Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Chương
1

Bài 1
12

CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

Căn bậc hai

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa 1.
1. Căn bậc hai của số thực

là số

sao cho

.

- Mỗi số dương a đều có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là
hiệu là

.

- Số có đúng một căn bậc hai chính là số
- Số âm không có căn bậc hai.

, ta viết

.

2. Với mỗi số dương , số
được gọi là căn bậc hai số học của
! Chú ý 1
- Số cũng được gọi là căn bậc hai số học của .
-

xác định khi và chỉ khi

Định lí 1. Với hai số

.

.

không âm ta có

Các dạng toán
Dạng 1 . Tìm căn bậc hai hoặc căn bậc hai số học của một số
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hoặc máy tính cầm tay.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tính căn bậc hai của các số sau

1.

3.

2.

4.

Lời giải
1

còn số âm kí

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Ta có
1. Căn bậc hai của số

là

vì

2. Căn bậc hai của số

là

vì

3. Căn bậc hai của số

là

.
.
vì

.

4. Căn bậc hai của số
là
vì
.
Chú ý 2. Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
 Ví dụ 2. Tính căn bậc hai số học của các số sau
1.

3.

2.

4.

Lời giải
Ta có
1.

vì

.

3.

2.
vì
.
4.
vì
3. Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.

 Ví dụ 3. Tính tổng

Lời giải
Ta có
Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
Dạng 2. So sánh các căn bậc hai

Ta thường sử dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức, cụ thể:
- Nếu thì .
- Nếu thì .
- Nếu thì .
- Nếu thì .
- Với hai số không âm ta có

2

vì

.
.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. So sánh các số sau:
1.

.

và

.

2.

3.
và

.

4.

và
và

.

Lời giải
1. Ta có

hay

.

2. Ta có
Như vậy
3. Ta có
Như vậy
4. Ta có
 Ví dụ 2. Cho
1. Nếu

. Chứng minh rằng
thì

.

2. Nếu

thì

.

Lời giải
1. Ta có tính chất, nếu
Nhân cả hai vế với

thì

, do đó từ giả thiết

ta được

.

2. Tương tự như trên ta có
Nhân cả hai vế với

.

.
ta được

.

Dạng 3. Tìm

Phương pháp giải: Thường biến đổi biểu thức về dạng .
- Nếu thì vô nghiệm.
- Nếu thì
- Nếu thì .
Chú ý 5. Nếu không biến đổi tương đương được các phương trình thì có thể dùng phép biến đổi
suy ra sau đó phải thử lại.

3

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tìm

thỏa mãn:

1.

2.

.

Lời giải
1. Vì
và
2. Điều kiện
Khi đó
Vậy

nên không tồn tại
.

thỏa mãn.
(thỏa mãn điều kiện).

.

 Ví dụ 2. Tìm

thỏa mãn

1.

.

2.

.

Lời giải
1. Ta có

Vậy

. Khi đó

hoặc

.

2. Điều kiện

(luôn đúng). Ta có

Vì

còn

nên không tồn tại

thỏa mãn.

Luyện tập
 Bài 1. Tìm căn bậc hai số học và căn bậc hai của các số sau:
1.
2.
1. Vì
2. Vì
3. Vì

.
.

3.

.

4.
Lời giải
nên căn bậc hai số học của
nên căn bậc hai số học của

là

nên căn bậc hai số học của

.
là

và căn bậc hai của
là

4. Vì
nên căn bậc hai số học của
 Bài 2. Rút gọn biểu thức:
1.

3.

2.

4.
Lời giải

4

là

và căn bậc hai của
là

1.

và căn bậc hai của

và căn bậc hai của

là

.

.
là

.
là

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

2.
3.
4.
 Bài 3. So sánh các số sau:
1.

và

2.

.

3.

và

.

1. Ta có
2. Ta có

nên
. Mà

và

4. Ta có
 Bài 4. Tìm số thực

.

4.
và
Lời giải

. Mà

3. Ta có

và
.

.
nên

.

. Mà

nên

và
thỏa mãn:

. Mà

1.

nên

4.

2.

.

3.

.
.

