Ch
ủ
đề
6

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC
LƯỢNG GIÁC
Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định
hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để
thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình
lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức
chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.


§1. Cung và góc lượng giác
A. Lý thuyết
1. Đơn vị đo góc và cung tròn
a. Độ
Đường tròn bán kính R có độ dài

và có số đo 360° chia đường tròn thành

360 phần, 1 phần có độ dài

và có số đo

(góc ở tâm chắn cung

).
Vậy cung
STUDY TIP

có độ dài

; cung

có độ dài

.

b. Radian

Diện tích:

- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).

Chu vi:

- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là
1 rad)
Nhận xét:
+ Cung độ dài

có số đo 1 rad.

+ Đường tròn có độ dài

có số đo

+ Cung có số độ dài l có số đo

rad.
rad.

+ Cung có số đo

rad có độ dài

c. Liên hệ giữ độ và rad
(số đo đường tròn bán kính R)

STUDY TIP
Khi viết góc theo đơn vị
radian ta không viết chữ
rad sau số đo góc đó.

rad

Ví dụ: thay cho rad
Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:
Độ
Rad

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính
độ dài là 5cm.
A. 1
B. 3

. Tìm số đo (rad) của cung có
C. 2

D. 0,5

Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có:
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho đường tròn
ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số
sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt
là:
A.

và

B.

và

C.

và 6

D.

Lời giải
ABCDEF là lục giác đều
đều
Cung có độ dài

có số đo 6 rad

Chu vi ABCDEF là

và

6 rad
Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng
a. Đường tròn định hướng
- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là
dương, chiều ngược lại là chiều âm.
- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ
là chiều âm.
b. Cung lượng giác
- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo
một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung
lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu
c. Góc lượng giác
- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc
lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.
Kí hiệu

.

- Số đo góc lượng giác

là số đo của cung lượng giác

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn
OA tới OB tạo ra góc
Kí hiệu: sđ

thì cung

.

. Nếu OM quay theo chiều dương từ

có số đo là

.

.

Vậy:
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ
d. Đường tròn lượng giác

.

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O
bán kính

, cắt Ox tại

và

; cắt Oy tại

và

.

Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.
e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
- Để biểu diễn cung

, ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

sđ
+ Nếu

, ta chọn điểm M sao cho

(theo chiều

dương).
+ Nếu

, ta viết

và ta chọn điểm M sao cho

.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc
đường tròn sao cho

(M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo

có

thể là giá trị nào sau đây?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và

nên đây là góc tính theo chiều âm

theo chiều dương là

sđ
Vì

nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với

).
Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):

;

. Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là:
A.

và

B.

và

C.

và

D.

và

Lời giải
điểm cuối là

.
điểm cuối là

điểm cuối là

.
.

điểm cuối là
Đáp án B
Ví dụ 3: Cung

có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của

A.

B.

C.

là:

D.

Lời giải
Cung

có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là
.
Đáp án D.

Ví dụ 4: Cho góc lượng giác

có số đo bằng

. Trong các số sau,

số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng
giác
?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
+
+

;

;
;

.
Đáp án C.

B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian:
A. 2,443
B. 1,222

(làm tròn đến hàng phần nghìn).
C. 2,943
D. 1,412

Lời giải
Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ Radian:
- Sau đó ấn:
Đáp án B.
Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây:
A.

B.

.

C.

D.

Lời giải
Cách 1: Dùng công thức:
Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.
Nhập biểu thức

vào máy tính, sau đó ấn

ta được kết quả là A.

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ:
Sau đó ẩn:
Đáp án A.
Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho
diện tích hình giới hạn bởi điểm O và
A.

(đvdt)

B.

(đvdt)

. Tính

có thể là:
C.

(đvdt)

D.

(đvdt)

Lời giải
Diện tích hình tròn lượng giác là:

(đvdt)

+
+
+

hoặc

(đvdt)

Đáp án D.
Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm
giác
A.

là ngũ giác đều, sđ
B.

sao cho ngũ

là:
C.

D.

Lời giải
Vì

là ngũ giác đều nên

sđ
Nếu

sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án không đổi.
Đáp án B.

Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm
mãn n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:
A. 0
B. 1
C. 2
Lời giải
STUDY TIP
Tập hợp n điểm tạo
thành 1 đa giác đều trên
đường tròn lượng giác là
tập hợp các điểm M thỏa
mãn:

Để

là đa giác đều thì

Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn:

thỏa
D. vô số

Vì

là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.

Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác

có số đo

. Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?
A. I

B. II

C. III

D. IV

Lời giải
Ta có:

M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm

và

Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác

)
có số đo

. Với

ta có:
+ M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi
+ M nằm trong góc phần tư thứ hai khi
+ M nằm trong góc phần tư thứ ba khi
+ M nằm trong góc phần tư thứ tư khi
Đáp án C.
Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ
Gọi

.

là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này

cắt đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và
có số đo
A.

. Cung

. Khi đó số đo của cung lượng giác
B.

C.

D.

là:

Lời giải
Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên

đối xứng với M

qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.
STUDY TIP

Gọi giao điểm của d với

Với đối xứng với M qua
d. d cắt tại D tung độ
không âm) và ; sđ

Vì

Thì số sđ

Ta có:

là

đối xứng với M qua d

Lại có :

Đây là trường hợp với

có giá trị dương. Những trường hợp khác

chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên
Đáp án A.
Ví dụ 8: Chọn điểm

làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn

lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo

.

A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư
Lời giải
sđ
là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường tròn có
số đo

(tính gần đúng đến hàng phần trăm).

A. 3,92

B. 3,93

C. 24,67
Lời giải

D. 24,68

Cung có số đo 1 rad có độ dài là
Cung có số đo

rad có độ dài là:

.
Đáp án B.

Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Điểm biểu diễn cung
và cung
đối xứng qua trục tung
B. Điểm biểu diễn cung
và cung
đối xứng nhau qua gốc tọa độ
C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất
D. Cung

và cung

có cùng điểm biểu diễn
Lời giải

Điểm biểu diễn của cung

và cung

đối xứng nhau qua trục hoành.
Đáp án B.

Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ

và sđ

. Chọn khẳng định đúng.
A. Ou và Ov đối xứng
B. Ou và Ov vuông góc
C. Ou và Ov trùng nhau
D. Ou và Ov tạo với nhau một góc
Lời giải
Ta có: sđ

với

Vậy
Do đó Ou và Ov trùng nhau.
Đáp án C.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho

. Khi

đó diện tích hình quạt OAM là:
A.

B.

C.

D. Không xác định.

Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho

. Khi đó số đo cung

là:
A.

B.

C.

D.

Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn
lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi
. Giá trị
A.

B.

C.

Khi đó số đo

D.

. Gọi
là:

A.

B.

C.

D.

;

là:

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn
điểm N thỏa mãn

. Khi đó gọi

,

là điểm đối xứng của M qua ON.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây không thuộc đường tròn
lượng giác?
A.

B.

C.

D.

Câu 6: Tính số đo của góc hình học
bằng

.

A.

B.

C.

.

A.

B.

có đo

, biết góc lượng giác

có đo

D.

Câu 7: Tính số đo của góc hình học
bằng

, biết góc lượng giác

C.

D.

Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Góc lượng giác

có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu

và tia cuối với nó có số đo dương
B. Góc lượng giác

có số đo dương thì mọi góc lượng giác

có số đo âm
C. Hai góc hình học
và
D. Số đo

bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác
sai khác nhau bội nguyên
và số đo

thì

Câu 9: Cho đường tròn bán kính
A.

B.

C.

. Khi đó độ dài cung có số đo

là:

D.

Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình có

không xác định?

A. 0

B. 1

Câu 11: Góc

A.

B.

Câu 12: Đổi số đo
A.

B.

C. 2

D. 3

có số đo bằng radian là:

C.

D.

rad thành số đo độ ta được:
C.

D.

§2. Giá trị lượng giác của một cung.
Công thức lượng giác
A. Lý thuyết và các dạng toán điển hình
I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác
1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung

có sđ

(còn viết

). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn
.
Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α:
+ Hoành độ x của M là cosin của góc α:
+ Với

, tỉ số

gọi là tang của góc α:

+ Với

, tỉ số

gọi là cotang của góc α:

-

gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
2. Hệ quả
a.

xác định với

b. Vì

c. Với

, ta có:

nên ta có:

mà

đều tồn tại

và

sao cho

và

d.

xác định với
xác định với

e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng
trên đường tròn lượng giác
Góc phần tư
Giá trị
lượng giác

I

II

III

IV

+
+

+

+

+

+

+

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
0
0

1

1

0

0

1

||

0

||

1

0

||

4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang
a. Ý nghĩa hình học của tang
Kẻ tiếp tuyến

với đường tròn lượng giác tại A.

