GV PHẠM ĐÌNH QUANG
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG

TOÁN 9
TOÁN

TẬP MỘT

1

Tóm tắt lý thuyết

2

Ví dụ minh họa

3

Bài tập tự luận

4

Bài tập trắc nghiệm

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

π

Mục lục
Phần I
Chương 1.

Chương 2.

Chương 3.

ĐẠI SỐ
CĂN BẬC HAI

1

Bài 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

Bài 2. BÀI TẬP

4

HÀM SỐ BẬC NHẤT

10

Bài 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

10

A

Nhắc lại, bổ sung các khái niệm về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

B

Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

C

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

D

Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

E

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Bài 2. BÀI TẬP

13

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

16

Bài 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC
VUÔNG
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

B

BÀI TÂP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Chương 4.

16

18

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ĐƯỜNG TRÒN

22

Bài 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG
TRÒN

22

A

TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Bài 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

24

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Bài 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Bài 4. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Chương 6.

28

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bài 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Chương 5.

26

32

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

40

Bài 1. CĂN BẬC HAI

40

Bài 2. HỆ THỨC LƯỢNG, TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

41

Bài 3. HÀM SỐ

44

Bài 4. ĐƯỜNG TRÒN

48

Bài 5. TRÍCH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

50

Bài 6. MÔT SỐ BÀI TỔNG HỢP

52

ĐỀ THI THAM KHẢO

54

Bài 1. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 1

54

Bài 2. ĐỀ THI HỌC KÌ 1

61

MỤC LỤC

ii

PHẦN

I

ĐẠI SỐ

1

Chương
CĂN BẬC
BẬC HAI
HAI
CĂN
Bài

1

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

d Định √
nghĩa 1.1. Với mọi số thực a ≥ 0, ta có căn bậc hai số học của a.
Ký hiệu a.
®
x≥0
√
x= a⇔
x = a2 .
Phép toán tìm căn bậc hai của số không âm gọi là phép khai phương.
d Tính chât 1.1.
0≤a≤b⇔

√

a≤

√

b.

d Định nghĩa 1.2.
√
○ Cho biểu thức A ≥ 0, ta gọi A là căn thức bậc hai của A và A gọi là biểu thức dưới dấu
căn.
√
○ A có nghĩa (hay xác định) khi A ≥ 0.
c Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x, y để biểu thức sau có nghĩa
√
2x − 3
A= p
+ 2 − x.
4y 2 − 4y + 1
d Tính chât 1.2.

√

A2 = |A|.

CÁC CÔNG THỨC
Cho A, B, C là các biểu thức.
√
√ √
a) AB = A · B (A ≥ 0, B ≥ 0).
√
…
A
A
b)
= √ (A ≥ 0, B > 0).
B
B
c) Đưa thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn
√
√
○ Nếu B ≥ 0 thì A2 B = |A| B.
√
√
○ Nếu A ≥ 0, B ≥ 0 thì A B = A2 B.
1

p CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI

√
√
○ Nếu A < 0, B ≥ 0 thì A B = − A2 B.
c Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
√
a) 20 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
c) 18x2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (với x < 0).

b)

√
18x2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (với x ≥ 0).

Ê Lời giải.
√

√

√
22 · 5 = 2 5.
√
√
√
(b) 18x2 = |x| 2 · 32 = 3x 2 (với x ≥ 0).
√
√
√
(c) 18x2 = |x| 2 · 32 = −3x 2 (với x < 0).
(a)

20 =


c Ví dụ 3. Đưa thừa số vào trong dấu căn
√
a) 3 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
c) 2x 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (với x < 0).

√
b) 2x 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (với x ≥ 0).

Ê Lời giải.
√
√
√
(a) 3 5 = 32 · 5 = 45.
√
p
√
(b) 2x 3 = (2x)2 · 3 = 12x2 (với x ≥ 0).
√
p
√
(c) 2x 3 = − (2x)2 · 3 = − 12x2 (với x < 0).

d) Khử mẫu trong dấu căn
√
…
A
AB
Nếu AB ≥ 0, B 6= 0 thì
=
.
B
|B|
c Ví dụ 4. Khử mẫu trong dấu căn

…

4
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5

e) Trục căn ở mẫu
√
A
A B
○ Nếu B > 0 thì √ =
.
B
B

Ä√
ä
C
A∓B
C
○ Nếu A ≥ 0, A 6= B 2 thì √
=
.
A − B2
A±B
Ä√
√ ä
C
A
∓
B
C
√ =
○ Nếu A, B ≥ 0, A 6= B thì √
.
A−B
A± B
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

2

c Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu
3
a) √ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
c)

b) √

1
√ =.............................
3+ 2

2
√ =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3− 2
Ê Lời giải.