5.

.

.

6.
Lời giải

.

1. Điều kiện xác định
(vô lí).
Vậy không tồn tại thỏa mãn đề bài.
2. Điều kiện xác định
Ta có
Vậy không tồn tại

(luôn đúng).

(vô lí vì
thỏa mãn đề bài.

3. Điều kiện xác định
Ta có

với mọi

).

.
(thỏa mãn điều kiện).

Vậy
4. Điều kiện xác định

.

Ta có

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy

.

5. Điều kiện xác định
Ta có
Vậy

(thỏa mãn điều kiện).
.
5

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

6. Điều kiện xác định
Ta có
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
.
 Bài 5. (*) Chứng minh rằng

Giả sử

là một số vô tỉ.
Lời giải

là số hữu tỉ. Suy ra

, trong đó

và phân số

là phân số tối giản.

Khi đó
Do

nên

Thay vào

suy ra

Do đó
ở trên.
Vậy

.

cùng chia hết cho

nên phân số

không tối giản, điều này mâu thuẫn với giả sử

là số vô tỉ.

 Bài 6. (*) Chứng minh rằng

Giả sử

là một số vô tỉ.
Lời giải

là số hữu tỉ. Suy ra

, trong đó

và phân số

là phân số tối giản.

Khi đó
Do
Thay vào
Do đó

nên
suy ra
cùng chia hết cho

ở trên.Vậy

Bài 2

.
nên phân số

không tối giản, điều này mâu thuẫn với giả sử

là số vô tỉ.

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Tóm tắt lý thuyết

1. Ta có
Chú ý 6. Cần phân biệt
không âm.

với

2. Điều kiện xác định (hay có nghĩa) của
3. Cách giải các bất phương trình dạng

. Khi viết
là
và

thì

có thể là số âm. Khi viết

.
với

6

như sau

thì

phải là số

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Các dạng toán

Dạng 4. Tìm điều kiện để xác định

BÀI TẬP MẪU
Phương pháp giải
* có nghĩa khi .
* có nghĩa khi .
Kiến thức bổ sung: Chú ý rằng với là số dương ta luôn có:
BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Tìm

để căn thức

có nghĩa.

Lời giải
có nghĩa khi
 Ví dụ 2. Tìm

.

để căn thức

có nghĩa.

Lời giải

có nghĩa

 Ví dụ 3. Với giá trị nào của

có nghĩa

thì biểu thức

có nghĩa?

Lời giải
có nghĩa

7

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Ví dụ 4. Tìm các giá trị của

để biểu thức

có nghĩa.

Lời giải
có nghĩa

.

 Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để biểu thức

có nghĩa?

Lời giải
có nghĩa khi
Vì
Vậy có

nên
giá trị nguyên của

để biểu thức

có nghĩa.

Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng
Đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương.
! Điều kiện xác định của là .
BÀI TẬP MẪU
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau
1.

.

2.

.

Lời giải
1.
2.
 Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau

1.

với

2.

với

 Lời giải

1.

.

8

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

2.

.

Do

nên

. Suy ra

.

 Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau:

.

1.

2.

với

.

 Lời giải
1.

.

Trường hợp 1:

hoặc

Trường hợp 2:

2. Vì

ta có:
ta có:

nên

.

Luyện tập
 Bài 1. Với giá trị nào của
1.

.

1.

có nghĩa

thì các căn thức sau có nghĩa

2.

3.
 Lời giải
.

2.

có nghĩa

.

3.

có nghĩa

.

4.

có nghĩa

 Bài 2. Với giá trị nào của
1.

4.

.

2.

thì các căn thức sau có nghĩa
.

3.
 Lời giải

1.

có nghĩa

2.

có nghĩa

.
.

9

4.

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

3.

4.

có nghĩa

.

có nghĩa

.

 Bài 3. (*) Với giá trị nào của

thì các căn thức sau có nghĩa

1.

2.

.
 Lời giải

1.

có nghĩa

2.
có nghĩa
 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
1.

.

2.
3.
4.
5.
6.
 Lời giải
.

1.

2.

.

3.

.

4.