Gọi

. Khi đó

Trục

0

gọi là trục tang.

b. Ý nghĩa hình học của cotang

.

Kẻ tiếp tuyến

của đường tròn lượng giác tại B.

Gọi

. Khi đó

.

Chú ý:

Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức
A.

B.

với

.

C.

D.

Lời giải
Ta có

Đáp án A.
Ví dụ 2: Giá trị của
A.

là:
B.

C.

D. 1

Lời giải
Ta có:

.
Đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức
A.

B. 389,5

với
C.
Lời giải

là:
D.

Ta có:

(rad)
.
Đáp án C.

Ví dụ 4: Cho

. Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải
Vì

điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất
(1) đúng.
(góc phần tư thứ ba)
(2) sai.

(3) đúng.

(góc phần tư thứ I, II và III)
Ở góc phần tư thứ I,

(4) sai.

(góc phần tư thứ I, II)

(5) đúng.

Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng.
Đáp án C.
II. Hệ thức lượng giác cơ bản
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Ví dụ 1: Cho
A.

và
B.

. Giá trị của
C.
Lời giải

Ta có

là:
D.

. Vì

.

Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho
đây?
A.

. Khi đó giá trị
B.

gần nhất với giá trị nào sau
C. 1

D. 2

Lời giải

Mặt khác ta thấy

nên

trái dấu

.
Đáp án B.
Ví dụ 3: Giá trị

bằng giá trị nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

STUDY TIP

Hay

+)

+)

.

Đáp án D.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 0

B. 2

.

C. 1

D.

Lời giải
Ta có:

(ĐK:

)

thỏa mãn
Dấu “=” xảy ra

(thỏa mãn ĐKXĐ)
Đáp án A.

Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x?
A.
B.
C.
D.
Lời giải

STUDY TIP
Có thể thử các đáp án
bằng MTCT.

+

(loại)

+
(thỏa mãn).
Đáp án B.

III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt
STUDY TIP

1. Cung đối nhau (

và

2. Cung bù nhau (

và

)

Cos - đối
Sin - bù
Phụ chéo

3. Cung phụ nhau (

)

và

)

4. Cung hơn kém

(

và

5. Cung hơn kém

(

và

)

)

Ví dụ 1: Giá trị
A.

là:
B.

C.

D.

Lời giải

Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho
A.

. Giá trị của
B. 2

là:
C.

D.

Lời giải
Ta có:

Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn

, ta được góc

, sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình

ta được

kết quả như trên (để chế độ Radian).
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức:
A. 1

B.

là:
C. 8
Lời giải

D.

Mặt khác

do

đều lớn hơn
Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho

. Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Vì

nên

Vì

nên

Vì

(phụ chéo)

Vậy C sai.
Đáp án C.
IV. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng

Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức
A.

B.

là:
C.

D.

Lời giải

Đáp án A.
Ví dụ 2: Cho

. Khi đó giá trị biểu thức

là:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
STUDY TIP
Có thể dùng máy tính tìm
ra giá trị góc α thỏa mãn
yêu cầu đề bài và tìm giá
trị của biểu thức đã cho.
STUDY TIP
Công thức biến đổi:

Khi đó

.
Đáp án B.

Ví dụ 3: Biểu thức
A. 1

không thể nhận giá trị nào sau đây?
B.

C.
Lời giải

(với

;

)

D.

(

)
Đáp án C.

Ví dụ 4: Cho

, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng?

A.
B.
C.
D.
Lời giải

STUDY TIP
Ta có thể thử A, B, C là
bộ ba số bất kì thỏa mãn
và
không là các góc có giá
trị đặc biệt vào từng đẳng
thức và rút ra kết luận.

+
+

+
Có

Vậy D sai.
Đáp án D.
2. Công thức nhân đôi

Hệ quả:
* Công thức hạ bậc:

* Công thức nhân ba:

* Công thức chia đôi (tính theo

):

Đặt

Ví

dụ

1:

Cho

.