√
√
3
3· 2
3 2
(a) √ = √ √ =
.
2
2
2· 2
√
√
√
√
√
3− 2 √
1
1 · ( 3 − 2)
√ = √
√ √
√ =
(b) √
= 3 − 2.
3−2
3+ 2
( 3 + 2)( 3 − 2)
√
√
√
2
2(3 + 2)
6+2 2
6+2 2
√ =
√
√ = 2
(c)
=
.
3 −2
7
3− 2
(3 − 2)(3 + 2)

f) Phương trình chứa dấu căn
®
√
B≥0
a)
A=B⇔
A = B2.

√
√
b) A = B ⇔

c Ví dụ 6. Giải phương trình
√
a) x2 − 3x + 1 = 1.
c)

√

x2 − 3x + 1 =

√

b)

x + 1.

d)

√
√

®

A ≥ 0 hay B ≥ 0
A = B.

x2 − 3x + 1 = x.
4x − 8 +

√

16x − 32 = 5 +

Ê Lời giải.
ñ
x=0
(a) x2 − 3x + 1 = 1 ⇔ x2 − 3x + 1 = 1 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔
.
x = 3.
®
®
√
x
≥
0
x≥0
1
(b) x2 − 3x + 1 = x ⇔
⇔x= .
2
2 ⇔
3
x − 3x + 1 = x
− 3x + 1 = 0
√

(c)
√

√

®

x+1≥0
x+1⇔
x2 − 3x + 1 = x + 1

®
ñ

xñ ≥ −1
x ≥ −1
x=0
⇔
⇔
x=0 ⇔
2

x − 4x = 0
x = 4.

x=4
x2 − 3x + 1 =

(d)

3

√
√
1√
4x − 8 + 16x − 32 = 5 +
9x − 18
3
»
»
1»
⇔
4(x − 2) + 16(x − 2) = 5 +
9(x − 2)
3
p CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI

1√
9x − 18.
3

√
√
1 √
⇔ 2 x−2+4 x−2=5+ ·3 x−2
3
√
⇔ 5 x−2=5
√
⇔
x−2=1
⇔ x−2=1
⇔ x = 3.


BÀI TẬP

2

Bài

c Bài 1. Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau có nghĩa
√
1
e) x2 − x + 1.
.
a) √
3x − 2
√
√
f) −x2 + 2x − 5.
b) 2 − 1 − 4x.
p
√
2
c) (x − 4)x.
.
g) 2x2 + 1 +
3 − 2x
1
√
.
d) √
h) 3 + −x2 .
2
x − 8x + 15

…
i)
j)
k)
l)

√
√
√

−5
.
x−2

−4x2 + 4x − 2.
x2 − 2x + 1.
−x2 + 5x − 4.

c Bài 2. Loại bỏ dấu căn và dấu giá trị tuyệt đối:
a)

√

x2 − 4x + 4 − 2x;
√

c)

p

(x + 4)2 −

x2 + 8x + 16
;
x+4

√
4 + 4x + x2
b)
với x < −2;
x2 − 4
√
x2 − 6x + 9
x−3
d)
−√
.
x−3
9 − 6x + x2

c Bài 3. Tính giá trị biểu thức:
√

1
9x2 − 12x + 4 − 9x + 1 với x = ;
3
…
…
p
√
5
2
2
b) 10x − 12x 10 + 36 với x =
+
;
2
5
√
√
√
c) 9x4 − 24x2 + 16 − x4 − 8x2 + 16 với x = 3;
a)

d)

p
√
√
2
3x2 − 4 3x + 4 với x = 3 − √ .
3

c Bài 4. Tính
√
√
√
√
a) 3 2 − 4 18 + 2 32 − 50;
√
√
√
√
c) 2 24 − 2 54 + 3 6 − 150;
√
√
√
√
e) 2 28 + 2 63 − 3 175 + 112;

√
√
√
√
b) 5 48 − 4 27 − 2 75 + 108;
√
√
√
√
d) 125 − 2 20 − 3 80 + 4 45;
√
√
√
3√
f) 10 28 + 2 275 − 3 343 −
396;
2
2. BÀI TẬP

