CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

MỤC LỤC
CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ.................................................................................................................2
TRONG MẶT PHẲNG................................................................................................................................................2

PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN..........................................................................2

I. TOẠ ĐỘ CỦA VECTOR....................................................................................2
A. Lý Thuyết:..............................................................................................................................2
B. Bài Tập:..................................................................................................................................5

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG................................................................9
A. Lý Thuyết...............................................................................................................................9
B. Bài Tập:................................................................................................................................14

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:..............................................................26
A. Lý Thuyết:............................................................................................................................26
B.Bài Tập:.................................................................................................................................27

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIPSE:............................................................33
A. Lý Thuyết.............................................................................................................................33
B. Bài Tập:................................................................................................................................34

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯƠNG HYPERBOL......................................................39
A. Lý Thuyết:............................................................................................................................39
B. Bài Tập:................................................................................................................................41

VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯƠNG PARABOL........................................................47
A. Lý Thuyết.............................................................................................................................47
B. Bài Tập:................................................................................................................................48

VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP:..................................................................................52
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG..............................................................52
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN..................................................................65
PHẦN B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM............................................................................................73

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:..............................................................73
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:..............................................................124
3. PHƯƠNG TRÌNH 3 ĐƯỜNG CONIC:..........................................................161
Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. TOẠ ĐỘ CỦA VECTOR
A. Lý Thuyết:
1. Trục toạ độ
 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vector đơn
vị

. Kí hiệu

.

 Toạ độ của vector trên trục:

.

 Toạ độ của điểm trên trục:

.

 Độ dài đại số của vector trên trục:
Chú ý:

+ Nếu
Nếu

cùng hướng với

.
thì

ngược hướng với

+ Nếu A(a), B(b) thì

thì

.
.

.

+ Hệ thức Charles: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có:

.

2. Hệ trục toạ độ
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vector đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là

.

O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
 Toạ độ của vector đối với hệ trục toạ độ:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

2

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:

.

 Tính chất: Cho

,

+
+

:

+
cùng phương với

+

 k  R:


+

vào

.

(nếu

).

.

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

.

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
( M chia đoạn AB theo tỉ số k 

.

:

.
).

2. Tích vô hướng của hai vector
 Định nghĩa:
 Cho

= (a1, a2),

.
= (b1, b2). Khi đó:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

3

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng



;

 Cho

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

;
. Khi đó:

.

4

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

B. Bài Tập:
Bài 1: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
1. Tìm tọa độ của

.

2. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
3. Tìm tọa độ của điểm M sao cho

.

4. Tìm tọa độ điểm N sao cho

.

Bài 2: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
1. Tìm tọa độ điểm M sao cho

.

2. Tìm tọa độ điểm N sao cho

.

Bài 3: Trên trục x'Ox cho 4 điểm

1. Chứng minh rằng:

.

.

2. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh:

.

3. Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh:

.

Bài 4: Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
1. Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho

.

3. Tìm tọa độ điểm N sao cho

.

Bài 5: Viết tọa độ của các vector sau:

1.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

5

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2.

.

Bài 6: Viết dưới dạng

khi biết toạ độ của vector

1.

.

2.
Bài 7: Cho

.
. Tìm toạ độ của các vector sau:

1.

.

2.

.

Bài 8: Cho

.

1. Tìm toạ độ của vector

.

2. Tìm 2 số m, n sao cho:

.

3. Biểu diễn vector
Bài 9: Cho hai điểm

là:

.
.

1. Tìm toạ độ điểm C sao cho:

.

2. Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
3. Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
Bài 10: Cho ba điểm

.
.

1. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

6

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2. Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Bài 11: Cho ba điểm

.

1. Tìm toạ độ các vector

.

2. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
3. Tìm tọa độ điểm M sao cho:

.

4. Tìm tọa độ điểm N sao cho:

.

Bài 12: Cho ba điểm

.

1. Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
2. Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
3. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 13: Cho ABC có

.

1. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 14: Cho

.

1. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
3. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 15: Cho

. Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:

1. Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
2. Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

7

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

8

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. Lý Thuyết
1. Vector chỉ phương của đường thẳng
 Vector

được gọi là vector chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song

hoặc trùng với .
 Nhận xét:

+ Nếu

là một VTCP của  thì

(k  0) cũng là một VTCP của .