Khi

đó

giá

trị

gần nhất với giá trị nào?
A.

C. 1

D. 2

Lời giải

STUDY TIP
Có thể dùng máy tính dò
kết quả góc α và dùng
quan hệ giữa các cung
lượng giác đặc biệt để
thỏa mãn yêu cầu đề bài
và tính ra kết quả.

B.

Vì
Vậy

thuộc góc phần tư thứ III nên

.

biểu

thức

Có:

.
Đáp án D.

Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức
A.

B.

ta được kết quả là:
C.

D.

Lời giải
Có

Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho

. Khi đó giá trị biểu thức

là:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Ta có:

Khi đó:

Đáp án C.
3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức
A.

B.

là:
C.

D.

Lời giải

.
Đáp án C.
Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
+)

+)

+)

Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của tổng
khi

A.

B.

C.

Lời giải
Ta có:

D.

là:

Đáp án A.

Câu 5: Cho
là:

B. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 268

A.

Câu 1: Cho phương trình:

. Khi đó giá trị

B.

C.

D.

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn

.

có giá trị lớn nhất là 1?
Nếu đặt

phương trình đã cho trở thành

phương trình nào dưới đây?
B.

C.

D.

C. 2

D. 3

. Tính giá trị:

.

, giá trị biểu thức:
là:

A.

B.

C.

D.

Câu
A.

B. 1

Câu 7: Cho

A.

Câu 2: Với

A. 0

8:

Rút

gọn

biểu

thức:

ta được kết quả

B.
bằng:

C.

D.

Câu 3: Cho

A.

, giá trị biểu thức:

B.

Câu 9: Tính

C.

D.

C.

D.

biết:

là
A. 0

B.

Câu 4: Tính

C.

D. 1

với

A.
.

Câu

B.
10:

Tổng:
là:

A.

B.

C.

D.
A.

B.

C.

D.

Câu 17: Cho
định dạng của

Câu 11: Thu gọn biểu thức:
với

A.

có

. Chọn câu trả lời đúng nhất.

A.

vuông

B.

C.

đều

D. A và B đều đúng

Câu 18: Cho

B.

. Khi đó xác

cân

có

. Khi đó

là:
C.

D.

Câu 12: Cho

.

A. tam giác vuông

B. tam giác cân

C. tam giác nhọn

D. tam giác tù

Câu 19: Cho
Khi đó giá trị
A. 1

là:
B.

.

C.

D. 3

Câu 13: Giả sử
bằng:

B.

Câu 14: Nếu

C. 1
và

trình

và

B.

Câu 15: Cho

D.

là 2 nghiệm của phương
và

của phương trình
A.

Khi đó
với

. Khi đó tổng
A.

thì
C.

là 2 nghiệm
bằng:
D.

. Tìm GTLN của biểu thức:

là:

A. tam giác vuông

B. tam giác cân

C. tam giác nhọn

D. tam giác tù

Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

lần lượt là a, b. Khi đó tích a.b

là:
A. 24
Câu

B.
21:

Giá

B.

C. 2

D.

C. 0
trị

nhỏ

nhất

D. 25
của

biểu

thức

là:
A. 2

B. 4

C. 3

Câu 22: Biểu thức
nhất khi

A. 1

có:

D. 1
đạt giá trị nhỏ

. Khi đó a, b là nghiệm của

phương trình:
A.

B.

C.

D.

Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của

. Khi đó giá trị

là:
A. 4

B. 3

C. 4

là:
B. 3

C. 4

Câu 32: Biểu thức

. Khi đó tổng

là:
C. 3

D. 4

Câu 27: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

A.

B.

C.
và

phương trình

D. Vô số

bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 33: Biểu thức
.

D.
là hai nghiệm của

(

bằng:

A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

Câu 35: Biểu thức

gần với giá trị nào sau đây?
C. 5

. Khi đó biểu thức

là:

Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

B. 4

Câu 34: Cho

) thì

bằng

A. 3

C. 2

bằng:

Câu 28: Nếu

A.

B. 1

D. 8

của biểu thức

Khi đó

D.

A. 0

C. 0

B. 2

C.

có giá trị nhỏ nhất là 5?

Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

A. 1

B.

D. 2

là:
B. 3

A.

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị m để biểu thức

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A.

là:

D. 2

Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A.

