Truy cập: https://toanthcsvn.wordpress.com tham khảo nhiều tài liệu hay!
Thường xuyên cập nhật
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
I. LÝ DO HÌNH THÀNH BIỆN PHÁP.
1.Thực trạng của vấn đề:
Trong chương trình toán THCS có một dạng toán mà học sinh thường
mất điểm hoặc không đạt điểm tối đa đó là dạng toán : “Giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối khó và mang tính
trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình
học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với
thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng
được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài toán lập
phương trình, hệ phương trình. Ở dạng toán này đề bài cho không phải là những
phương trình, hệ phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ
giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại
lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung
của các bài toán này hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con
người, xã hội hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là
những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc
sai lầm và thoát ly thực tế.
Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ
của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách
giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho
mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số,
mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng
và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Xuất phát từ thực tế
đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất
chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc
hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc

1

nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả
năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất
lượng học tập.
Là một giáo viên dạy toán, tham gia dạy ôn thi lớp 9 vào lớp 10 THPT,
trong quá trình giảng dạy tại trường THCS Lũng Hòa. Tôi thấy học sinh hay bị
nhầm hoặc mất điểm dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình. Chính vì vậy tôi xin chia sẻ “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải
bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” hy vọng phần nào giải
quyết được vấn đề trên.
2. Lĩnh vực áp dụng giải pháp:
- Giải pháp này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán
của trường THCS Lũng Hòa, giải pháp chủ yếu chú trọng hướng dẫn học sinh
giải được các dạng cơ bản của dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình.
- Trang bị cho học sinh kỹ năng giải từng dạng cơ bản của dạng toán giải bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình giúp học sinh không lung túng khi gặp
dạng toán này từ đó nâng cao chất lượng môn toán nói chung và chất lượng thi
vào lớp 10 nói riêng.
- Áp dụng trực tiếp vào các tiết dạy của dạng toán giải bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình, vào chương trình ôn thi cấp ba của học sinh.
II. NỘI DUNG CỦA BIỆN PHÁP:
1.Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
* Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau):
- Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị)và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
* Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho
ngắn gọn và phù hợp.
* Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm
nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).

2

=> Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chúng ta cũng làm tương tự
các bước như giải bài toán bằng cách lập phương trình.
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA DẠNG TOÁN GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Theo kinh nghiệm giảng dạy của tôi thì có thể phân loại thành 8 dạng như sau :
- Dạng toán liên quan đến số học.
- Dạng toán về chuyển động.
- Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
- Dạng toán về năng suất lao động.
- Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
- Dạng toán có liên quan hình học.
- Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học.
- Một số dạng toán khác.
Khi dạy mỗi dạng toán giáo viên nên đi theo các bước như sau:
Bước 1. Gv đưa ra các đại lượng của dạng toán, kèm theo công thức liên hệ giữa
các đại lượng. Một số đặc điểm nhận dạng dạng toán hoặc một số chú ý khi giải
dạng toán dang xét.
Bước 2. Khi vào giải bài tập cụ thể giáo viên hướng dẫn học sinh theo các bước
sau:
a. Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài toán, tìm hiểu mối quan hệ giữa các đại
lượng => nhận ra dạng toán để áp dụng cách giải của dạng toán phù hợp.
b. GV hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng,
đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Rồi căn cứ dữ kiện của bài toán lập ra phương
trình hoặc hệ phương trình.
c. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
d. Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán.
Bước 3. Mỗi dạng toán giáo viên cho học sinh làm 2 hoặc 3 bài tương tự tùy vào
mức độ khó của bài toán để học sinh thành thạo dạng toán.
Bước 4. Mỗi dạng toán khi dạy xong giáo viên ra đề kiểm tra ngay tại lớp với
dạng bài tập tương tự và xây dựng theo đề chẵn, đề lẻ để kiểm tra xem học sinh

