CHƯƠNG

GV. LƯƠNG ANH NHẬT

1

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A

B

H

D

K

I

C

VỮNG KIẾN THỨC – NHẠY TƯ DUY

GV. LƯƠNG ANH NHẬT

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. Đặt vấn đề
Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Chứng minh
a) AB2 = BH.BC , AC 2 = CH.CB .
b) AB.AC = AH.BC .
c) AH 2 = BH.CH .
d)

1
1
1
.
=
+
2
2
AH
AB AC 2
Giải
A

C

B
H

a) Xét hai tam giác vuông ABH và CBA có ABH chung nên ABH ∽ CBA (g.g)
Suy ra

AB BH
=
 AB2 = BH.BC
BC AB

Tương tự, cũng có AC 2 = CH.CB
b) Vì HBA ∽ ABC (cmt)
nên

AH AB
=
 AB.AC = AH.BC
AC BC

c) Xét hai tam giác vuông ABH và CHA có HAB = ACH (cùng phụ ABC )
Nên AHB ∽ CHA (g.g)
Suy ra

AH BH
=
 AH 2 = BH.CH
CH AH

1
BC
1
BC 2
AB2 + AC 2
d) Ta có AH.BC = AB.AC 
=

=
=
AH AB.AC
AH 2 AB2 .AC 2
AB2 .AC 2
Vậy

1
1
1
.
=
+
2
2
AH
AB AC 2
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 1

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

II. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
Từ kết quả của phần trên, ta suy ra
•

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh góc vuông bằng tích của
cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

•

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với
đường cao tương ứng của cạnh huyền đó.

•

Định lý 3: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

•

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng
nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông.

Ta dùng các kết quả nêu trên như là một công thức và được phép sử dụng.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH. Biết BH = 12, 5 cm, và CH = 72 cm. Tính
AH, AB và AC.
Giải
Ta có BC = BH + CH = 12, 5 + 72 = 84, 5
Lại có AH 2 = BH.CH = 12, 5.72 = 900  AH = 30 cm
AB2 = BH .BC = 12, 5.84, 5 = 1056, 25  AB = 32, 5 cm
AC 2 = CH .CB = 72.84, 5 = 6084  AC = 78 cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết AC = 40 cm , AH = 24 cm . Tính
AB, BC, BH và CH.
Giải
A

Ta có CH = AC 2 − AH 2 = 402 − 242 = 32 cm

B

AC 2 402
AC = CH.CB  CB =
=
= 50 cm
CH
32
2

AB = BC 2 − AC 2 = 502 − 402 = 30 cm

AB2 = BH.BC  BH =

H

AB2 302
=
= 18 cm
BC
50

D

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD, qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H. Biết
AB = 20 cm , AH = 12 cm . Tính các cạnh còn lại và đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

Giải

2 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

C

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Ta có HB = AB2 − AH 2 = 202 − 122 = 14 cm

AB2 202 200
Áp dụng AB = BH.BD  BD =
=
=
cm
BH
14
7
2

AD.AB = AH.BD  AD =

AH.BD
=
AB

200
7 = 120 cm
20
7

12.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết AB = 15 cm , BH = 9 cm . Tính
diện tích tam giác ABC.
Giải

AB2 152
Ta có AB = BH.BC  BC =
=
= 25 cm  CH = BC − BH = 25 − 9 = 16 cm
BH
9
2

Khi đó AH 2 = BH.CH = 9.16  AH = 9.16 = 12 cm
Diện tích tam giác ABC là SABC =

1
1
AH.BC = 12.25 = 150 cm 2
2
2

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết BD = 15 cm ,
DC = 20 cm . Tính độ dài AD.

Giải
A

B

C
H

D

Ta có AD là đường phân giác của tam giác ABC
Suy ra

AB BD 15 3
=
=
=
AC CD 20 4

Đặt AB = x  AC =

3
x với x  0
4

Lại có BC = BD + CD = 35 cm
Áp dụng định lý Pytago, ta có
2

3 
25 2
AB + AC = BC  x +  x  = 352 
x = 352  x2 = 784  x = 28
16
4 
2

2

2

2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 3

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

 AB = 28 cm và AC = 21 cm

Áp dụng AB2 = BH.BC  BH =

 HD = BH − BD =

AB2 282 112
=
=
cm
BC
35
5

112
37
− 15 =
cm
5
5

Ta lại có AH.BC = AB.AC  AH =

AB.AC 28.21 84
=
=
cm
BC
35
5
2

2

 84   37 
Khi đó AD = AH + HD =   +   = 337 cm .
 5   5 
2

2

2

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên đoạn HB lấy điểm
M sao cho AMC = 900 và trên đoạn HC lấy N sao cho ANB = 900 . Chứng minh
b) AM = AN

a) AD.AC = AE.AB

Giải
A

D
E

H
N
M

C

B

a) Xét hai tam giác vuông ABD và ACE có BAC chung nên ABD ∽ ACE
Suy ra

AB AD
=
 AD.AC = AE.AB
AC AE

b) Xét tam giác vuông AMC có MD là đường cao nên MA2 = AD.AC
xét tam giác vuông ANB có NE là đường cao nên NA2 = AE.AB
Mà AD.AC = AE.AB
Do đó MA2 = NA2  AM = AN .
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AH và BK. Chứng minh
a)