4

p
√
7 − 2 6;
p
√
i)
7 − 4 3 − 2;
g)

c Bài 5. Tính
√
√ √
√
a) (3 2 − 3)( 3 + 3 2);
…
…
…
8
32
18
c) 6
−5
+ 14
;
9
25
49
√
√
15 − 6
√ ;
e) √
35 − 14
√
√
√
15 − 5 9 − 4 5
g) √
− √
;
3−1
2 5−4
c Bài 6. Tính
√
√ p
a) (2 + 3) 7 − 4 3;
p
p
√
√
c) 17 − 3 32 + 17 + 3 32;
p
p
√
√
√
e) (5 + 4 2)(3 + 2 1 + 2)(3 − 2 1 + 2);
p
√
√ √
g) ( 5 − 2 6 + 2) 3;
»
p
√
i) 2 + 17 − 4 9 + 4 5;
k)

5

»√

p
√
√
2 + 2 3 + 18 − 8 2;

p
√
13 − 4 3;
p
p
√
√
j)
15 − 6 6 + 33 − 12 6.

h)

√
√
√
√
b) (2 5 − 7)(2 5 + 7);
…
…
…
16
1
4
d) 2
−3
−6
;
3
27
75
√
√
10 − 15
√ ;
f) √
8 − 12
√
√
√
√
5 + 27
2 8 − 12
√ −√
√
h) √
.
18 − 48
30 + 162

p
√
√
b) ( 3 + 4) 19 − 8 3;
p
p
√
√
d) 49 − 5 96 − 49 + 5 96;
√
√
√ p
√
f) (4 + 15)( 10 − 6) 4 − 15;
p
p
√
√
√
h) 4 + 2 3 − 5 + 2 6 + 2;
q
»
p
√
j)
13 + 30 2 + 9 + 4 2;
…
q
»
p
√
√
l)
4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3.

c Bài 7. Tính
p
p
√
√
3−2 2
3+2 2
a) p
√ −p
√ ;
17 − 12 2
17 + 12 2
√
√
1
6 2−4
√ + 175 −
√ ;
c) √
8+ 7
3− 2
»p
√
1
e)
7 + 48 − √ ;
2
√
√
2
2
p
p
g) √
√ + √
√ ;
2 2+ 3+ 5 2 2− 3− 5

d)

√
√ p
√
(5 + 2 6)(49 − 20 6) 5 − 2 6
√
√
i)
;
9 3 − 11 2

j)

p CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI

b)

f)
h)

 
√
2
2
1
2
5
√ +
+√
−√ ;
3
3
3 12
6
p
√
2 6 − 11
6
3
√
√ +√ −√
;
22 − 2
2
2+1
√
√
2+ 3
2− 3
p
p
√
√ +√
√ ;
2+ 2+ 3
2− 2− 3
√
√
√
√
2+ 3+ 6+ 8+4
√
√
√
2+ 3+ 4
p
√
2+ 3
2
p
p
√
√ ;
2+ 3
2
2+ 3
√
−√ +
2
6
2 3

√

√
3
3
1+
1−
  2 √ +
  2 √ ;
k)
3
3
1+ 1+
1− 1−
2
2

1
1
1
√ +√
√ + ··· + √
√ .
l) √
1+ 2
2+ 3
24 + 25

c Bài 8. Giải phương trình
√
a) x2 + 9 = 5;
c)

√

4x2 − 20x + 25 = 1;
…
√
√
x−2+1
9x − 18
d) 25x − 50 −
=8
.
2
16
b)

p
√
x − 1 + 2 x − 2 = 2;

c Bài 9. Giải phương trình
√
√
a) x2 − x − 2 = x − 2;
√
c) x − 1 + 1 = x;
√
√
e) x + 3 + 2 − x = 3;
p
√
g) (x − 1)2 + x2 + 4x + 4 = 3;

b)

√

x2 − 9 =

√

3 − x;

√

25x2 − 30x + 9 = x + 7;
√
√
f) x2 − x + x2 + x − 2 = 0;
p
p
√
√
h) x − 1 + 2 x − 2 + 7 + x + 6 x − 2 =
2.
d)

c Bài 10. Rút gọn (giả sử các điều kiện được thoả mãn)
√ å
√ ã Ç
√
√
Å
a−3 a
5 a − ab
9−a
9−6 a+a
a) 2 − √
· 2− √
;
b) √
− √
− 6;
a−3
a+3
a−3
b−5
√
√ 2
√
√
√
√

2
( x + 1) x − xy
x+ y
(2 − x) − ( x + 3)
Ä√
ä
√
c)
;
d)
;
1+2 x
(x − y)
x3 + x
√
1
x+1
√ : 2 √ ;
e) √
x x+x+ x x − x
p
p
√
√
g) x − x2 − 4 · x + x2 − 4;
√
ã
2x + 1
x
√
i) √
−
3−1
x +å x + 1
Ç x √
1 + x3 √
√ − x ;
1+ x
Ç √
å
√
x x+y y √
√
k)
√ − xy : (x
x+ y
√
2 y
√
√ ;
x+ y
Å