3

hiểu rõ dạng toán chưa đồng thời phát hiện các lỗi sai từ đó giáo viên điều chỉnh
cho học sinh. Ra đề về nhà cho học sinh theo từng dạng toán.
Bước 5. Khi học xong tất cả các dạng toán của giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình giáo viên cho học sinh kiểm tra dưới dạng tổng
hợp các dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình mục đích để
học sinh biết phân loại dạng toán và nắm được toàn bộ dạng toán.
2.1. DẠNG 1: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN TỚI SỐ HỌC.
Các em thường gặp loại bài tìm một số tự nhiên có hai chữ số, đây cũng là
loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải
loại bài này thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan
như : - Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…;
điều kiện của các chữ số.
- Nắm được sự thay đổi của số khi viết theo thứ tự ngược lại, khi xem chữ
số vào số đó,...
*BÀI TOÁN( Đề thi vào lớp 10 năm học 2013 – 2014 Vĩnh Phúc ):
Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của số đó bằng 11 và nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số mới lớn
hơn số ban đầu 27 đơn vị.
Học sinh phải nắm được :
- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
- Quan hệ giữa số đó và số khi đổi chỗ hai chữ số như thế nào?
-Quan hệ giữa hai chữ số như thế nào?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số
hàng đơn vị).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta
đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị.
Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Chữ số hàng chục

Chữ số hàng đơn vị

4

Số

Lúc đầu

x

y

xy

Lúc sau

y

x

yx

Giải:
Gọi số cần tìm là xy  x, y  N ;0  x, y  9 
Số khi đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: yx
Vì tổng hai chữ số của số cần tìm là 11nên ta có: x  y  11
Do số mới hơn số ban đầu 27 đơn vị, nên ta có:
(2)
yx  xy  27  y  x  3

(1)

 x  y  11
giáo viên hướng dẫn học sinh giải hệ phương
y  x  3

Từ (1) và (2) ta có hpt: 

trình ra kết quả x = 4 và y = 7( thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là 47.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Có một số tự nhiên có hai chữ số lớn gấp ba lần tổng các chữ số của nó.
Còn bình phương tổng các chữ số của nó gấp 3 lần số đã cho. Tìm số ấy .
Bài 2: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số
đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai
lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5.
Bài 3: Tổng của hai số tự nhiên bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của
số kia là 7. Tìm hai số đó?
Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn
hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng
đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.
Bài 5: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của nó bằng 10. Tích của hai
chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 6: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 335, nếu lấy số lớn chia cho số
nhỏ thì được thương là 9 và số dư là 15.
Bài 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ
sốhàng chục là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số
hàng đơn vị thì được số mới hơn số đã cho 540 đơn vị.
2.2. DẠNG 2: DẠNG TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG.

5

1. GV cần cho học sinh nắm được các đại lượng trong dạng toán chuyển động,
kèm theo công thức liên hệ.
- Các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian.
- Công thức liên hệ:

s

v.t ;

v=

s
s
; t=
t
v

Riêng đối với chuyển động trên dòng nước thì :
vxuôi = vThực + v dòng nước
vngược = vThực - v dòng nước
2.Khi dạy dạng toán này GV cần chia nhỏ từng dạng toán chuyển động cho học
sinh dễ tiếp cận dạng toán hơn. Thông thường tôi thường chia dạng toán này
thành hai loại là:
* Chuyển động trên cạn: Chia thành hai dạng:
+ Bài toán có một chuyển động: Gồm: Chuyển động dự định và thực tế. Chuyển
động mức đi và mức về. Chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác
nhau...
+ Bài toán có nhiều chuyển động: Gồm: Chuyển động cùng chiều, ngược
chiều...
- Chuyển động trên mặt nước: Gồm:
+ Bài toán có một chuyển động: Chuyển động dự định và thực tế. Chuyển động
mức đi và mức về. Chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác nhau...
+ Bài toán có nhiều chuyển động: Chia thành hai dạng nhỏ là chuyển động cùng
chiều, ngược chiều...
3. Khi giáo viên hướng dẫn một bài toán cụ thể nên theo các bước như sau:
Bước 1: Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài toán và yêu cầu trả lời các câu hỏi
như:
Bài toán mấy chuyển động: nếu có một chuyển động thì chuyển động này được
chia thành các mức nào?

6

Nếu bài toán có nhiều chuyển động( thông thường là hai chuyển động) thì các
chuyển động đó cùng chiều hay ngược chiều? Mỗi chuyển động đi từ đâu đến
đâu? Mối quan hệ của các chuyển động ra sao?
Bước 2: GV hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại
lượn. Rồi căn cứ dữ kiện của bài toán lập ra phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 4: Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán.
*Bài toán có 1 chuyển động:(Đề thi vào 10 năm học 2009 – 2010 Vĩnh Phúc)
Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với
vận tốc 40 km/h. Lúc về, anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận
tốc 16 km/h. Biết rằng, quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24
km, và thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính độ dài quãng đường AC.
Hướng dẫn:
-Bài toán có mấy chuyển động? ( bài toán có một chuyển động)
-Chuyển động được chia thành các mức nào? (chia thành 3 mức là ba quãng
đường AB, BC,AC)
-Bảng biểu diễn các mối quan hệ của các đại lượng
x>0; y>24;y>x