1
1
1
=
+
2
2
BK
BC
4 AH 2

b) BC 2 = 2CK.CA

4 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Giải
A

K

I

C

B
H

a) Vẽ HI vuông góc AC tại I
Suy ra HI là đường trung bình của tam giác BCK
Nên HI =

1
BK
2

Xét tam giác AHC vuông tại H có HI là đường cao

1
1
1
1
1
1
=
+

=
+
2
2
2
2
2
HI
HC
AH
AH 2
 BK 
 BC 
 2 
 2 




Suy ra

4
4
1
1
1
1
=
+

=
+
2
2
2
2
2
BK
BC
AH
BK
BC
4 AH 2

b) Xét tam giác AHC có
2

 BC  CK
BC 2 CK
CH 2 = CI .CA  
=
.
CA

=
.CA  BC 2 = 2CK.CA

2
4
2
 2 
Bài tập
1.1 Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Biết AB = 13,6 cm , AC = 25, 5 cm . Tính
AH, BH và CH.
1.2 Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Biết AB = 15 cm , CH = 16 cm . Tính độ dài
AC, BC và AH.
1.3 Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Biết BC = 28,9 cm , AH = 12 cm . Tính độ
dài AB và AC.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 5

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

1.4 Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến AM và AB = 5 cm , AC = 12 cm và
BC = 13 cm . Tính độ dài AM và AH.

1.5 Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết rằng

HB 9
và AH = 48 cm . Tính
=
HC 16

AB, AB và BC.
1.6 Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Biết rằng

AB 3
= và BC = 125 cm . Tính
AC 4

độ dài AH.
1.7 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Biết tam giác ABM là tam giác
đều và có cạnh bằng

3 cm.

a) Tính độ dài AC và AH.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

1.8 Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 5 cm , đường cao AH = 3 cm . Gọi M và N là trung
điểm của HC và AC. Tính độ dài AM và BN.
1.9* Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5 cm , BC = 6 cm , các đường cao AH và BK. Vẽ tia Bx
vuông góc AB tại B. Gọi M là giao điểm của tia Bx và tia AC. Tính diện tích tam giác ABM (làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
1.10 Cho hình vuông ABCD. Một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng AI cắt DC tại K. Chứng
minh

1
1
không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên cạnh BC (I không tùng với B và C).
+
2
AI
AK 2

1.11 Cho tam giác ABC vuông ở A có I là trung điểm AB. Kẻ IH vuông góc với BC tại H. Chứng
minh

1
1
1
.
=
+
2
2
4IH
AB
AC 2

1.12 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đường chéo AC và BD vuông góc nhau. Chứng
minh

1
1
1
.
=
+
2
2
AD
AC
BD2

1.13 Hình vuông ABCD có I thuộc cạnh BC (I khác B và C). Gọi K là giao điểm của hai đường
thẳng AI và DC. Chứng minh

1
1
1
.
= 2+
2
AB
AI
AK 2

1.14* Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi H là hình chiếu của A trên BD và K, I lần
lượt là hình chiếu của H trên BC và CD. Chứng minh
a)

HB a 2
=
HD b2

b) HK =

6 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

a3
a2 + b2

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1.15 Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = a . Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc
nhau. Tính AC và BC theo a.
1.16 Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Vẽ HE ⊥ AB , HF ⊥ AC . Chứng minh
a) AEHF là hình chữ nhật.

d) AH 3 = EB.BC.CF

b) AE.AB = AD.AC

e)

AB3 BE
=
AC 3 CF

c) EA.EB + FA.FC = HB.HC

f)

BH 3 BE2
=
CH 3 CF 2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 7

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

BÀI 2: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN
I. Khái niệm tỷ số lượng giác của một góc nhọn
_ Cho góc xOy =  . Từ điểm A trên Ox (A khác O) vẽ AB ⊥ Oy tại B.
x

E
C
A

y

α
O
B

D

F

Bên cạnh đó, ta lấy thêm các điểm C và E trên Ox rồi lần lượt vẽ CD ⊥ Oy tại D và EF ⊥ Oy tại F.
Ta thấy các tỷ số

OB OD OF
AB CD EF OB OD OF AB CD EF
,
,
và
=
=
=
=
=
=
=
=
OA OC OE OA OC OE OB OD OF
AB CD EF

Việc ta lấy thêm các điểm C và E cũng giống như việc tịnh tiến hay còn gọi là thay đổi vị trí của
A trên Ox
Như vậy, các tỷ sô ban đầu là