.
10

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

5.

= 0.
6.



.

Bài 5. Cho các biểu thức:

1. Rút gọn
2. Tìm để
 Lời giải
1.
2.
Để

.
thì

(vì
với mọi ).
 Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau
1.

.

2.
 Lời giải

1.
2.

 Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau

.

11

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

1.

2.
 Lời giải

1.
.
2.
 Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
1.

với

2.
 Lời giải

với

1.
Do

nên

2.
Do
nên
 Bài 9. Tính:

Suy ra

.
.

. Suy ra

1.

.

2.
 Lời giải

.

1.

2.

.
 Bài 10. Giải phương trình
1.

1.

.

2.
 Lời giải
.

12

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

2.

13

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Bài 3

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai
phương

Tóm tắt lý thuyết
Định lí 2. Với hai số

và

không âm, ta có

Hệ quả 1. Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.
Hệ quả 2. Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn
với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Hệ quả 3. Với hai biểu thức
không âm, ta có

và

không âm, ta có

. Đặc biệt, với biểu thức

.

Các dạng toán

Dạng 6. Khai phương một tích

Phương pháp giải
Áp dụng định lý: Với hai số và không âm, ta có .
Định lý trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm như sau:
Với và các số , , ..., không âm, ta có .

 Ví dụ 1. Tính
1.
2.

BÀI TẬP MẪU

;

3.
;

4.

.

 Lời giải.
1.
2.

.

3.

.

14

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

4.

.

 Ví dụ 2.

1. Cho

và

là các số âm. Chứng minh rằng

2. Áp dụng tính

.

 Lời giải
1. Ta có

(vì

âm nên

có nghĩa)

2.
Dạng 7. Nhân các căn bậc hai
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới
dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tính
1.

;

2.

3.

;

4.

;
;

 Lời giải.
1.
2.

.

3.

.

4.

.
Dạng 8. Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải
Kết hợp các hằng đẳng thức đáng nhớ và các quy tắc khai phương và nhân các căn thức bậc
hai
.

15

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tính

1.

;

4.

2.

3.

;

5.

;

6.
 Lời giải.

1.
2.

3.
4.
5.

6.

 Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức
1.
2.
3.

4.

với
với

;
;
với

với

 Lời giải

16

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

1.

(vì

2.

(vì

)
)

3.

(vì

4.

)

(vì

)

 Dạng 9. Phân tích các biểu thức chứa căn thành nhân tử.
Phương pháp giải
Kết hợp các hằng đẳng thức đáng nhớ và các quy tắc khai phương và nhân các căn bậc hai.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử.
1.

với

2.

vơi

3.

;
với

.

 Lời giải..
1. Với

ta có:

2. Với

ta có:

3. Với

ta có:

17

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Dạng 10. Giải phương trình.
Phương pháp giải
Xác định điều kiện phương trình.
Dùng các hằng đẳng thức và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Một số công thức cần lưu ý.
hoặc

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau.

1.

3.

2.

4.
 Lời giải

1.
2.

.

3.

.

4.

.

18

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Luyện tập
 Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau
1.

4.

2.

5.

3.

7.

;

6.

;

8.
 Lời giải

1.

2.
3.

.

19

;

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

8.

.

 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
1.

3.

2.

4.
 Lời giải

.
.

1.

.

2.

.

3.

.

4.
 Với

thì

.

 Với

thì

.

 Bài 3. Giải các phương trình sau:
1.

3.

2.

4.
 Lời giải
20

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

1.
2.

3.

4.

21

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Bài 4

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Tóm tắt lý thuyết

Định lí 3. Với

thì

.

Các dạng toán

Dạng 11. Khai phương một thương

Quy tắc: Muốn khai phương một thương của hai biểu thức, ta có thể khai phương lần lượt biểu
thức bị chia và biểu thức chia . Sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
BÀI TẬP MẪU

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tính:

1.

2.

.

 Lời giải
1.
có
2. Ta có

.

.

 Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức:

1.

, với

2.