·

√
√
x−y+3 x+3 y
√
f)
√
x− y+3
p
√
√
h) x + 2 x − 1 − x − 1
p
p
√
√
x−2 x−1+ x+2 x−1
…
j)
;
1
2
− +1
x2 x
Å √

−

y)

+

l)

x
x+9
√ +
3+ x 9−x

ã

Å √
ã
3 x+1
1
√ −√ .
:
x−3 x
x

2. BÀI TẬP

6

√
√
2x
5 x+1
x + 10
√
√
√
c Bài 11. Cho biểu thức A =
+
+
(x ≥ 0). Chứng minh
x+3 x+2 x+4 x+3 x+5 x+6
rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.

c Bài 12. Cho biểu thức A =

p

x−

√

p
√
Å
ã
4x − 4 + x + 4x − 4
1
p
· 1−
x−1
x2 − 4(x − 1)

a) Tìm điểu kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
√
1
x3 − x
1
√
√
√ .
−√
−
c Bài 13. Cho A = √
1− x
x+ x−1
x− x−1
a) Tìm điểu kiện của x để A có nghĩa.
b) Tìm x để A > 0.

c Bài 14. Cho A =

Å√

x
1
− √
2
2 x

ãÅ

√ ã
√
x− x x+ x
√
−√
.
x+1
x−1

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để A > −6.

c Bài 15. Cho A =

Å √

x
2
1
√ +√
+
x−4 2− x
x+2

ã Å
ã
√
10 − x
x−2+ √
:
.
x+2

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

c Bài 16. Cho biểu thức A =

Å √

x+4
x
√ +
2+ x 4−x

ã Å √
ã
2 x+1
1
√ −√
:
x−2 x
x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A =

−1
.
3

√
√
x−6 x+9 x+4 x+4
√
c Bài 17. Cho biểu thức A =
+ √
.
x−3
x+2
a) Tìm điều kiện của x để A xác định.
b) Rút gọn A.

7

p CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI

(x > 0; x 6= 4).

c) Tính A biết x = 1

9
.
16

√
√
√
x+2
x+1
x−1
√
c Bài 18. Cho biểu thức A = √
−√
−3
.
x−3
x−2
x−5 x+6
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của x để A < −1.
c) Tìm các giá trị của x ∈ Z sao cho −2A ∈ Z.
√
√
√
x+3 2 x+1
2 x−9
√
√ .
c Bài 19. Cho biểu thức A =
−√
−
x−5 x+6
x−2
3− x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A ∈ Z.
c Bài 20. Cho a ≥ b ≥ 0. Chứng minh
√
√
√
a) a + b ≤ a + b.

b)

√

a−b≥

√
√
a − b.

c Bài 21. So sánh A và B
√
√
√
a) A = 2013 + 2015 và B = 2 2014.
q
»
»
p
p
√
√
√
√
b) A = 12 + 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 và B = 14 + 11.
c) A = √

1
1
1
4028
+√
+ ... + √
và B =
.
2015
1 · 2014
2 · 2013
2014 · 1

c Bài 22. Chứng minh
p
√
√
√
a) 2 2 + 3 = 6 + 2;
p
√
√
√
√
√
√
b) 10 + 60 + 24 + 40 = 5 + 3 + 2;
p
p
√
√
√
√
√
c) 6 + 2 3 + 2 5 + 15 − 4 + 15 = 2;
»
»
√
√
√
√
d) 10, 5 + 6 − 4 3 − 4 2 − 9, 5 − 4 3 = −1;
q
q
»
»
p
p
p
p
√ »
√
√
√
e) 2 + 3 · 2 + 2 + 3 · 2 + 2 + 2 + 3 · 2 − 2 + 2 + 3 = 1.
c Bài 23. Tìm các giá trị của x, y, z thỏa mãn
p
a) (2x − y)2 + (y − 2)2 + (x + y + z)2 = 0;
2. BÀI TẬP

8

√
√
√
b) x + y + z + 5 = 2 x − 1 + 4 y − 3 + 6 z − 5.
c Bài 24. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
x = y = z.