OB
AB OB AB
,
,
và
không phụ thuộc vào vị trí của A trên Ox
AB
OA OA OB

mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của xOy .
Ta gọi
_ Tỷ số

AB
là sin của góc  và ký hiệu là sin  .
OA

_ Tỷ số

OB
là côsin của góc  và ký hiệu là cos  .
OA

_ Tỷ số

AB
là tang của góc  và ký hiệu là tan  .
OB

_ Tỷ số

OB
là côtang của góc  và ký hiệu là cot  .
AB

Các tỷ số trên gọi chung là tỷ số lượng giác của góc  và các tỷ số này luôn dương. Hơn nữa, ta
cũng có
sin   1 và cos   1

8 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
II. Tỷ số lượng giác của hai góc phụ nhau
_ Định lý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia và tang góc này bằng côtang
góc kia.
Ví dụ 1: Cho  = 600 và  = 300 . Khi đó sin  = cos  và tan  = cot  .
III. Một số hệ thức cơ bản
Cho  là góc nhọn, ta có các hệ thức sau
a) sin 2  + cos2  = 1

b) tan  =

Ví dụ 2: Cho  là góc nhọn và sin  =

cos 
sin 
và cot  =
cos 
sin 

c) tan  .cot  = 1

1
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
3
Giải
2

1
2 2
sin  + cos  = 1  cos  = 1 − sin  = 1 −   =
3
3
2

2

 tan  =

2

1
sin 
1
1
3
=
 cot  =
=2 2
cos  2 2 2 2
tan 
3

IV. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt


30 0

450

60 0

sin 

1
2

2
2

3
2

cos 

3
2

2
2

1
2

tan 

1

Tỷ số lượng giác

3

cot 

3

1

1

3
1
3

Bài toán so sánh các giá trị lượng giác
Cho hai góc nhọn a và b, ta có
•

a  b  sin a  sin b và tan a  tan b

•

a  b  cos a  cos b và cot a  cot b

Ví dụ 3: Sắp xếp các tỷ số dưới đây theo tỷ lệ tăng dần.
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 9

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

a) sin 400 , cos 280 , sin 680 , cos 880 .
b) tan 650 , cot 420 , tan 760 , cot 27 0 .
Giải
a) Ta có sin 40 0 = cos 50 0 ,sin 68 0 = cos 22 0 khi đó cos 880  cos 500  cos 280  cos 220
Hay cos 880  sin 400  cos 280  sin 680 .
b) Ta có tan 650 = cot 250 , tan 76 0 = cot 14 0 khi đó cot 420  cot 27 0  cot 250  cot140
Hay cot 420  cot 27 0  tan 650  tan 760 .
Ví dụ 4: Hãy so sánh sin  và tan  ; cos  và cot  với  là góc nhọn.
Giải
•

sin  và tan 

Ta có tan   sin  
•

sin 
 sin   sin   sin  .cos   1  cos  (đúng)
cos 

cos  và cot 

Ta có cos   cot   cos  

cos 
 sin  .cos   cos   sin   1 (đúng)
sin 

Ví dụ 5: Tính giá trị các biểu thức sau
a) A = sin 2 100 + sin2 200 + ... + sin 2 700 + sin 2 800 .

3sin 540
b) B = sin 14 + sin 76 + tan 2 .tan 88 −
.
cos 360
2

0

2

0

0

0

Giải
a) Ta có A = sin 2 100 + sin2 200 + ... + sin 2 700 + sin 2 800

(

) (

) (

) (

(

) (

) (

) (

= sin 2 100 + sin 2 800 + sin 2 200 + sin 2 700 + sin 2 300 + sin 2 600 + sin 2 400 + sin 2 500

)

= sin 2 100 + cos2 100 + sin 2 200 + cos 2 200 + sin 2 300 + cos 2 300 + sin 2 400 + cos 2 40 0

= 1+ 1+ 1+ 1 = 4
3sin 540
cos 360

b) Ta có B = sin 2 140 + sin 2 760 + tan 20.tan 880 −

= sin 2 140 + cos2 140 + tan 20.cot 20 −
Ví dụ 6: Cho tan a = 3 . Tính P =

3sin 540
= 1 + 1 − 3 = −1
sin 540

cos a + sin a
.
cos a − sin a
Giải

10 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

)

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

cos a sin a
+
cos a + sin a cos a cos a 1 + tan a 1 + 3
P=
=
=
=
= −2 .
cos a − sin a cos a sin a 1 − tan a 1 − 3
−
cos a cos a
Bài tập
Không dùng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt cho các câu từ 2.1 đến 2.9
2.1 Cho  là góc nhọn và sin  =
2.2 Cho  là góc nhọn và cos  =

2
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
5
3
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
2

2.3 Cho  là góc nhọn và tan  = 3 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
2.4 Cho  là góc nhọn và cot  = 1 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
2.5 Cho  là góc nhọn và cos  = x . Tính các giá trị lượng giác còn lại của  .
2.6 Không dùng máy tính hãy sắp xếp các giá trị lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
b) cot 350 , tan 480 ,cot 44 0 , tan 530 ,cot 39 0 .

a) sin 250 ,cos150 ,sin 50 0 ,cos 66 0 .