 Lời giải
1. Ta sử dụng quy tắc nhân hai căn bậc hai rồi biến đổi tiếp

22

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

.
2. Ta biến đổi

.
Dạng 12. Chia các căn bậc hai
Phương pháp giải:
Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của biểu thức không âm cho căn bậc hai
BÀI TẬP MẪU
của số dương , ta có thể chia biểu thức cho biểu thức rồi lấy căn bậc hai của thương đó.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:
1.

3.

.

2.

 Lời giải
1. Ta có:

.

2. Ta có:

.

3.

.

Dạng 13. Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Ta sử dụng tính chất:
Với và thì ta có .
Chú ý khi giải bài dạng này phải xét trong điều kiện có nghĩa của biểu thức chứa căn.

23

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:

1.

với

2.

;

với

.

 Lời giải
1. Vì

2. Vì

và

nên ta có

và

nên ta có

(Vì

)

 Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

1.

với

2.

;

với

.

 Lời giải
1. Với

ta có

(Vì
2. Với

ta có

(Vì
 Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho và tính giá trị của nó :

1.

với

2.

tính giá trị tại

với

.

; tính giá trị tại

 Lời giải
1. Với

ta có

24

.

).

).

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Thay

vào biểu thức ta có
.

2. Với

ta có

Thay

vào biểu thức ta có
.

Dạng 14. Giải phương trình
Tìm điều kiện của biểu thức có mặt trong phương trình.
Thu gọn trong điều kiện của biến sau đó giải phương trình.
Chú ý khi giải bài dạng này phải xét điều kiện có nghĩa của biểu thức chứa căn và cuối
cùng phải đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tìm thỏa mãn điều kiện:

1.

2.

 Lời giải

1. Điều kiện là
hay

Vì
nghĩa là

với mọi

. Khi đó ta có

Ta xét hai trường hợp:
25

nên điều kiện là

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

TH1:
TH2:

hay
hay

;
.
và

Đối chiếu điều kiện ta nhận
2. Điều kiện là
và
.Từ đó suy ra điều kiện là

. Vì
. Khi đó ta có

.

Sử dụng định nghĩa của căn bậc hai số học ta có:
Đối chiếu điều kiện ta loại
 Ví dụ 2. Tìm

nên điều kiện sẽ là

. Vậy không có giá trị

thỏa mãn đề bài.

thỏa mãn điều kiện:

2.

.

1.

 Lời giải

1. Điều kiện

TH1.
TH1.

nghĩa là thỏa mãn một trong hai trường hợp sau:
và

, ta tìm được

và

, ta tìm được

.
.

Khi đó ta có

Đối chiếu điều kiện ta thấy
2. Điều kiện là
và

Đối chiếu điều kiện ta loại

thỏa mãn.
; suy ra

là điều kiện. Khi đó:

. Vậy không có giá trị

thỏa mãn đề bài.

3. Luyện tập:
 Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:
1.

;

2.

3.
26

4.

.

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Lời giải
1.

.

3.

.

2.
.
4.
 Bài 2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

.

 Lời giải
1.

.

2.

.

3.

.
.

4.
 Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
1.

2.

3.

.

 Lời giải
1.

.

2.

.

3.
 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

1.

2.

3.
 Lời giải

27

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

1.

.

2.

(với

3.

(với

).

 Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

 Lời giải
1. Với

ta có

.
2. Với

ta có

 Bài 6. Giải các phương trình sau:

1.
 Lời giải

1. Điều kiện

Khi đó phương trình tương đương với

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm

.

2. Điều kiện

28

).

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Khi đó phương trình tương đương với

hoặc

(thỏa mãn điều kiện) hoặc
Phương trình

tương đương với

( thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm phương trình là

.

 Bài 7. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.

, với

2.
 Lời giải

1. Ta có

Mà:

2. Ta có

, với

29

, với

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Mà:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

 Bài 8. Cho

(A)

với

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

(B)

(C)

.

(D)

 Lời giải
Ta có:

nên

và

do đó

Chọn đáp án (C).
 Bài 9. Điều kiện để
(A)

là

.

(B)

(C)

.

(D)

 Lời giải
Để xảy ra đẳng thức thì điều kiện là

.
Chọn đáp án (B).