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vector pháp tuyến của đường thẳng
 Vector

được gọi là vector pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc

với .
 Nhận xét:

+ Nếu

là một VTPT của  thì

(k  0) cũng là một VTPT của .

+Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
+ Nếu

là một VTCP và

là một VTPT của  thì

.

3. Phương trình tham số của đường thẳng
 Cho đường thẳng  đi qua

và có VTCP

 Phương trình tham số của ():

 Nhận xét:

+
– Gọi

.

(1)

    t  R:

( t là tham số).

.

là hệ số góc của  thì:
+

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

,

với

,

9

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
+

;

với

.

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
 Cho đường thẳng  đi qua

và có VTCP

 Phương trình chính tắc của :

.

(2) (

 Chú ý: Trong trường hợp

hoặc

).

thì đường thẳng không có phương trình

chính tắc.
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
 Phương trình:

với

được gọi là phương trình tổng quát của

đường thẳng.
 Nhận xét:

+ Nếu  có phương trình
VTPT là
+ Nếu  đi qua

thì  có:
và VTCP
và có VTPT

hoặc

.

thì phương trình của  là:

 Các trường hợp đặc biệt:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
0

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
Các hệ số
c=0

Phương trình đường thẳng 

Tính chất đường thẳng 
 đi qua gốc toạ độ O

a=0

 // Ox hoặc   Ox

b=0

 // Oy hoặc   Oy

  đi qua hai điểm

: Phương trình của ():

.

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
  đi qua điểm

và có hệ số góc k thì phương trình của :
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc.

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
 Cho hai đường thẳng

và (2):

.

 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

(1)

+ 1 cắt 2

 hệ (1) có một nghiệm



(nếu

)

+ 1 // 2

 hệ (1) vô nghiệm



(nếu

)

+ 1  2

 hệ (1) có vô số nghiệm



(nếu

)

7. Góc giữa hai đường thẳng
 Cho hai đường thẳng 1:
và 2:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

(có VTPT
(có VTPT

)
).

1
1

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

 Chú ý:

+ 1  2 
+ Cho 1:

.
, 2:

thì:

+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng :

và điểm

.

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng

và hai điểm

 .

+ M, N nằm cùng phía đối với  

.

+ M, N nằm khác phía đối với  

.

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1:

và 2:

.cắt nhau.

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
2

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
3

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

B. Bài Tập:

1. Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng

Bài 1: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
1.

,

2.

3.

,

4.

5.

,

6.

,
,
,

Bài 2: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT
1.

,

2.

3.

,

4.

5.

,

6.

:

:

,
,
,

Bài 3: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

Bài 4: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
4

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
7.

8.

Bài 5: Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d:
1.

, (d):

2.

, d  Ox

3.

, d  Oy

4.

, (d):

5.

, (d):

Bài 6: Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d:
1.

, (d):

2.

, d  Ox

3.

, d  Oy

4.

, (d):

5.

, (d):

Bài 7: Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của
tam giác với:
1.

2.

3.

4.

Bài 8: Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao
của tam giác, với:
1.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
5

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2.
Bài 9: Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với:

1.

2.

3.

4.

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau,
với:
1.

2.

3.

4.

Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam
giác có diện tích S, với:
1.

2.

3.

4.

Bài 12: Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng
d với:
1.

,

2.

3.

,

4.

,
,

Bài 13: Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với:
1.

2.

3.

4.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
6

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
1.

2.

3.

4.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
7

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2. Vấn đề 2: Các dạng toán liên quan tới tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh
và đường cao còn lại, với:

1.

2.

3.

4.
Bài 2: Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các
cạnh của tam giác đó, với:

1.

2.
Bài 3: Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương
trình các cạnh của tam giác đó, với:
1.
2.
Bài 4: Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình
các cạnh còn lại của tam giác đó, với
Bài 5: Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết
phương trình của cạnh thứ ba, với:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
8

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1.
2.
3.
4.
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến.
Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
1.
2.
3.
4.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

1
9

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
3. Vấn đề 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm
của chúng:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để hai đường thẳng:
i) cắt nhau

ii) song song

iii) trùng nhau

1.
2.
3.
4.
Bài 3: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
1.
2.
3.
4.
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
0

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1.
2.
3.
Bài 5: Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m:
1.

2.

3.

4.

Bài 6: Cho tam giác ABC với

.

1. Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các
đường trung trực của tam giác.
2. Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung
trực đồng qui.
Bài 7: Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình

, đỉnh

. Viết phương trình hai cạnh còn lại.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với:
1.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2.

2
1

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
4. Vấn đề 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
1.

2.

3.

4.

Bài 2:
1. Cho đường thẳng ():

. Tính bán kính đường tròn tâm

và tiếp xúc

với .
2. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là:
đỉnh

và

. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

3. Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song:
và

.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:
1.

2.

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng k, với:

1.

2.

3.

4.

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng
bằng k, với:
1.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2.

2
2

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
3.

4.

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với:
1.

2.

3.

4.

.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với:
1.

2.

3.

4.

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một khoảng
bằng k, với:
1.
Bài 9: Cho đường thẳng ():

2.
và các điểm

.

1. Chứng minh đường thẳng  cắt đoạn thẳng AB.
2. Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng .
3. Tìm điểm O đối xứng với O qua .
4. Trên , tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
Bài 10: Cho hai điểm

. Tìm điểm C trên đường thẳng ():

sao cho diện

tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt).
Bài 11: Tìm tập hợp điểm.
1. Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ():
2. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

một khoảng bằng 3.
.

2
3

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
3. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng

4. Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng
và

.

:

.

Bài 12: Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
1.

2.

3.

4.

Bài 13: Cho tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với:
1.
2.
3.
4.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
4

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
5. Vấn đề 5: Góc giữa hai đường thẳng
Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng:
1.

2.

3.

4.

Bài 2: Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với:
1.
2.
3.
4.
Bài 3: Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
1.

.

2.

.

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với:
1.

2.

3.

4.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD có tâm

và phương trình một cạnh là

.

1. Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông.
2. Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
5

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
A. Lý Thuyết:
1. Phương trình đường tròn
 Phương trình đường tròn có tâm

và bán kính R:
.

 Nhận xét: Phương trình
tròn tâm

, với

, bán kính

, là phương trình đường

.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
 Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
 tiếp xúc với (C) 
 Nếu biết tiếp điểm

của đường tròn (C) khi đó tiếp tuyến đi qua M nhận

pháp tuyến có dạng:

.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

là vector

2
6

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

B.Bài Tập:
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán
kính của đường tròn đó:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn:
1.
2.
3.
4.
Bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với:
1.

2.

3.

4.

Bài 4: Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với:
1.

2.

3.

4.

Bài 5: Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
7

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1.

2.

3.

4.

Bài 6: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với:
1.

2.

3.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với:
1.

2.

3.

4.

Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với:
1.

2.

3.

4.

Bài 9: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với:
1.
2.
3.
4.
Bài 10: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường
thẳng d, với:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
8

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1.
2.
3.
4.
Bài 11: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với:
1.

2.

3.

4.

5.
6.
Bài 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với:
1.

2.

3.
4.
Bài 13: Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (m là tham số):
1.
2.
3.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

2
9

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
4.
Bài 14: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
1. Đi qua các điểm

và có tâm ở trên trục tung.

2. Qua 3 điểm
3. Qua điểm

và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy

4. Có tâm là điểm

và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình

5. Qua hai điểm

và có tâm

nằm trên đường thẳng

.

Bài 15: Trong mp Oxy cho hai điểm
1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
2. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Bài 16: Trong mp Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

và điểm

1. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn.
2. Chứng tỏ điểm A ở bên ngoài đường tròn
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A.
Bài 17: Cho đường thẳng

và điểm

1. Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng
2. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng

và tiếp xúc với đường thẳng

tại

điểm M đã cho.
Bài 18: Cho họ đường tròn

có phương trình

( m là

tham số)

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

3
0

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1. Tìm tâm và bán kính đường tròn thuộc họ đã cho với
2. Tìm tập hợp tâm các đường tròn thuộc họ đã cho.
Bài 19: Cho đường tròn (C)
1. Tìm tâm và bán kính của (C)
2. Cho

. Chứng minh rằng A là điểm ở trong đường tròn. Viết phương trình đường

thẳng d qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
3. Cho

, chứng minh d' cắt (C). Tính độ dài dây cung.

Bài 20: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
1. Có bán kính bằng 5, tâm thuộc Ox và qua
2. Có tâm

và tiếp xúc ngoài với đường tròn

3. Tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đường thẳng
4. Qua
5. Qua

và có tâm trên đường thẳng
và tiếp xúc với đường thẳng

tại

.