2.7 Không dùng máy tính hãy so sánh các giá trị lượng giác sau
a) sin 320 và tan 320

b) cos 350 và cot 350

c) sin 250 và cot 550

d) cos 540 và tan 420

2.8 Không dùng máy tính hãy sắp xếp các tỷ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần
cot 36 0 , tan 72 0 ,cot 210 ,sin 54 0

sin 2 a − cos2 a
sin 3 a − cos3 a
2.9 Cho tan a = 3 . Tính P =
và Q =
.
sin a.cos a
sin 3 a + cos3 a
2.10 Cho góc a nhọn. Biết cos2 a − 2 sin 2 a =

1
. Tìm giá trị góc a.
4

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 11

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

BÀI 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. Các hệ thức
_ Cho tam giác ABC vuông ở C, ta có các hệ thức lượng giác của góc A như sau
B

C

sin A =

BC
AB

cos A =

AC
AB

tan A =

BC
AC

cot A =

AC
BC

A

Định lý
•

Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối
hoặc côsin góc kề.

•

Trong một tam giác vuông thì cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan
góc đối hoặc côtang góc kề.

Cho tam giác ABC vuông ở C với BC = a , CA = b và AB = c khi đó
B

a = c.sin A = c.cos B
b = c.sin B = c.cos A

c
a

a = b.tan A = b.cot A

b = a.tan B = a.cot B
C

A
b

II. Giải tam giác vuông
_ Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác vuông đó khi biết trước hai
cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn của nó.
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông ở C biết AC = 4 cm và BC = 3 cm .
Giải
Ta có AB2 = AC 2 + BC 2 = 42 + 32 = 25  AB = 5 cm

sin A =

BC 3
=  BAC  37 0  ABC = 530 .
AC 4

12 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở C biết AB = 13 cm và A = 230 .
Giải
Ta có A = 230  B = 900 − A = 670
AC = AB.cos A = 13.cos 230  12cm  BC = AB2 − AC 2 = 132 − 122 = 5 cm .

Ví dụ 3: Giải tam giác ABC vuông ở C biết BC = 20 cm và A = 430 .
Giải
Ta có A = 430  B = 900 − A = 470

AC = BC.cot A = 20.cot 430  21 cm, AB =

BC
20
=
 29 cm .
sin A sin 430

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A = 750 , B = 450 và AB = 6 cm . Tính diện tích tam giác ABC.
Giải
Ta có A + B + C = 1800  C = 1800 − A − B = 1800 − 750 − 450 = 600
Vẽ AD ⊥ BC
Xét tam giác vuông ABD ta có AD = AB = sin B = 6.sin 450 = 6.
BC = AB cos B = 6.cos 450 = 6.

2
= 3 2 cm
2

2
= 3 2 cm
2

Xét tam giác vuông ACD ta có CD = AD.cot C = AD.cot 60 0 = 3 2.

3
= 6 cm
3

Do đó BC = BD + CD = 3 2 + 6 cm
Vậy diện tích tam giác ABC là SABC =

(

)

1
1
AD.BC = .3 2. 3 2 + 6 = 3 3
2
2

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BK = h và

(

)

3 + 1 cm 2 .
A

ABC =  . Tính các cạnh của của tam giác theo h và  .
Giải
Tam giác ABC cân nên ACB = ABC = 
Ta có BK = BC.sin   BC =

BK
h
=
sin  sin 

Vẽ đường cao AH của tam giác ABC suy ra H là trung điểm
BC nên BH = CH =

K

B

C
H

BC
h
=
2
2 sin 
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 13

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

Trong tam giác AHC ta có CH = AC.cos   AC =
Do đó AB = AC =

h
2 sin  cos 

CH
h
=
cos  2 sin  cos 

.

Ví dụ 6: Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, biết AB = 5 cm , CD = 13 cm và BD vuông góc với
BC.
a) Tính độ dài đường cao BH của hình thang.
b) Tính diện tích hình thang.
c) Tính các góc của hình thang.
Giải
a) Kẻ AK vuông CD tại K, ta có AKD = BHC suy ra DK = CH
Lại có ABHK là hình bình hành có một góc vuông nên ABHK là hình chữ nhật
Suy ra HK = AB = 5 cm  DK = CH =

DC − HK 13 − 5
=
= 4 cm
2
2

Như vậy DH = DK + HK = 4 + 5 = 9 cm
Xét tam giác DBC có BH 2 = DH.CH = 9.4 = 36  BH = 6 cm .
b) Ta có SABCD =

1
1
AB + CD ) .BH = ( 5 + 13 ) .6 = 54 cm 2 .
(
2
2

c) Xét tam giác BHC có tan C =

BH 6 3
= =  C  56019'
CH 4 2

Suy ra D = 56019' và DAB = CBA = 1800 − 56019' = 1230 41' .
Bài tập
3.1 Với góc a nhọn. Chứng minh sin 2 a + cos2 a = 1 , tan a =

cos a
sin a
, cot a =
và tan a.cot a = 1 .
sin a
cos a

3.2
a) Giải tam giác ABC vuông tại A biết AB = 5 cm và AC = 8 cm .
b) Giải tam giác DEF vuông tại D biết DE = 100 cm và E = 510 .
c) Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 3 AB . Tính giá trị C .
d) Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 3BC . Tính giá trị B .
3.3 Tính góc nhọn  biết rằng sin  = cos  .