 Bài 10. Cho
(A)

với
(B)

là các số nguyên dương. Khi đó
(C)

(D)

 Lời giải

30

bằng ?

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Ta có:
Do đó

và

Chọn đáp án (A)

31

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa
căn thức bậc hai

Bài 5
Tóm tắt lý thuyết

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với

ta có

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Với
ta có
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với
mà
4. Trục căn thức ở mẫu
 Với
 Với

ta có

ta có
ta có

;
 Với

ta có

;

Các dạng toán
Dạng 15. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Phương pháp giải: Cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

32

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

1.

với

;

2.

với

;

 Lời giải
a)

Vì

b) Vì

và

nên
nên

 Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

với

b)

với

 Lời giải
a)

b)
 Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a)

với

b)

với

.

 Lời giải
a) Vì

b) Vì

nên ta có

nên

.Do đó

33

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Dạng 16. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Phương pháp giải: Cách đưa thừa số vào trong dấu căn:

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a)

với

;

b)

với

.

 Lời giải

a) Vì

nên

b) Vì

nên

=

 Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a)

với

;

b)

với

 Lời giải

a) Vì
b) Vì

nên

nên

Dạng 17. Khử mẫu
34
Phương pháp giải: Vận dụng công thức . Cụ thể gồm các bước sau:

Biến đổi mẫu thành bình phương của một số hoặc một biểu thức (nếu cần); Khai phơng mẫu và
đưa ra ngoài dấu căn.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

1.
2.

3.

với

4.

với

 Lời giải

1.

2.

3.

4.
Trong câu d) ta có cách xử lý bài toán đơn giản hơn

 Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

1.

với

2.

, với

 Lời giải

1

2
 Ví dụ 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

1.
2.

với
với

3.

với

4.

với

35

hoặc

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Lời giải
1.
2.

.

3.

4.

.
 Dạng 18. Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp giải:
Để trục căn thức ở mẫu ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phân tích tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa số đó.
Cách 2: Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức ở mẫu. Có các dạng cơ
bản sau:
A
A B
=
( B >0)
B
1. B
1
A B
=
A- B
A± B

2.

với A >0; B >0; A ¹ B
BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau

1.

;

3.

2.

;

4.
 Lời giải

1.

2.

36

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

3.

4.
 Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau, với các biểu thức đều có nghĩa.

1.

3.

2.

4.
 Lời giải

1.

2.

3.

4.
 Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau

1.

;

2.

 Lời giải
1.

37

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

2.

Luyện tập
 Bài 1. Rút gọn các biểu thức
a)

;

b)

.
 Lời giải

a) Vì

nên

.

b) Vì

nên

.

 Bài 2. So sánh các cặp số dưới đây:
a)

và

;
b)

và

.

 Lời giải

a) Ta có
Mà

b) Ta có

và
nên

.
.

và

.

38

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Mà

nên

.

 Bài 3. Tìm số bé hơn trong các cặp số sau:
a)

và
b)

và
 Lời giải

a) Ta có
Mà

và

.

nên số bé hơn là

b) Ta có
Mà

.

và

nên số bé hơn là

.

.

 Bài 4. Sắp xếp các cặp số sau theo thứ tự tăng dần:
a)

và

b)

và

.
.
 Lời giải

a) Ta có:

Do

nên

.

b) Ta có

Do

nên

.

 Bài 5. Sắp xếp các cặp số sau theo thứ tự giảm dần:
a)

và

b)

và

.

.

39

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Lời giải

a) Ta có

Do
b) Ta có

nên

Do

nên

.

 Bài 6. Giải phương trình:

(1)
 Lời giải

Điều kiện

.

Vậy phương trình (1) có nghiệm là
 Bài 7. Giải phương trình:

.

(2)

40

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Lời giải
Cách 1. Điều kiện

.

Vậy phương trình (2) có nghiệm là

Cách 2. Điều kiện

.

.

Vậy phương trình (2) có nghiệm là
 Bài 8. Cho biểu thức:

Tính giá trị của M tại

.
 Lời giải

Từ

suy ra

Do đó

41

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Bài 9. Khử mẫu của các biểu thức sau

1.