Bài 21:
1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

biết tiếp tuyến có hệ số góc

bằng 1
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
với đường thẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

biết tiếp tuyến vuông góc

.

3
1

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
Bài 22: Cho hai đường tròn

và

. Viết phương trình tiếp

tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 23: Cho
1. Chứng minh (Cm) là đường tròn với mọi m
2. Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ nhất
3. Chứng minh có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng

.

Bài 24: Cho đường tròn (C)
1. Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox
2. Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ

đến đường tròn (C)

3. Tìm tâm và bán kính đường tròn (C'):

. Chứng minh (C) và (C')

tiếp xúc ngoài tại T. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T.
Bài 25: Lập phương trình đường tròn:
1. Qua

và tiếp xúc với hai trục tọa độ

2. Tiếp xúc với hai đường thẳng song song

và có tâm

trên Oy.
3. Tiếp xúc với đường thẳng
4. Tiếp xúc với hai đường thẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

tại điểm

và có bán kính bằng
và qua gốc O.

3
2

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIPSE:
A. Lý Thuyết
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với

.

F1, F2: các tiêu điểm,

: tiêu cự.

2. Phương trình chính tắc của elip

 Toạ độ các tiêu điểm:
 Với

.

,

được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M.

3. Hình dạng của elip
 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 Toạ độ các đỉnh:
 Độ dài các trục:

trục lớn:

, trục nhỏ:

 Tâm sai của (E):
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng

(ngoại tiếp elip).

4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

3
3

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là:

 Với M  (E) ta có:

B. Bài Tập:
Bài 1: Cho elip

Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai,

phương trình các đường chuẩn của elip có phương trình:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của

, biết:

1. Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4.
2. Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6.
3. Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự.
4. Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm

.

5. Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm
6. Một tiêu điểm là

7. Một tiêu điểm là

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

và độ dài trục lớn bằng 10.

và đi qua điểm

.

3
4

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

8. Đi qua hai điểm

.

9. Đi qua hai điểm

.

Bài 3: Lập phương trình chính tắc của

, biết:

1. Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng

2. Một tiêu điểm là

.

và tâm sai bằng

.

3. Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là

4. Một đỉnh là

, tâm sai bằng

5. Đi qua điểm
Bài 4: Cho elip

.

.

và có tâm sai bằng

.

và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải

cắt (E) tại

hai điểm M, N.
i) Tìm toạ độ các điểm M, N.

ii) Tính

1.

.

2.

3.
Bài 5: Cho elip

. Tìm những điểm

i)

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

ii)

sao cho:
iii)

3
5

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
1.

2.

3.
Bài 6: Cho elip

. Tìm những điểm

nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:

1.

2.

3.
Bài 7: Cho elip

. Tìm những điểm

. nhìn hai tiêu điểm dưới một góc

1.

, với:

2.

3.
Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
1. Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4
2. Một tiêu điểm là

3. Một tiêu điểm là

4. Elip đi qua điểm

Bài 9: Qua tiêu điểm của elip

và độ dài trục lớn bằng 10

và điểm

nằm trên elip;

và điểm

vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai

điểm A và B. Tìm độ dài đoạn AB.

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

3
6

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
Bài 10: Tìm trên elip

một điểm M sao cho

, trong đó

là các tiêu điểm

của elip

Bài 11: Cho elip

và điểm

. Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết rằng

đường thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB.
Bài 12: tìm tâm sai của elip trong các trường hợp sau;
1. Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông;
2. Độ dài trục lớn bằng k lấn độ dài trục bé
3. Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự.
Bài 13: Cho đoạn AB có độ dài không đổi bằng 3. Điểm

di động trên trục tung và điểm

di động trên trục hoành. M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2. Tìm tọa độ M, suy ra M di động
trên một elip

Bài 14: Cho elip

. Tìm :

1. Trên

điểm N có tung độ gấp đôi hoành độ

2. Trên

điểm P sao cho

3. Tọa độ các đỉnh hình hình vuông nội tiếp

biết hình vuông có các cạnh song song với

Ox, Oy.