14 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
3.4 Một chiếc đò ở điểm A muốn băng ngang qua sông theo đường AH nhưng bị nước cuốn đến
điểm B cách H một đoạn bằng 50m. Tìm độ rộng của con sông và quãng đường đò đã đi với dữ
kiện được thêm ở hình dưới đây.
H

B

300

A

3.5 Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao 900 m. Một người quan sát nhìn chiếc máy bay đó dưới
góc  = 400 (như hình bên dưới). Tính khoảng cách từ người quan sát đến máy bay.
B

400
H

A

3.6 Cho tam giác ABC có B = 600 , AB = 15 cm , BC = 20 cm . Tính độ dài các góc và các cạnh còn
lại của tam giác ABC.
3.7 Cho tam giác ABC có AH là đường cao. Biết AB = 25 cm , B = 700 và C = 500 . Tính độ dài AH
và BC.
3.8 Cho tam giác ABC có A = 750 , B = 600 và AB = 6 cm . Tính diện tích tam giác ABC.
3.9 Cho tam giác ABC có A = 600 , B = 450 và AB = 12 cm . Tính diện tích tam giác ABC.
3.10 Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết AB = 4 cm , AH = 4 cm và D = 700 . Vẽ hai đường cao
AH và BK. Biết rằng KBC = 500 . Tính BC và DC.
3.11 Cho hình bình hành ABCD có BD vuông góc với BC. Biết AB = a và A =  . Tính diện tích
ABCD theo a và  .

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 15

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

3.12 Cho tam giác nhọn ABC có A = 750 , B = 600 , AB = c . Tính độ dài AC, BC theo c.
3.13* Cho tam giác ABC vuông ở C. Chứng minh tan

A
BC
.
=
2 AB + AC

Áp dụng kết quả trên tính giá trị lượng giác của góc 150 .
3.14* Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh

AB
BC
CA
.
=
=
sin C sin A sin B

Áp dụng kết quả trên tính giá trị lượng giác của góc 750 .
3.15 Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BE và CD. Chứng minh DE = BC.cos A .

16 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I
BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TỎNG TAM GIÁC VUÔNG
1.1
Dùng Pytago tìm được BC = 28,9 cm
Áp dụng AB.AC = AH.BC  AH = 12 cm
Áp dụng AB2 = BH.BC  BH = 6, 4 cm và CH = 22, 5 cm .
1.2 Đặt BH = x  BC = x + 16  BH.BC = AB2  x2 + 16x + 64 = 289  x = 9 và tính được
AH = 12 cm , BC = 25 cm và CA = 20 cm .

1.3
Cách 1:
Đặt BH = x  CH = BC − x = 28,9 − x
 BH.CH = AH 2  ( x − 14, 45 ) = 64,8025  x = 22, 5 hay x = 6, 4
2

Như vậy có hai trường hợp và kết quả là AB = 25, 5 cm , AC = 13, 6 cm và ngược lại.
Cách 2:
Xét BC 2 = AB2 + AC 2 và AB.AC = AH.BC
 AB2 + AC 2 + 2 AB.AC = ( AB + AC )2
 AB + AC = 39,1
 AB + AC = 39,1

Ta dùng 
hoặc



2
2
2
AB − AC = 11,9
 AC − AB = 11,9

AB
+
AC
−
2
AB
.
AC
=
AB
−
AC

(
)


Kết quả thu được như Cách 1.
1.4
Kiểm tra được BC 2 = AB2 + AC 2  ABC vuông tại A
Suy ra AM =

1
13
BC =
cm
2
2

Áp dụng AH.BC = AB.AC  AH =

60
cm
13

1.5
Đặt HB = x  HC =

9
x , với x  0
16

Áp dụng AH 2 = HB.HC  482 = x.

9
x  x = 64  BH = 64 cm và CH = 36 cm .
16

Suy ra BC = BH + CH = 100 cm
Áp dụng AB2 = BH.BC  AB2 = 64.100 = 6400  AB = 80 cm
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 17

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

Áp dụng định lý Pytago suy ra AC = 60 cm .
1.6
Đặt AB = x  AC =

3
x , với x  0
4
2

3 
Áp dụng định lý Pytago có BC = AB + AC  125 = x +  x   x2 = 10000  x = 100
4 
2

