểm chính giữa của
thì

và điểm

thì

.

và ngược lại (liên hệ giữa cung và dây cung).

thì

Ví dụ 1: Cho đường tròn

và dây

. Lấy điểm

là điểm chính giữa của cung lớn
điểm thứ hai là

. Các dây

nằm ngoài đường tròn

. Kẻ đường kính

và

cắt nhau tại

của

,

và nằm trên tia

cắt

tại

. Chứng minh

. Tia

. Gọi
cắt

và

tại
.

Hướng dẫn

P

I
O
C

A

K

B

D
Q

*Chứng minh
Bước 1: Xét tứ giác
(g.g), suy ra

nội tiếp đường tròn
.

(góc ngoài bằng góc đối), do đó

Bước 2: Chứng minh

∽

.

Từ đó ta được

(g.g), suy ra

∽

.

*Chứng minh
Bước 1: Chứng minh
Mà

là trung trực của

nên

(liên hệ giữa cung và dây cung).

Bước 2: Từ
Suy ra

nên

(do
, do đó

Ví dụ 2: Cho đường tròn
đường thẳng

là đường phân giác trong của

.

(tính chất phân giác).

Bước 3: Vì
Suy ra

.

qua

) nên

là đường phân giác ngoài của

hay

.

đường kính

và vuông góc

.

. Trên

. Trên tia đối của tia
, lấy điểm

tùy ý. Gọi

lấy điểm

mà

. Kẻ

lần lượt là giao điểm thứ hai

của

với

;

là giao điểm của

thẳng hàng và

với

,

là giao điểm của

với

. Chứng minh ba điểm

.

Hướng dẫn

E

D
I
M

B

O

A

C
F

 Chứng minh ba điểm
Bước 1: Chứng minh
Suy ra

,
,

nên

Bước 2: Sử dụng
,

thẳng hàng
là hai đường cao của

là trung trực

Từ dó suy ra

,

và

.

đường kinh
,

.

.

thẳng hàng.

 Chứng minh
Bước 1: Chứng minh tứ giác

nội tiếp nên

Bước 2: Chứng minh tứ giác

nội tiếp, suy ra

Từ đó được

nên

là phân giác trong của

( cùng nhìn đoạn
( cùng nhìn đoạn
.

).
).

Suy ra

( tính chất phân giác).

Bước 3:Sừ dụng
Suy ra

nên

là phân giác ngoài của tam giác

( tính chất phân giác), do đó

Ví dụ 3. Cho

nhọn

tiếp tuyến này cắt nhau tại
trung điểm của

. Tia

hay

.

nội tiếp đường tròn
. Nối

.

. Kẻ hai tiếp tuyến tại

cắt đường tròn

cắt đường tròn

tại

tại

khác

khác

và cắt

. Chứng minh

,

của
tại

và hai
. Gọi

là

và

Hướng dẫn

A

K
O

H

I

B

C

D

M

 Chứng minh
Bước 1: Chứng minh năm điểm
( cùng nhìn
Bước 2: Xét
Từ đó suy ra

 Chứng minh

,

,

,

,

thuộc đường tròn đường kính

).

có

( cùng bằng nửa số đo
, mà

,

).

là hai góc đồng vị nên

.

, suy ra

Bước 1: Theo trên, ta có

,

,

,

,

thuộc một đường tròn nên

,
Bước 2: Do

,

là hai tiếp tuyến của

Từ đó suy ra

nên

Do đó

kẻ từ

nên

.

là phân giác trong của

.

(tính chất phân giác).

Bước 3: Xét

,

có cùng đường cao kẻ từ

, mà

nên

nên

.

Ví dụ 4. Cho đường tròn

. Gọi
và
ngoại tiếp tam giác nhọn
cung nhỏ
và cung nhỏ
. Hai dây
và
cắt nhau tại . Dây
và . Chứng minh tứ giác
là hình thoi.
Hướng dẫn
A
F
M

B

O

I

H
K

C
N

 Chứng minh

cân

Bước 1: Chứng minh
Kéo dài
Có

cắt

tại

cân.
và chỉ ra
,

là điểm chính giữa của
,

.
,

lần lượt là điểm chính giữa của
cắt

và

lần lượt tại

Nên

cân tại

Bước 2: Chứng minh
Do
Mà

cân tại
nên

Bước 3: Chứng minh

Mà

là trung trực của

là điểm chính giữa ủa cung nhỏ

Do

Do

.

nên

Như vậy tứ giác

là tia phân giác của

cũng là đường trung trực của đoạn thẳng
,

và

hay

.