Bài 15: Cho elip

có độ dài trục lớn là 6 và qua điểm

1. Lập phương trình

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

3
7

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2. Tính độ dài dây cung của

3. Tìm trên

vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm;

điểm M cách tâm O một khoảng là

Bài 16: Lập phương trình

biết:

1. Tiêu cự bằng 4 và khoảng cách từ một đỉnh đến tiêu điểm là 5;
2. Độ dài trục nhỏ là 4 và một tiêu điểm có tọa độ
3 Một tiêu điểm là
Bài 17: Lập phương trình

và khoảng cách giữa hai đỉnh là 9.
biết:

1. Độ dài trục lớn là 8 và qua điểm

;

2. Qua hai điểm

3. Có tiêu cự là 4 và qua điểm

4. Qua điểm

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

và

3
8

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯƠNG HYPERBOL
A. Lý Thuyết:
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với

.

F1, F2: các tiêu điểm,

: tiêu cự.

2. Phương trình chính tắc của hypebol

 Toạ độ các tiêu điểm:
 Với

.

 (H),

được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M.

3. Hình dạng của hypebol
 (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 Toạ độ các đỉnh:
 Độ dài các trục:

trục thực: 2a, trục ảo: 2b

 Tâm sai của (H):

(e > 1)

 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

.

3
9

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
 Phương trình các đường tiệm cận:

.

4. Đường chuẩn của hypebol

 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là:

 Với M  (H) ta có:

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

4
0

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng

B. Bài Tập:
Bài 1: Cho hypebol

. Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh,

tâm sai, phương trình các đường tiệm cận, phương trình các đường chuẩn của

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của

có phương trình:

, biết:

1. Độ dài trục thực bằng 6, trục ảo bằng 4.
2. Độ dài trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10.

3. Tiêu cự bằng

, một tiệm cận là

.

4. Độ dài trục thực bằng 48, tâm sai bằng

5. Độ dài trục ảo bằng 6, tâm sai bằng
Bài 3: Lập phương trình chính tắc của
1. Một đỉnh là

.

.

, biết:

, một tiêu điểm là

2. Một tiêu điểm là

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

, tâm sai

.
.

4
1

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
3. (H) đi qua hai điểm

.

4. Độ dài trục thực bằng 8 và đi qua điểm
5. Tiêu cự bằng 10 và đi qua điểm

6. Có cùng tiêu điểm với elip
Bài 4: Lập phương trình chính tắc của
1. Một đỉnh là

.
.

:

, tâm sai bằng
, biết:

và một tiệm cận là

2. Hai tiệm cận là

.

.

và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng

.

3. Tiêu cự bằng 8 và hai tiệm cận vuông góc với nhau.
4. Hai tiệm cận là
5. Đi qua điểm
Bài 5: Cho hypebol

và hai đường chuẩn là
và hai tiệm cận là

.
.

và đường thẳng d vuông góc với trục thực tại tiêu điểm bên trái

cắt

tại hai điểm M, N.
i) Tìm toạ độ các điểm M, N.
1.

ii) Tính

.

2.

3.
Bài 6: Cho hypebol

. Tìm những điểm

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

sao cho:

4
2

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
i)

ii)

iii)

iv)

1.

2.

3.

4.

Bài 7: Cho hypebol

. Tìm những điểm

nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:

1.

2.

3.

4.

Bài 8: Cho hypebol

. Tìm những điểm

1.

nhìn hai tiêu điểm dưới một góc , với:

2.

3.
Bài 9: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết:
1. Nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10

2. Tiêu cự bằng
3. Tâm sai

, một tiệm cận là
và hypebol qua điểm

Gv. Nguyễn Lâm Đức Huy
0939.679.858

4
3

CHƯƠNG 5: Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
Bài 10: Cho Hypebol

có tiêu điểm

, điểm M thuộc

. Chứng minh: tích

các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị không đổi.
Bài 11: xác định độ dài các trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận và vẽ các hypebol sau;

1.

2.

Bài 12: Cho hypebol

. Tìm trên

:

1. Điểm M có hoành độ bằng 2
2. Điểm N cách đều hai trục tọa độ
3. Điểm P sao cho
4. Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của

biết hình chữ nhật có các cạnh song song

với các trục tọa độ và có diện tích là
5. Tìm điểm Q sao cho
Bài 13: Cho hypebol (H) có độ dài trục thực là 4 và qua điểm
1. Lập phương trình

.

2. Tính độ dài dây...