Câu 30: Tập giá trị của hàm số

D. 6

bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 36: Cho

và

. Khi đó ta có:

A.

Câu 41: Nếu
A.

B.

A.

D. Không xác định góc
Câu 37: Cho

. Khi đó giá trị biểu thức:

C.

D.
khi

B.

B.

khi

C.

D.

B.

ta được kết quả là:

A. 0

A.

B.

C.

D.

D.

?

B. 1

C. 2

(

). Khi đó giá trị
ta được kết quả là:
C.

và

A.

B.

là:
C. 13

D.

D.
thì

bằng:

Câu 46: Biểu thức
rút gọn thành

C.

D. 3

Câu 45: Cho

Câu 39: Rút gọn biểu thức:

B.

C.

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để:

không phụ thuộc vào

Câu 40: Nếu

D.

là:

A.

Câu 38: Rút gọn biểu thức:

B. 1

C.

Câu 43: Giá trị biểu thức

là:

A.

bằng:

là:

C.

A. 0

thì

Câu 42: Giá trị biểu thức

B.

A.

và

được
. Khi đó góc

bằng:

D.
A.

B.

C.

D.

Câu 47: Cho
của

với

A. 9

là:

A.

là:

. Giá trị
B. 8

C. 1

Câu 54: Giá trị của biểu thức:
B.

C.

D.

Câu 48: Tính giá trị biểu thức

là:
biết

A. 0

B.

C. 9

A.
B. 1

C.

D.

Câu 49: Giá trị của biểu thức
là:
A.

B.

C.

với

là:
A.

D.

B.

Câu

C.

56:

. Khi đó giá trị

A.

B.

C.

D. 4
là nghiệm của phương trình nào sau

A.

B.

C.

D.

Câu 52: Thu gọn biểu thức
ta được:
A.

B.

C.

D.

Câu 53: Giá trị của biểu thức:

A.

D.

có

Câu 50: Giá trị
là:

Câu 51:
đây?

D. 8

Câu 55: Giá trị biểu thức:

.
A.

D. 0

B.

Câu 57:

và
là:

C.
có

D.
. Khi đó

là tam giác nào sau đây?
A. tam giác cân

B. tam giác vuông

C. tam giác đều

D. tam giác tù

Câu 6: Đổi số đo

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III
Xem đáp án chi tiết tại trang 274
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các
cung có số đo:
(I)

(II)

(III)

A.

C. Chỉ I, II, IV

D. Cả I, II, III, IV

Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm. Độ dài
cung tròn có góc ở tâm bằng 150° là:
A.

B.

C.

D. Đáp án khác

B.

C.

D.

A. vuông góc với nhau

B. trùng nhau

C. đối nhau

D. tạo với nhau góc

Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có
bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ

Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo

A. 10

B. 12

?

C. 6

D. 5

Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây
của đồng hồ quay được một góc có số đo là:

. Khi đó đường kính đường tròn đó là:

A. 6480000°

B. 3240000°

B. 14

C. 108000°

B. 54000°

C.

D.

Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là
20cm. Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là
không đổi và bằng 18km/h. Trong một thời gian bao
nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần
nhất.
B. 0,02 (s)

C. 0,1 (s)

D. 0,2 (s)

Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm. Khi đó số đo
của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp
đường tròn đó là:

Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam
giác vuông ABC (vuông tại A). Cho sđ
(

). Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào?
A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao
nhiêu điểm M thỏa mãn sđ
A. 2

A. 2π

D. 120°

thì hai tia Ox và Oz:

B. Chỉ I, II, III

A. 0,01 (s)

C. 150°

Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo

A. Chỉ I, II

A. 7

B. 600°

Câu 7: Số đo radian của góc 15° là:

(IV)

Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

và dài

A. 300°

sang đo độ ta được:

B. 4

(
C. 8

)?
D. Vô số

Câu 13: Góc lượng giác

có số đo góc là

thì số đo góc hình học
A.

B.

C. 2

D. Chưa đủ dữ kiện

Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng

là:

giác gốc A cho sđ

C.

trí

D.

của

. Xác định vị

M

biết

và

.
Câu 14: Góc lượng giác

có số đo góc là

3230° thì số đo góc hình học
A. 10°

B. 170°

là:

B. M thuộc góc phần tư thứ II

C. 190°

D. 120°

Câu 15: Xét góc lượng giác

trong đó

. Khi đó M thuộc góc phần tư nào để
cùng dấu?
A. I và III

B. I và IV

C. II và IV

D. Cả I, II, III và IV

A. Với 3 tia Ou, Ov, Ow ta có sđ
(

= sđ

C. Với M là điểm trên đường tròn lượng giác
ta có

cùng

thuộc góc phần tư thứ I và III.