2

2

2

2

Suy ra AB = 100 cm và AC = 75 cm
Áp dụng AH.BC = AB.AC  AH =

AB.AC
 AH = 60 cm .
BC

1.7
A

C

B
H

a) Ta có AM =

M

BC
 BC = 2 3 cm
2

AH.BC = AB.AC  AH =

Áp dụng định lý Pytago

b) SABC =

BC 2 = AB2 + AC 2  AC = 3 cm

AB.AC 3
= cm
BC
2

1
3 3
AH .BC =
cm 2 .
2
2

Áp dụng
1.8
Áp dụng định lý Pytago

A

BH 2 + AH 2 = AC 2  BH = 2 cm

 CH = 2 cm  HM =
N

2
cm
2

Áp dụng định lý Pytago

G

AM 2 = AH 2 + HM 2  AM =
C

B
H

M

14
cm
2

Gọi G là giao điểm AH và BN

 G là trọng tâm tam giác ABC

18 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Nên GH =

1
3
AH =
cm
3
3

Áp dụng định lý Pytago BN 2 = GH 2 + BH 2  BN =

21
3
21
cm  BN = BG =
cm
3
2
2

1.9*
A

K

B

C
H

M
x

Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến

 HB = HC =

BC
= 3 cm
2

Xét tam giác ABH
Áp dụng định lý Pytago
AB2 = AH 2 + BH 2  AH = 4 cm

Dùng diện tích tam giác ABC có

1
1
AH.BC = BK.AC  BK = 4,8 cm
2
2
Xét tam giác ABK
Áp dụng định lý Pytago
AB2 = AK 2 + BK 2  AK = 1, 4 cm

Xét tam giác ABM
Áp dụng AB2 = AK.AM  AM = 17,9 cm
Diện tích tam giác ABM là SABM =

1
BK.AM  42,9 cm2 .
2
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 19

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

1.10

J

Vẽ AJ ⊥ AI với J thuộc CD
Xét hai tam giác vuông ABI và ADJ có
A

AB = AD và AIB = AJD nên ABI = ADJ
Suy ra

D

1
1
1
1
1
+
=
+
=
2
2
2
2
AI
AK
AJ
AK
AD 2

Vì AD không đổi nên

1
1
không đổi hay nó không
+
2
AI
AK 2

phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

B

C

1.11 Tương tự Ví dụ 7 a)

I

Bạn đọc tự giải bằng cách vẽ thêm đường cao AK của tam
giác ABC.
1.12
K
A

B

Vẽ tia Ax vuông góc với AC và cắt CD
tại E
Xét tam giác vuông ACE
Áp dụng

1
1
1
=
+
2
2
AD
AE AC 2

Xét tứ giác ABDE, dễ thấy ABDE là
E

C
D

hình bình hành nên AE = BD.

x

Vậy

1
1
1
.
=
+
2
2
AD
BD
AE2

1.13
A

Qua A vẽ Ax vuông góc với AK

B

cắt đường thẳng CD tại M
Ta có MAD = BAI (cùng phụ
I

DAI )

do

đó

ADM = ABI  AM = AI
M
D

C

x

20 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

K

Xét tam giác MAK vuông tại A

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Áp dụng
Vậy

1
1
1
mà AB = AD và AM = AI (cmt)
=
+
2
2
AD
AM
AK 2

1
1
1
.
= 2+
2
AB
AI
AK 2

1.14
A

B

a) Xét tam giác ABD
Áp dụng AB2 = BH.BD  a2 = BH.BD
Tương tự, cũng có b2 = HD.BD
Chia hai vế, ta có

HB a 2
=
HD b2

H

b) Vì HK // DC (cùng vuông góc với BC)
Hệ

quả

định

lý

Ta-lét

cho

D

K

C

I

ta

HK HB
DC.HB a.HB
=
 HK =
=
DC HD
BC
BD
Mà

HB a2
HB + HD a2 + b2
BD a2 + b2
(dùng tính chất dãy tỷ số bằng nhau)
= 2
=

=
HD b
HB
HB
a2
a2

Suy ra HB =

BD.a2
a2 + b2

BD.a 2
2
2
a3
Khi đó HK = a + b = 2 2 .
BD
a +b
a

1.15
A

N

G

C

B
M

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó BG =

2
BN
3

Tam giác ABC vuông tại A
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 21

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054
Áp dụng AB2 = BN .BG  a 2 =

HÌNH HỌC 9

2
a 6
BN 2  BN =
3
2

Áp dụng định lý Pytago, ta có AN 2 + AB2 = BN 2  AN 2 =

3a 2
a2
a 2
− a 2 =  AN =
2
2
2

Áp dụng định lý Pytago, ta có BC 2 = AB2 + AC 2  BC = a 3
1.16
a) Tứ giác AEHF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
b) Xét tam giác AHB có HA2 = AE.AB
Xét tam giác AHC có HA2 = AF.AC
Vậy AE.AB = AF.AC
c) Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao nên HE2 = EA.EB
A

F

E

C

B
H

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao nên HF 2 = FA.FC
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AH 2 = HB.HC
Ta có EF 2 = HE2 + HF 2  EF 2 = EA.EB + FA.FC
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF  AH 2 = EF 2
Vậy EA.EB + FA.FC = HB.HC .
d) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao
Ta có AH 2 = BH.CH  AH 4 = BH 2 .CH 2
Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H lần lượt có HE và HF là đường cao
Ta có BH 2 = BE.BA và CH 2 = CF.CA
Suy ra AH 4 = BE.BA.CA.CF = EB.AB.AC.CF
Mà AB.AC = AH.BC do đó AH 4 = EB.AH.BC.CF  AH 3 = EB.BC.CF .
22 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
e) Xét tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao
Ta có AB2 = BH.BC và AC 2 = CH.BC
Suy ra