.

.

là điểm chính giữa của cung nhỏ
nên

nên

cân tại
là hình thoi.

nên

, do đó

là tia phân giác của
.

.

DẠNG 7: DẠNG TÍNH TOÁN
A

A

O

O
B

B



Độ dài ( chu vi) đường tròn



Nếu



Diện tích hình tròn



Nếu

thì diện tích hình quạt tạo bởi



Nếu

thì diện tích hình viên phân tạo bởi dây



Thể tích hình trụ đường cao



Thể tích hình nón đường cao



Thể tích hình cầu và diện tích mặt cầu bán kính

thì độ dài

là

là

.

là

.

, bán kính đáy

nằm ngoài đường tròn

Đường thẳng qua

vuông góc với
, tính độ dài

và

cắt

là

.

và

là

là

, bán kính đáy

Ví dụ 1. Cho điểm

. Khi
.

.

.
.

là

.

là

. Từ
tại điểm

và

kẻ tiếp tuyến
khác

.
đến

. Chứng minh

nhỏ và thể tích tạo thành khi cho

với

là tiếp điểm.
là tiếp tuyến của

quay một vòng quanh

M

A

1
2

H

O

N
Hướng dẫn

* Chứng minh

là tiếp tuyến của

Bước 1: Chỉ ra

cân tại

Bước 2: Chỉ ra
nên

và

nên

cũng là phân giác của

(c.g.c) nên

Mà

là tiếp tuyến của

* Tính độ dài

nhỏ:

Bước 1: Sử dụng tổng các góc trong tứ giác

bằng

Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung, ta tính được độ dài
(đvdt)
* Tính thể tích tạo thành khi cho
Bước 1: Gọi
+ Xét

là giao điểm của
vuông tại

và

quay một vòng quanh
và
nên

do đó

nhỏ là:

.

là bán kính của

+
Bước 2: Khi cho

quay một vòng quanh

ta được hai hình nón có cùng bán kính đáy là

và đường cao là

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn

đường kính

lượt là điểm chính giữa cung
và

nên thể tích hình tạo thành là

và điểm

Tính độ dài đoạn

tùy ý trên nửa đường tròn đó. Gọi

và diện tích hình viên phân tạo thành bởi dây

nhỏ.

Hướng dẫn

* Tính độ dài đoạn
Bước 1: Chỉ ra
Suy ra

vuông tại

Bước 2: Sử dụng định lý Pytago trong
* Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây
Bước 1: Tính được diện tích hình quạt tạo bởi
(đvdt)

.

vuông tại
và

tính được

nhỏ.
nhỏ là

lần

Bước 3: Tính được diện tích

vuông tại

Suy ra diện tích hình viên phân tạo bởi dây

là
và

(đvdt).
nhỏ là:

(đvđd)
Ví dụ 3: Cho đường tròn
nhọn. Kẻ

và dây

tại

Gọi

tại

. Gọi

là điển thay đổi trên cung lớn

là giao điểm của

chứng minh
Hướng dẫn

* Tính độ dài

nhỏ:

Bước 1: Kẻ
Bước 2: Xét

tại

và chỉ ra

vuông tại

là trung điểm của

và

nên:

Bước 3: Sử dụng công thức tính độ dài cung, ta tính được dộ dài
(đvđd)
* Chứng minh

nhỏ là:

và

sao cho

Tính độ dài

nhỏ và

Bước 1: Tính được
Bước 2: Sử dụng tổng các góc trong tứ giác

bằng

Bước 3: Tính được

do đó tứ giác

Suy ra

nên
(cùng nhìn đoạn

).

.
nội tiếp.

Hệ thống bài tập trong chủ đề
Bài 1: Từ điểm

ở ngoài đường tròn

là giao điểm của
các tia

và

là tiếp điểm). GỌi

đường thẳng qua
cân tại

nằm ngoài đường tròn

với

Tứ giác

và

vuông góc với

cắt

là trung điểm

, đường thẳng

cắt

tại hai điểm

là hình gì? Vì sao?

nội tiếp đường tròn

của hai đường chéo
Gọi

và

là

đường kính

Kẻ

vuông góc với

tại

Tia

Gọi giao điểm
cắt

tại điểm thứ

lên các đường thẳng

Chứng minhh

cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn

không phải là đường kính của

tiếp điểm. Gọi

Từ

là trung điểm của

Chứng minh

Gọi

bất kì đi qua

kẻ các tiếp tuyến

đến

sao

với

là giao điểm thứ hai của đường thẳng

là các
và

.

và

Bài 5: Cho đường tròn

và dây cung

( khác
và
góc kẻ từ
đến
Chứng minh

cố định khác đường kính. Gọi

và một điểm
(với

là điểm bất kì trên cung nhỏ

). Kẻ đường kính
của đường tròn
là chân đường vuông góc kẻ từ
đến

và
và

Cho đường tròn

Đường thẳng
của đoạn thẳng

thuộc cung nhỏ

đi qua trung điểm của

Bài 4: Cho ba điểm

của đường tròn

(

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

và

Bài 6.