D. Với mọi góc α làm cho
làm cho
xác định

I.

II.

III.
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc
A với hệ trục tọa độ Oxy. Nếu sđ

thì

hoành độ của điểm M là:
A.

B.

C.

D. 1

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Khi đó có bao nhiêu điểm N với

A. 0

.

xác định thì nó cũng

Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với
thỏa mãn

Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm

)

- sđ

dấu

D. M thuộc góc phần tư thứ III

Xét các mệnh đề sau:

+ sđ

B. Với 3 tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ

thì với

C. M thuộc góc phần tư thứ I và II

M sao cho

Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
sai?

= sđ

A. M thuộc góc phần tư thứ I

. (N không trùng với M)
B. 1

là:
A.
Câu 22: Nếu
phương trình

B. 6

C. 5
và

D. 3
là hai nghiệm của
thì giá

trị

A. 2

B. q

C. 1

Câu 23: Giá trị của biểu thức

là:

A.

B.

C.

D.

mãn

thỏa

.
B. 2

C. 3

. Khi đó tổng

D. 4

D. 1

B.

C.

D.

Câu 30: Cho
nhỏ nhất của
A. 62

C.

. Giá trị dương
là:
B. 28

C. 32

có

D. 42
. Khi đó

bằng:

là:

B.

ta

A.

Câu 31:

D. 2

Câu 26: Có bao nhiêu đẳng thức cho dưới đây là đồng
nhất thức?

A.

B.

mãn

D.
thỏa

.
B. 1

Câu 33: Cho

2.

C.

Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị
A. 0

1.

C. 2

D. 4

. Khi đó

có

giá trị là:

3.

A. 1
Câu

4.
A. 1

C. 2

Câu 29: Đơn giản

Câu 25: Giá trị của biểu thức

A.

B.

được:

Câu 24: Có bao nhiêu cặp giá trị

là

D. 6

D.
A. 0

A. 1

C. 5

Câu 28: Tính

bằng:
A. p

B. 3

B. 2

C. 3

Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
là:

B.

C.

34:

D.
và

D.4

với cặp số nguyên
A.

B.

C.

thì
là:
D.

Câu 35: Cho

. Khi đó giá trị

ta được:

là:
A.

B.

C.

D.

A.

Câu 36: Kết quả rút gọn
B.

C.

D.

Câu

37:

A.

.

Khi

đó

bằng:
B.

D.

B.

C.

D.

Câu 50: Một dây cuaroa nối 2 bánh xe tâm I và J (như

Cho

A.

C.

Câu 48: Trong các hình quạt cùng diện tích S, hình có
chu vi nhỏ nhất là:

là:

A. 2

B.

hình vẽ), bán kính lần lượt là

và

. Biết

. Khi đó chiều dài
dây là: (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

C.

Câu 38: Cho

D.
với

. Khi đó

bằng:
A.

B.

C.

D.
A.

Câu 39: Nếu

với

thì

bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 46: Giá trị
A.

là góc nhọn và

B.

Câu 47: Rút gọn:

bằng:
C.

D.

B.

C.

D.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6
I. Cung và góc lượng giác
Câu 1: Đáp án A
Khi đó
(đvdt).
Vì
nên

Câu 2: Đáp án D

đối xứng với M qua Ox

,
hay

Câu 5: Đáp án D

Thử các trường hợp ta thấy D
không thỏa mãn.
Câu 6: Đáp án A
Ta có:

.
Gọi

.

đối xứng với M qua Oy nên

Vì số đo hình học

luôn

dương và

Khi đó

nên
(giá trị âm hay dương

thuộc góc phần tư thứ IV

Câu 4: Đáp án D

của góc lượng giá cho ta biết
chiều quay từ
đến
; còn
về độ lớn hình học thì bằng
(với

và

là

độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay
từ Ou đến Ov, nếu
thì độ
lớn là
Cách khác: Bấm máy tính thử
từng trường hợp với sin, cos các
góc.
Câu 3: Đáp án C

).