√

xy +

√
√
yz + zx. Chứng minh rằng

c Bài 25. Cho hai số thực x và y thỏa mãn xy = 1 và x > y. Chứng minh rằng

9

p CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI

√
x2 + y 2
≥ 2 2.
x−y

Chương

2

HÀM SỐ
SỐ BẬC
BẬC NHẤT
NHẤT
HÀM
Bài

A

1

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Nhắc lại, bổ sung các khái niệm về hàm số

1. Khái niệm hàm số
○ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được
chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
○ Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, . . .

c Ví dụ 1. y là hàm số của x được cho bởi bảng sau:
x
y

5
6

7
4

1
2

2
1

3
1

4
0

c Ví dụ 2. y là hàm số của x được cho bởi công thức
a) y = 2x;

b) y = 2x + 3;

c) y =

4
.
x

○ Khi hàm số được cho bằng công thức y = f (x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà
tại đó f (x) xác định.
Với các hàm số y = 2x và y = 2x + 3 biến số x có thể lấy những giá trị tùy ý; còn với hàm số
4
y = , biến số x chỉ lấy những giá trị khác 0.
x
○ Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f (x), y = g(x), . . .
○ Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f (x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi
là đồ thị hàm số y = f (x).
10

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f (x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
Với x1 , x2 bất kì thuộc R
○ Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) < f (x2 ) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên R.
○ Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) > f (x2 ) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên R.

B

Hàm số bậc nhất

d Định nghĩa 1.1. Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b
là các số cho trước và a khác 0.
c Ví dụ 3. Tìm m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất
a) y = mx − x + 3;

b) y = (m2 − 1) x2 + (m + 1)x − 2014.
Ê Lời giải.

a) Hàm số y = mx − x + 3 = (m − 1)x + 3 là hàm số bậc nhất ⇔ m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1.
b) Hàm số y = (m2 − 1) x2 + (m + 1)x − 2014 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi
® 2
® 2
m −1=0
m =1
⇔
⇔ m = 1.
m + 1 6= 0
m 6= −1


o Khi b = 0, hàm số có dạng y = x (đã học ở lớp 7).
d Tính chât 1.1. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất
○ đồng biến trên R khi a > 0.
○ nghịch biến trên R khi a < 0.
c Ví dụ 4. Cho hàm số bậc nhất y = mx + x + m. Tìm giá trị của m để hàm số
a) đồng biến trên R;
b) nghịch biến trên R.
Ê Lời giải.
Ta có y = mx + x + m = (m + 1)x + m nên:
a) Hàm số đồng biến trên R ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1.
b) Hàm số nghịch biến trên R ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < −1.

11

p CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

C

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0)

1. Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0)
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0) là một đường thẳng
○ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;
○ song song với đường thẳng y = ax, nếu b 6= 0;
○ trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0.

o Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ
gốc của đường thẳng.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0)
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0), ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị,
rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
c Ví dụ 5. Trên hệ trục tọa độ Oxy vẽ đồ thị hàm số y = −2x + 3.
Ê Lời giải.
Cho x = 0 thì y = 3, ta thu được điểm A(0; 3) thuộc đồ thị hàm số
y = −2x + 3.
Cho x = 1 thì y = 1, ta thu được điểm B(1; 1) thuộc đồ thị hàm số
y = −2x + 3.
Do đó đồ thị hàm số y = −2x + 3 là đường thẳng AB trong mặt phẳng tọa
độ Oxy.

y

A
3

B

1

MDD-171
O
1

x
y = −2x + 3



D

Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = a1 x + b1 và (d2 ) : y = a2 x + b2 (a1 , a2 6= 0). Khi đó
®
a) (d1 ) song song với (d2 ) ⇔
®
b) (d1 ) trùng với (d2 ) ⇔

a1 = a2
b1 6= b2 .

a1 = a2
b1 = b2 .

c) (d1 ) cắt (d2 ) ⇔ a1 6= a2 .
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

12

c Ví dụ 6. Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 3 và y = (m + 1)x + 2. Tìm giá trị của m để đồ
thị của hai hàm số đã cho là
a) hai đường thẳng cắt nhau.
b) hai đường thẳng song song với nhau.
Ê Lời giải.
®
Điều kiện để hai hàm số y = 2mx + 3 và y = (m + 1)x + 2 là hàm số bậc nhất là

2m 6= 0
⇔m∈
/
m + 1 6= 0

{0; −1}.
a) Hai đường thẳng y = 2mx + 3 và y = (m + 1)x + 2 cắt nhau khi và chỉ khi
2m 6= m + 1 ⇔ m 6= 1.
Kết hợp điều kiện ta được m ∈
/ {0; ±1}.
b) Hai đường thẳng y = 2mx + 3 và y = (m + 1)x + 2 song song khi và chỉ khi
®

2m = m + 1
⇔ m = 1 (thỏa mãn điều kiện).
3 6= 2

Vậy m = 1.