AB2 BH
AB4 BH 2
=

=
AC 2 CH
AC 4 CH 2

Mà BH 2 = EB.AB và CH 2 = CF.AC
Do đó

AB4 EB.AB
AB3 EB
.
=

=
AC 4 CF.AC
AC 3 CF

f) Ta có BH 2 = EB.AB và CH 2 = CF.AC nên BH 4 = EB2 .AB2 và CH 4 = CF 2 .AC 2

BH 4 EB2 .AB2 EB2 .BH.BC EB2 .BH
Suy ra
=
=
=
CH 4 CF 2 .AC 2 CF 2 .CH.BC CF 2 .CF
Vậy

BH 3 EB2
.
=
CH 3 CF 2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 23

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

BÀI 2: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN
2.1
Áp dụng sin 2  + cos 2  = 1  cos  =

21
sin 
2
21
 tan  =
=
,cot  =
.
5
cos 
2
21

2.2
Áp dụng sin 2  + cos 2  = 1  sin  =

1
sin 
1
 tan  =
=
,cot  = 3 .
2
cos 
3

2.3
Dùng tan  =

1
3
1
sin 
 cot  =
.
= 3 và sin 2  + cos 2  = 1  cos  = ,sin  =
2
2
cos 
3

2.4
Dùng cot  =

2
cos 
 tan  = 1 .
= 1 và sin 2  + cos 2  = 1  cos  = sin  =
2
sin 

2.5
Dùng sin 2  + cos 2  = 1  sin  = 1 − x 2  tan  =

1 − x2
x
,cot  =
.
x
1 − x2

2.6
a) sin 250 ,cos150 ,sin 50 0 ,cos 66 0 .
Ta có cos150 = sin 750 và cos 660 = sin 240
Mà sin 240  sin 250  sin 500  sin 750
Vậy thứ tự cần sắp là cos 660  sin 250  sin 500  cos150 .
b) cot 350 , tan 480 ,cot 44 0 , tan 530 ,cot 39 0 .
Ta có tan 480 = cot 420 và tan 530 = cot 37 0
Mà cot 440  cot 420  cot 390  cot 37 0  cot 350
Vậy cot 440  tan 480  cot 390  tan 530  cot 350 .
2.7
a) sin 320 và tan 320
Dùng cách làm của Ví dụ 4 có tan 320  sin 320
b) cos 350 và cot 350
Dùng cách làm của Ví dụ 4 có cot 350  cos 350
24 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
c) sin 250 và cot 550
Ta có cot 550 = tan 350 dùng Ví dụ 4 ta có tan 350  sin 350  sin 250
Vậy cot 550  sin 250 .
d) cos 540 và tan 420
Ta có tan 420 = cot 480 dùng Ví dụ 4 ta có cot 480  cos 480  cos 540
Vậy tan 420  cos 540 .
2.8
Ta có tan720 = cot180 và sin 540 = cos 360
Dùng Ví dụ 4 ta có cot 360  cos 360
Mà cot 360  cot 210  cot 180
Vậy sin 540  cot 360  cot 210  tan 720 .
2.9

sin 2 a
−1
sin 2 a − cos 2 a cos 2 a
tan 2 a − 1 32 − 1 8
P=
=
=
=
= .
sin a.cos a
sin a.cos a
tan a
3
3
2
cos a
sin 3 a
−1
sin 3 a − cos 3 a cos 3 a
33 − 1 13
Q=
=
=
=
.
sin 3 a + cos 3 a sin 3 a
33 + 1 14
+1
cos 3 a
2.10 Ta có cos2 a − 2 sin2 a =

1
1
3
1
 1 − sin2 a − 2 sin 2 a =  3sin 2 a =  sin a =  a = 300 .
4
4
4
2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 25

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

BÀI 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
3.1
Xét tam giác ABC vuông tại C, giả sử A = a .
Ta có sin a =

B

BC
AC
, cos a =
AB
AB

Nên sin 2 a + cos2 a =

BC 2 AC 2
+
AB2 AB2

Suy ra sin 2 a + cos2 a =

BC
BC
AB = sin a
tan a =
=
AC AC
cos a
AB

a
C

BC 2 + AC 2
=1
AB2

A

Tương tự cot a =

cos a
và tan a.cot a = 1 .
sin a

3.2
a) Áp dụng định lý Pytago BC 2 = AB2 + AC 2  BC = 89 cm
sin B =

AC
8
=
 B  58 0  C  32 0 .
BC
89

b) F = 390 , DE = EF.cos E  EF  158,9 cm , DF  123, 5 cm .
c) sin C =

AB 1
=  C  190 28' .
BC 3

d) Vẽ đường cao AH suy ra BH =

1
1
BH 1
BC = AB  cos B =
=  B  80,40 .
2
6
AB 6

3.3
Áp dụng sin 2  + cos 2  = 1  sin  =

2
  = 450 .
2

3.4 Độ rộng con sông
Ta có tan 300 =

HB
HB
 HA =
= 50 3 m
HA
tan 300

Quãng đường đã đi AB = AH 2 + BH 2 = 100 m .
3.5 Ta có sin 400 =

HB
HB
900
 AB =
=
 1400,15 m .
0
AB
sin 40
sin 400

26 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
3.6 Vẽ đường cao AH của tam giác ABC