(với

với
Qua
vẽ đường thẳng không đi qua
cắt
tại hai điểm
và
với
Đường thẳng vuông goác với
tại
cắt đường thẳng
tại
Gọi
là giao điểm thứ

Bài 3: Cho tứ giác

cho

đến

là trung điểm của
Chứng minh

. Lấy điểm

hai của đường thẳng

hai là

Gọi

theo thứ tự tại

Bài 2: Cho đường tròn
và

vẽ hai tiếp tuyến

nằm ngoài đường tròn

là tiếp điểm). Trên đoạn thẳng

cắt đường tròn
. Đường thẳng

tại hai điểm
đi qua điểm

Gọi
Gọi

là chân đường vuông
là trung điểm của

. Kẻ tiếp tuyến
lấy điểm

và
(với
nằm giữa
và song song với
,

(

và đường kính

khác

và ). Gọi
cắt
tại

,

khác

).

là trung điểm
. Chứng minh

.
Bài 7.
và

Từ điểm

nằm ngoài đường tròn

là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ

chiếu vuông góc của
. Chứng minh

trên

,

của
,

và

. Gọi
.

, kẻ hai tiếp tuyến

và

lấy điểm

và

khác

là giao điểm của

và

đến đường tròn
. Gọi
,

,

,

(với

lần lượt là hình

là giao điểm của

và

Bài 8.
tuyến
điểm
Bài 9.

Từ điểm
sao cho

ở ngoài đường tròn
, vẽ tiếp tuyến
và tia
nằm giữa hai tia

trên đường thẳng
Cho

. Chứng minh tứ giác

nhọn
trên

và

, . Chứng minh
tròn ngoại tiếp
.
Bài 10.

Cho

và

nhọn

tròn ngoại tiếp tứ giác
của

và

. Gọi

,

nội tiếp và

nội tiếp đường tròn

là hình chiếu vuông góc của

đến
(với
là tiếp điểm) và vẽ cát
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
là phân giác của

. Kẻ

. Đường thẳng

tại

. Gọi

cắt đường thẳng

tại

là điểm chính giữa của
có các đường cao

. Trên cung nhỏ

của

là giao điểm của

với

,

cắt nhau tại

, lấy điểm

sao cho

. Chứng minh

Bài 13.

và tứ giác

. Gọi
là giao điểm của
Bài 14.

đường kính

là điểm thuộc cung nhỏ
và

. Gọi

Cho đường tròn

. Gọi

và đường thẳng

. Các đường cao
điểm đối xứng với

qua

và dây
,

. Gọi

. Chứng minh

,

của

. Chứng minh

cắt

tại hai điểm

cắt nhau tại
và tứ giác

đường kính
). Kẻ
và

. Gọi
tại

là giao điểm
tại
nằm
. Đường tròn

. Gọi
tại

là điểm
. Chứng

thẳng hàng.

là giao điểm của
là tiếp tuyến của
và

. Gọi

và

,

.

là điểm trên

với ,
là các tiếp điểm và
. Đường thẳng
cắt
tại , cắt

.
trên đoạn thẳng
( khác
và ).
. Gọi
là điểm bất kỳ trên cung
(
lần lượt tại , . Đường thẳng
,
thẳng hàng và tiếp tuyến tại
của

cố định khác đường kính. Lấy điểm

. Chứng minh

Bài 17. Cho nửa đường tròn
thuộc cung
(
khác
và
tại

,

,

. Gọi

tại . Chứng minh
và
là tiếp tuyến của
Bài 15. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính
. Lấy điểm
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
cắt nửa đường tròn tại
khác
và ). Đường thẳng
cắt các đường thẳng
,
cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là . Chứng minh ba điểm ,
nửa đường tròn đi qua trung điểm của
.
Cho đường tròn

là đường

là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn sao cho

sao cho
nằm giữa
và . Từ
kẻ các tiếp tuyến
và
đến
,
...