E

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 6= 0)

1. Góc tạo bỏi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia
Ax và tia AT , trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và T là điểm thuộc
đường thẳng y = ax + b với tung độ dương.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 6= 0)
Các đường thẳng có cùng hệ số góc a (a là hệ số của x trong y = ax + b) thì tạo với trục Ox các góc
bằng nhau.
○ Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.
○ Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù.
Vì có sự liên quan giữa hệ số góc với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox nên người ta gọi
a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Bài
13

2

p CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI TẬP

c Bài 1. Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất?
√
a) y = ( m − 1)x − 2m.

b) y = mx − 2(x − m).

c) y =

m−1
(x + 2)
m2 − 1

c Bài 2. Xác định k để các hàm số sau:
a) y = 5x − (2 − x)k đồng biến.
b) y = kx − 2 + 2x nghịch biến.
c) y = (−k 2 + k − 1)x − 7 nghịch biến.
d) y = (5 − 4k + k 2 )x + 2 đồng biến.
c Bài 3. Xác định m để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau:
a) (D1 ) : y = (m + 2)x − m + 1 và (D2 ) : y = (2m − 5)x + m.
b) (D1 ) : y = (3m − 1)x − 2m + 1 và (D2 ) : y = (4 − 2m)x − m.
c Bài 4. Cho đường thẳng (d) : y = (m + 1)x − 2m (m 6= −1). Xác định m để
a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; −1).
b) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −1.
c) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d0 ) : y = −2x + 2.
d) Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = −3x − 1.
e) Đường thẳng (d) có hệ số góc là 3.
f) Đường thẳng (d) có tung độ gốc là

√

2.

c Bài 5. Xác định hàm số y = ax + b biết:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ −4 và cắt trục tung tại điểm B có
tung độ 3.
b) Đồ thị của nó song song với đường thẳng y = 3x + 1 và đi qua điểm M (4; −5).
c) Đồ thị của nó là đường thẳng đi qua hai điểm M (3; 5) và N (−1; −7).
d) Đồ thị của nó là đường thẳng cắt đường thẳng y = 2x − 3 tại điểm C có hoành độ là 2 và
đi qua điểm A(3; −4).
e) Đồ thị của nó là đường thẳng đi qua điểm D(−2; 3) và tạo với trục Ox một góc 45◦ .

2. BÀI TẬP

14

c Bài 6. Cho đường thẳng (D) : y = 2x −

1
. Tìm b biết đường thẳng (D) cắt đường thẳng
b

y = 3x + 2 tại một điểm nằm trên trục tung.
c Bài 7. Cho đường thẳng (d) : y = (2a − 1)x − 3.
a) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm A(1; −1).
b) Viết phương trình đường thẳng (d0 ) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục tung tại điểm
4
B có tung độ là .
3
c) Vẽ (d) và (d0 ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm C của (d) và (d0 ).
d) Tính diện tích tam giác ABC.
c Bài 8. Cho đường thẳng (D) : y = mx − 2m + x (m 6= −1) cắt đường thẳng (d) : y = 2x + 3
tại điểm có tung độ là −1.
a) Tìm m. Vẽ (D) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Tìm giao điểm của (D) với trục
tung và trục hoành.
b) Viết phương trình đường thẳng (D1 ) song song với đường thẳng (D) và cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tìm giao điểm của (D1 ) và (d).

1
2
c Bài 9. Cho ba đường thẳng (AB) : y = − x + , (BC) : y = 5x + 1, (CA) : y = 3x. Xác định
3
3
tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.
c Bài 10. Cho ba điểm A(3; 5), B(−1; −7) và C(1; −1). Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C thẳng
hàng.
c Bài 11. Định m để ba đường thẳng sau đồng quy (d1 ) : y = (m + 2)x − 3m, (d2 ) : y = 2x + 4,
(d3 ) : y = −3x − 1.
c Bài 12. Cho hàm số y = mx − 2m − 1 (1) (m 6= 0).
a) Định m để đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ. Vẽ đồ thị (d1 ) của hàm số ứng với m vừa
tìm được.
b) Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) với các trục Ox, Oy.
c)

15

∗

Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định I khi m thay đổi.

p CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT

3

Chương
HỆ
HỆ THỨC
THỨC LƯỢNG
LƯỢNG TRONG
TRONG TAM
TAM
GIÁC
GIÁC VUÔNG
VUÔNG

Bài

A

1

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cho 4ABC vuông tại A, có đường cao AH. Khi đó, ta có
○ AB 2 = BH · BC, AC 2 = CH · BC.