BH
15
25
 BH = AB.cos ABH =
cm  CH = BC − BH =
cm
AB
2
2

Xét tam giác AHB có cos ABH =
Lại có sin ABH =

AH
15 3
 AH = AB.sin 60 0 =
cm
AB
2

Như vậy AC = AH 2 + CH 2 = 5 13 cm  sin ACB =

AH
 ACB  56,10  BAC  73,90 .
AC

3.7
Vẽ đường cao AH củ tam giác ABC.
Ta có BH = AB.cos B = 25.cos700  8,6 cm và AH = AB.sin B = AB.sin 700 = 25.sin 700  23, 5 cm
Lại có AH = AC.sin C  AC =

AH

23, 5
 30,7 cm
sin 50 0

=

sin C

 CH = AC.cos C = 30,7.cos 500  19,7 cm

Do đó BC = BH + CH  28, 3 cm .
3.8
Vẽ đường cao AD cyra tm giác ABC
Áp dụng AD = AB.sin B  AD = 3 3 cm và BD = AB.cos B  BD = 3 cm
Xét tam giác ACD có CD = AD.cot C  CD = 3 3 cm

(

)

(

3 + 3 cm 2 .

Suy ra BC = BD + CD = 3 1 + 3 cm
Vậy SABC =

1
9
AD.BC =
2
2

)

3.9
Vẽ đường cao CD của tam giác ABC
Đặt CD = x với x  0
Xét tam giác ACD có AD = CD.cot A  AD =

x 3
cm .
3

Xét tam giác BCD có BD = CD.cot B  BD = x cm
 AB = AD + BD = x + x

Vậy SABC =

(

)

3
= 12  x = 6 3 − 3 cm
3

(

)

1
AB.CD = 36 3 − 3 cm2 .
2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 27

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054

HÌNH HỌC 9

3.10
A

B

D

C
H

K

Dễ thấy ABHK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.
Suy ra BK = AH = 4 cm
Xét tam giác BKC
Áp dụng BK = BC.cos KBC  BC  6, 22 cm và KC = BK.tan KBC  4,77 cm
Tương tự, xét tam giác AHD tính được DH = AH = cot ADH  1, 46 cm
Do đó DC = DH + HK + KC  10, 23 cm .
3.11
A

B
α

D

C
H

ABCD là hình bình hành  C = A =  và DC = AB = a
Xét tam giác vuông BCD có BC = CD.cos C = a cos 
Vẽ BH vuông góc CD
Áp dụng BH = BC.sin C = a cos  .sin 
Do đó SABCD = DC.BH = a2 sin  .cos  .

28 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
3.12
A

Vẽ AD vuông góc BC
Xét tam giác ABD có AD = AB.sin B
Xét tam giác ACD có AD = AC.sin C
Do đó

AB.sin B = AC.sin C 

B

D

Như vậy

Tương tự ta có

C

AB
AC
=
sin C sin B

AB
BC
CA
.
=
=
sin C sin A sin B

AB
AC
6
=
 AC = c
.
0
0
2
sin 45
sin 60

Xét tam giác ABD có BD = AB cos B =

c
2

Xét tam giác ACD có CD = AC.cos C =

Như vậy BC = BD + CD =

c

(

c 3
2

).

3 +1
2

3.13*
Vẽ đường phân giác AD của góc A

A

Nên



BD BD
=
AC AB

CD BD + CD
BC
(tính chất
=
=
AC AB + AC AB + AC

dãy tỷ số bằng nhau)
Mà tan ACD = tan
Vậy tan
C

B

A CD
=
2 AC

A
BC
=
2 AB + AC

D

Xét tam giác ABC vuông ở C với A = 300
Đặt BC = a
Ta có AC = BC.cot A = a 3 , AB =

BC
= 2a
sin A

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 29

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054
Dùng kết quả trên, ta có tan150 = tan

HÌNH HỌC 9

A
BC
=
= 2 − 3  cot150 = 2 + 3
2 AB + AC

(

)

sin150
Laị có tan15 =
 sin150 = 2 − 3 cos150
0
cos15
0

Áp dụng sin 2 150 + cos 2 150 = 1  cos150 =

6+ 2
6− 2
 sin 150 = tan 150.cos150 =
4
4

3.14*
Vẽ AD vuông góc BC
Xét tam giác ABD có AD = AB.sin B
A

B

C

D

Xét tam giác ACD có AD = AC.sin C
Do đó AB.sin B = AC.sin C 

AB
BC
AB
CA
AC
. Tương tự ta có
.
=
=
=
sin C sin A sin B
sin C sin B

Dùng giả thiết bài 3.1...