2.

;

.

 Lời giải

1.

;

2.

;
 Bài 10. Trục căn thức các biểu thức sau

1.

2.

;

.

 Lời giải

;

2.

 Bài 11. Trục căn thức biểu thức

Lời giải

 Bài 12. Cho

Tính

Lời giải

Ta có

Khi đó

42

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Bài 13. Tính

Lời giải

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 Bài 14. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức
(A)

.

(B)

.

với

(C)

, ta được

.

Lời giải

(D)

.

Với
thì
Chọn đáp án (C).

 Bài 15. Đưa thừa số vào trong dấu căn của biểu thức
(A)

.

(B)

.

với

(C)

.

Lời giải

Vì
nên
Chọn đáp án (C)

.

Chọn đáp án (B)

(D)

.

.

 Bài 16. Khử mẫu của biểu thức
(A)

ta được

(B)

ta được
(C)

.

Lời giải

.

.

 Bài 17. Trục căn thức của biểu thức

,

ta được
43

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

(A)

(B)

.

.

(C)

(D)

.

Lời giải
.

Chọn đáp án (C)

 Bài 18. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
(A)

.

.

Chọn đáp án (A)

(B)

.

ta được
(C)

Lời giải

.

44

.

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 6

Tóm tắt lý thuyết
1.

Tính chất về phân số (Phân thức)
.

2.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản thường được sử dụng





.





.



.

3.

Các phép biến đổi căn thức cơ bản

Nếu
Để

.
có nghĩa thì

.








(

)
(với











và

(với

(với

(với

).

và

và

)

)

).

(với

và

(với

).

và

).

45

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút
gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
 Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên
hợp của tử (hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác
đưa phân thức về dạng rút gọn.

, đổi dấu phân thức,…

Các dạng toán

Dạng 19. Rút gọn biểu thức không chứa biến
Phương pháp giải
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép tính
và các phép biến đổi đã biết.
Rút gọn biểu thức được áp dụng trong nhiều bài toán về biểu thức có chứa các căn thức bậc
hai.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.Rút gọn các biểu thức sau.

1.

.

2.

.

3.

.

4.

.

Lời giải

1.

2.
3.

.

4.
.
46

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

 Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau.
.

3.

.

4.

.

Lời giải
1.
.
2.

.
.

3.

.

4.

.

 Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau :

1.

2.

.

.

Lời giải

1.

.

2.

.

47

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau :
1.

.

2.

.

Lời giải
1.
vì

.

2.
.
Dạng 20. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
Biến đổi vế trái bằng vế phải bằng cách sử dụng các phép biến đổi căn thức và vận dụng thích
hợp các phép tính và các phép biến đổi đā biết.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.Chứng minh đẳng thức

.

Lời giải
Biến đổi vế trái ta có
Vậy đẳng thức được chứng minh.
 Ví dụ 2.Chứng minh đẳng thức

vói

Lời giải
Ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh.
 Ví dụ 3. Chứng minh các đẳng thức (với

không âm và

48

)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

1.

.

2.

Lời giải

1. Ta có

2. Ta có:

 Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau.

1.

với

2.

với

và

và

Lời giải
1. Với

và

ta có:

49

Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba

.
2. Với

và

ta có

Dạng 21.Rút gọn biểu thức chứa biến và các câu hỏi phụ liên quan
Rút gọn biểu thức chứa biến. Sử dụng kết quả rút gọn để:
Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Giải phương trình, bất phương trình (so sánh biểu thức với một số).
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức.
Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.
Dùng thước đo góc để kiểm tra xem haiBÀI
góc so
le trong
TẬP
MẪUhoặc hai góc đồng vị (các góc tạo bởi
một đường thẳng cắt hai đường thẳng cần kiểm tra có song song hay không) có bằng nhau hay
không..

Lời
giải
1. Ta
có

 Ví dụ 1.Cho biểu thức
1. Rút gọn

với

và

.

.

2. Tìm các giá trị của

để

.

.

2. Theo ý 1, ta có

Vậy với

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 Ví dụ 2. Cho biểu thức

với

50

và