Ta đưa về các góc thỏa mãn điều
kiện trong công thức tính nhanh.

Câu 7: Đáp án A

Theo công thức, ta có:

Có thể dùng máy tính để tìm ra
góc cần tìm. Ví dụ như ở trên, ta
nhập vào màn hình biểu thức
, ấn phím
ta

(

là đường kính đường tròn)

được kết quả là 7,
, nghĩa
là số dư khi chia 2550 cho 360 là
30, chịn đáp án A. Nếu góc đã
cho âm thì lấy số đối của góc đó
và làm bình thường.
Trường hợp ra số dư
lấy

II. Giá trị lượng giác của một
cung . Công thức lượng giác

Câu 3: Đáp án B

Câu 1: Đáp án A

ta

được kết quả là góc

cần tìm.
Câu 8: Đáp án C

Câu 4: Đáp án A

Câu 9: Đáp án A
Chu vi đường tròn là:

Đặt

Độ dài cung

thì phương

trình trở thành:

.
Câu 10: Đáp án C
không

xác

Câu 2: Đáp án A
Vì

nên chia cả tử và

mẫu cho

định

ta được:

hay hình chiếu
của M là Ox là O. Vậy hình 2 và
hình 4 có

không xác

định.
Câu 11: Đáp án A
.
Câu 12: Đáp án C

Cách làm chung: Nhân hoặc chia
cả tử và mẫu với một giá trị phù
hợp để xuất hiện
.
Thay số rồi tính.

Câu 5: Đáp án A

Cách làm chung: Cho
thỏa mãn một đẳng thức nhất
định, khi đó ta kết hợp với
ta được hệ
phương trình 2 ẩn
đó tính được

. Từ
.

Câu 9: Đáp án B
Ta có:

Câu 6: Đáp án C
Câu 11: Đáp án A

Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì
(1) có một nghiệm bằng 1
thay
vào

ta được:
(thỏa mãn)

Vậy

Câu 12: Đáp án D
Câu 10: Đáp án B

Ta có:

Sử dụng công thức:

Câu 7: Đáp án B

(công thức tính theo

)

Khi đó:
Câu 13: Đáp án C
Câu 8: Đáp án B

Ta có:

đều

đều

Câu 16: Đáp án B

Câu 17: Đáp án D

Câu 14: Đáp án C
Theo hệ thức Vi – et ta có:
(vì

(bất đẳng thức
Dấu

)

xảy ra

Câu 15: Đáp án B
Ta có:

)

Chú ý: Thông thường biểu thức
trong tam giác đạt một giá trị lớn
nhất (hay nhỏ nhất) với 3 góc A,
B, C có vai trò như nhau khi 3 góc
đo bằng nhau.

Suy ra,
cân tại A hoặc
vuông tại A.
Câu 18: Đáp án A
Hệ thức lượng trong tam giác
vuông:

Ví dụ:

Mà

đều

Khi đó thay vào đẳng thức đã cho
ta được:

cân tại C
Chú ý: Một số hệ thức trong tam
giác cân:

Dấu

xảy ra

Câu 22: Đáp án A
Gọi góc

thỏa mãn

Khi đó

vuông tại A.
Câu 19: Đáp án B

Câu 20: Đáp án A
Ta có:

Câu 21: Đáp án D
Giả thiết

Ta có:

(vì

Thế (1) vào (2), giải hệ ta có
nghiệm:

cùng dấu)
a, b là nghiệm của phương

(Bđt AM-GM)
Dấu

xảy ra

trình
Cách khác: Áp dụng bđt
Buniacopxki ta có:

Khi đó

Dấu
(sai)

xảy ra

Cách giải:
Dấu

xảy ra

Đặt
Nhận xét: Với biểu thức trong dấu
giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là
hai số thực khác nhau:
-

Nếu

thì
nếu
nếu

- Nếu

nếu

- Nếu 1 trong 2 số bằng 0, giả sử
Tổng quát: Hàm số

(với

)

Ta có

mặt khác,
nên

Vậy
* Cách tính giá trị max, min của
các hàm số bậc 2 ẩn
(hoặc
) dạng
(

hoặc

Câu 24: Đáp án A
- Nếu

Ta có:

luôn có

:

+
Dấu

.

Do đó

.