B

○ AB 2 + AC 2 = BC 2 .
○ AH 2 = HB · HC.

H

○ AH · BC = AB · AC.
○

B

1
1
1
=
+
.
2
2
AH
AB
AC 2

A

C

BÀI TÂP

c Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính AH, HB, HC biết AB = 3 cm,
AC = 4 cm.
c Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính AB, AC biết HB = 1 cm,
HC = 2 cm.
c Bài 3.
a) Biết tỉ số của các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5 : 6, cạnh huyền là
122 cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh lên cạnh huyền.
b) Biết tỉ số của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3 : 7, đường cao ứng với cạnh
huyền là 42 cm. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
c Bài 4. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15 cm, HC =
16 cm.
16

c Bài 5. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính AB, AC biết AH = 12 cm, BC = 25
cm.
c Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua A kẻ đường vuông góc với BD tại H. Biết AB = 20,
AH = 12. Tính chu vi hình chu nhật ABCD.
c Bài 7. Trong một tam giác vuông tỉ số giữa đường cao và trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc
vuông bằng 40 : 41. Tìm tỉ số độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
c Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, hai đường cao BK và CL cắt nhau tại H. Trên
' = 90◦ . Trên đoạn HC lấy điểm F sao cho AF
'
đoạn HB lấy điểm E sao cho AEC
B = 90◦ . Chứng
minh rằng:
a) AK · AC = AL · AB.
b) 4AEF cân.
c Bài 9. Cho 4ABC cân tại A có AH, BK là 2 đường cao. Chứng minh rằng:
a)

1
1
1
=
+
.
BK 2
BC 2 4AH 2

b) BC 2 = 2CK · CA.
c Bài 10. Cho 4ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm AB, kẻ IH vuông góc với BC tại H.
Chứng minh rằng:
a)

1
1
1
=
+
.
2
2
4IH
AC
AB 2

b) AC 2 + BH 2 = CH 2 .
c Bài 11. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Gọi N là giao
1
1
1
điểm của hai đường thẳng AM và DC. Chứng minh rằng
=
+
.
2
2
AB
AM
AN 2
c Bài 12. Cho 4ABC vuông cân tại A và một điểm M thuộc cạnh huyền BC. Chứng minh rằng
M B 2 + M C 2 = 2M A2 .
c Bài 13. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC.
Chứng minh rằng:
a) BC 2 = 3AH 2 + BE 2 + CF 2 .

17

p CHƯƠNG 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

b)

AB 2
HB
=
.
2
AC
HC

AB 3
BE
c)
.
=
3
AC
CF

d) AH 3 = BC · HE · HF .

e) AH 3 = BC · BE · CF .

√
√
√
3
3
3
f) ∗ BE 2 + CF 2 = BC 2 .

c Bài 14. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = a, AC = b, K là hình chiếu của H
lên AB.
a2
HB
= 2.
a) Chứng minh rằng
HC
b
b) Chứng minh rằng HK =
c) Giả sử

a2 b
.
a2 + b 2

3
a
= và AH = 12. Tính AB, AC, BC, HB.
b
4

c Bài 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi H là hình chiếu của A lên BD
và K, L lần lượt là hình chiếu của H lên BC, CD.
a2
HB
= 2.
a) Chứng minh rằng
HD
b
b) Chứng minh rằng HK =

a3
.
a2 + b 2

c) Chứng minh rằng HC 2 =

a4 − a2 b 2 + b 4
.
a2 + b 2

d) Cho a =

√

2, b = 1 và gọi M là giao điểm của CH và AD. Tính HM .

c Bài 16. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D trên AC và điểm E là điểm
AD
HE
1
nằm trên tia đối của tia HA sao cho
=
= . Từ D kẻ DF song song với BC(F thuộc
AC
HA
3
AC). Chứng minh rằng
a) AH = EF .
b) BE ⊥ ED.

Bài

A

2

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho α là góc nhọn của một tam giác vuông

○ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin α.
2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

18

○ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cos α.
○ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tan α.
○ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cot α.

2. Một số tính chất của tỉ số lượng giác
○ Cho góc α và β phụ nhau khi đó:
sin α = cos β;

cos α = sin β;

tan α = cot β;

cotα = tan β.