.

khi đó

Khi đó

hoặc

thì nếu
hoặc

.

xảy ra

min của hàm số đạt tại
, max của hàm số đạt tại

Câu 23: Đáp án B

1 trong 2 đầu mút, đầu mút nào

Ta có:

Dấu

xảy ra

gần với

hơn thì hàm số đạt

max tại đó.
Dấu

xảy

ra

Câu 25: Đáp án C
Cách làm sai:

+

max của hàm số đạt tại
, min của hàm số đạt tại 1

trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần

với

hơn thì hàm số đạt min

tại đó.

, khi đó

cách giá trị

xa hơn

Dấu

xảy ra

, khi đó

của

Tổng quát:

Khi đó

đạt GTNN:
+

Vậy
Dấu

+

thì

thì

. Còn ở
, khi đó max,

A

hoặc

xảy ra

của hàm số đạt

câu 16.

đạt

được

khi

+

là hai nghiệm của

phương trình

Xét hàm số

thì

Câu 28: Đáp án A
Vì

Câu 26: Đáp án D

có

và

2 giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất nằm ở 2 đầu mút, đầu
mứt nào làm cho hàm số lớn hơn
thì đạt max, còn lại là min. Ví dụ
ở câu 15, min của hàm số đạt tại

min

(vì

nên tồn

tại a sao cho:

-Nếu

tại

Ta có:

theo

định

nên
lí

Viet,

ta

Câu 30: Đáp án B
Ta có min

có

.
thì

Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
khi
Với

.

Câu 29: Đáp án D

Hoặc

ĐKXĐ:

Với
Câu 31: Đáp án A
+) Áp dụng câu 25, ta có:
Câu 27: Đáp án C

)

Với

(vô nghiệm)
+)
hoặc
-Với

Hoặc ta cũng có thể bấm máy tính
bằng cách tính giá trị của t và gán
vào một biến A trong máy, sau đó
tính biểu thức cần tính ở đề bài và
thử 4 đáp án, đáp án nào có kết
quả trùng với biểu thức cần tính
thì chọn.
Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập

.

Cho
t/m).

(không

Rồi ấn

-

(không

Khi đó đã gán
(để chế
độ tính độ), lần lượt nhập vào
màn hình:

t/m)
Vậy không có giá trị m thỏa mãn
yêu cầu bài toán.

.

Vậy không xác định góc
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Đáp án C
Chia cả tử và mẫu cho

ta

được:

Có thể bấm máy tính tìm ra góc
bằng cách bấm:
Ta được góc , gán nó vào giá trị
A rồi nhập biểu thức

được kết quả cần tìm.

Câu 32: Đáp án B

Chú ý:

viết trong máy tính

là

,

tương

.
Câu 38: Đáp án D

Câu 33: Đáp án A
…
Khi nào ta được kết quả là 0 thì
đó là đáp án cần tìm.
Câu 35: Đáp án D
Ấn máy tính ta cũng có kết quả
tương tự.
Câu 34: Đáp án B

thỏa

Câu 36: Đáp án D

Câu 39: Đáp án B

tự

với

Nhân cả tử và mẫu của G với
ta có:

Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên
vào máy với x là một góc bất kì,
nếu nhiều goác ra cùng một kết
quả thì đó là kết quả cần tìm.
Câu 40: Đáp án C
Đối chiếu với

có góc

Câu 43: Đáp án A
Ta có
Chia cả tử và mẫu cho

thì

ta

có:

Áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki ta có:

thỏa mãn

mà

Dấu

Câu 44: Đáp án B

xảy ra

Mà
Câu 41: Đáp án C

(vì
Để P không phụ thuộc vào

Câu 42: Đáp án C

thì

Vậy có duy nhất 1 giá trị của m để
P là hằng số
.
Câu 45: Đáp án A

(vì

)
)

Dùng máy tính ta tìm được góc x.
Khi đó ta có:
Câu 46: Đáp án C

Ta có:

Thử 4 đáp án chỉ có đáp án C là
thỏa mãn
Câu 47: Đáp án C

Câu 51: Đáp án D
Ta có:

là 11 nghiệm của
phương trình
Vì
Nên

Câu 52: Đáp án C
Câu 48: Đáp án D

Câu 49: Đáp án D

Câu 50: Đáp án B

Câu 53: Đáp án A