○ Cho góc nhọnα, ta có:
 0 < sin α < 1.
 0 < cos α < 1.

cos α
.
sin α
 tan α · cot α = 1.

 sin2 α + cos2 α = 1.
sin α
.
 tan α =
cos α

 cot α =

3. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó:
○ AC = BC sin B

○ AB = BC sin C

○ AC = BC cos C

○ AB = BC cos B

○ AC = AB tan B

○ AB = AC tan C

○ AC = AB cot C

○ AB = AC cot B

B

C

A

BÀI TẬP

c Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính:
a) sin2 10◦ + sin2 20◦ + · · · + sin2 80◦ .
b) cos2 12◦ + cos2 78◦ + cos2 1◦ + cos2 89◦ .
c Bài 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc α
a) A = (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ;
b) B = sin6 α + cos6 α + 3 sin2 α cos2 α.
c Bài 3. Cho 4ABC vuông tại A, BC = a, đường cao AH. Chứng minh:
a) AH = a sin B cos B.
b) BH = a cos2 B.
c) CH = a sin2 B.
19

p CHƯƠNG 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

B

3
c Bài 4. Cho 4ABC vuông tại A, AC = 21 cm, cos C = .
5
a) Tính tan B và cot B.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại M , cắt AB, CA lần
lượt tại E, F . Tính CF, M F .
c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC.
c Bài 5. Cho 4ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC, kẻ EF vuông góc với BC tại
điểm F .
a) Chứng minh AF = BE · cos C.
b) Biết BC = 20 cm, sin C = 0,6. Tính SABF E .
c Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Kẻ CH vuông góc với AD tại H
và CK vuông góc với AB tại K.
a) Chứng minh 4CKH ∼ 4BCA.
'
b) Chứng minh HK = AC · sin BAD.
' = 120◦ , AD = 8 cm và AB = 10 cm.
c) Tính SAKCH biết ABC
c Bài 7. Cho 4ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF .
a) Chứng minh 4AEF ∼ 4ABC.
b) Chứng minh AF · BD · CE = AB · BC · CA · cos A · cos B · cos C.
b = 60◦ , SABC = 144 cm2 . Tính SAEF .
c) Giả sử A

c Bài 8. Cho 4ABC nhọn có AB = c, BC = a, AC = b. Chứng minh

a
b
c
=
=
.
sin A
sin B
sin C

“ = α, C
b = β, đường cao AH. Chứng minh:
c Bài 9. Cho 4ABC nhọn có BC = a, B
a) CH =
b)

a tan α
.
tan α + tan β

1
1
1
=
+
.
AH
a tan β a tan α

c Bài 10. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo vuông góc nhau. Biết khoảng
cách giữa hai đáy là 12 cm, BD = 15 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

20

c Bài 11. (Bài toán mô phỏng cánh máy bay) Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có
' = 135◦ , BCH
' = 30◦ . Tính chu vi và
khoảng cách giữa hai đáy là CH = 5 m, CD = 3,5 m, CDA
diện tích hình thang ABCD.

21

p CHƯƠNG 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

4

Chương
ĐƯỜNG TRÒN
TRÒN
ĐƯỜNG

Bài

A

1

SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI
XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

d Định nghĩa 1.1.
Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm
O một khoảng bằng R.
○ Kí hiệu: (O; R).

R

O

M

d Định lí 1.1. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Ta có
○ M ∈ (O; R) ⇔ OM = R.
○ M ở trong (O; R) ⇔ OM < R.
○ M ở ngoài (O; R) ⇔ OM > R.

A

○ Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và
chỉ một đường tròn. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam
giác. Tâm của đường tròn này là giao điểm 3 đường trung trực của tam
giác.
○ Đường tròn có một tâm đối xứng, đó là tâm của đường tròn.

O
B

C

○ Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là các đường kính của đường tròn.
○ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của
cạnh huyền.
○ Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

A

B

O

C

22

B

BÀI TẬP

c Bài 1. Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 5cm và dây cung BA = 3cm.
a) Chứng minh 4ABC vuông tại A. Tính AC và đường cao AH của 4ABC.
b) Gọi D là đỉnh của 4BCD có CD = 3cm, BD = 4cm. Chứng minh điểm D nằm trên đường
tròn (O).
c Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AD ∥ BC) có AD = 2CD = 2BC. Chứng minh A, B, C,
D cùng nằm trên một đường tròn có tâm O và AC ⊥ OB.
c Bài 3. Cho tam giác ABC có Aˆ 6= 90◦ . Đường tròn đường kính BC cắt hai đường thẳng AB,
AC lần lượt tại D và E. Hai đường thẳng CD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ BC.
c Bài 4. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn (S) đường kính AB, vẽ đường
tròn (O) đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O)
tạ...