Vậntốc(km/h) Quãngđường(km) Thời gian( giờ)

Quãng đường AB

4

x

Quãng đường BC

40

y

Quãng đường CA

16

x+y

x
4
y
40
x y
16

x y x y


20x  2 y  5x  5 y
5x  y  0
 Hệ Phương trình:  4 40 16  

 y  x  24
 y  x  24

 y  x  24

 Giải hệ phương trình ra nghiệm x = 6 km; y = 30 km( thỏa mãn điều kiện)
Quãng đường Ac dài 6 + 30 = 36 km.

7

Giáo viên trình bày mẫu lời giải cho học sinh.
*Bài toán có 2 chuyển động: (Đề thi vào 10 năm học 2019-2020)
Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 78km.
Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thì người thứ hai đi theo chiều ngược lại
vẫn trên đoạn đường đó từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cách B một
quãng đường 36km. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người thứ
hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trên
suốt đoạn đường không thay đổi.
Hướng dẫn: - Bài toán có mấy chuyển động? (hai chuyển động)
- Mỗi chuyển động đi quãng đường từ địa điểm nào đến địa điểm nào?
- Các chuyển động có mối quan hệ gì?
- Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
x>0; y>4; x
Vận tốc(km/h)

Thời gian( giờ)

Quãng đường(km)

Xe thứ nhất

x

42
x

78 – 36 = 42

Xe thứ hai

y

36
y

36

Căn cứ vào dữ kiện bài toán ta có hệ phương trình:
 42 36
1
 
y
giáo viên hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình
x
y  x  4


Kết quả ta được x = 14; y = 18( thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là: 14km/h ; 18km/h.
=> Giáo viên trình bày lời giải mẫu.
* Bài toán về chuyển động trên mặt nước:
Một ca nô chạy trên khúc sông dài 30km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời
ca nô ngược dòng là 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của ca nô biết vận tốc dòng
nước là 5km/h.
Hướng dẫn: Dạng toán này nên lập phương trình
8

- Bài toán chuyển động trên mặt nước nên vxuôi = vThực + v dòng nước
vngược = vThực - v dòng nước
-Bảng biểu diễn: gọi vận tốc dòng nước là x(km/h), 5Vận tốc(km/h)

Thời gian(giờ)

Quãng đường(km)

Xuôi dòng

x+5

30
x5

30

Ngược dòng

x–5

30
x5

30

5
Căn cứ vào dữ kiện bài toán ta có phương trình
30
30
3

 giải phương trình ta được x = 15(nhận) hoặc x = -15 (loại)
x 5 x 5 2

Vậy vận tốc của ca nô là 15km/h.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
DẠNG TOÁN HAI CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Cần Thơ , quãng đường dài
189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ. Một chiếc xe khách bắt đầu đi từ
TP.CầnThơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút .
Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Bài 2: Hai người ở 2 địa điểm A và B cách nhau 3,6 km khởi hành cùng một lúc
đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km . Nếu cả 2 cùng
giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên , nhưng người đi chậm hơn xuất phát
trước người kia 6 phút thì học sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường . Tính vận
tốc của mỗi xe.
Bµi 3: Hai ng-êi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc tõ A ®Õn B. VËn tèc ng-êi thø
nhÊt nhanh h¬n vËn tèc ng-êi thø hai lµ 3 km/h nªn ®Õn B sím h¬n ng-êi thø
hai lµ 15 phót. TÝnh vËn tèc mçi ng-êi? BiÕt qu·ng ®-êng AB lµ 15 km.
Bài 4: Hai bến A và B cách nhau 120km. Lúc 7 giờ một ca nô xuôi dòng từ bến
A với vận tốc 12km/h, cùng lúc đó một chiếc ca nô khác ngược dòng từ B về A.
Hỏi chúng gặp nhau lúc mấy giờ biết vận tốc của ca nô đi từ bến B là 14km/h và
vận tốc dòng nước là 2km/h.
DẠNG TOÁN MỘT CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 50km/h, lúc về xe chạy
với vận tốc nhanh hơn lúc đi là 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 12
phút. Tính quãng đường xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.

9

Bài 2: Quãng đường AB gồmmột đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5
km. Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (
vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về bằng nhau ) . Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc
lúc xuống dốc.
Bài 3: Một ôtô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng
đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là
165 kmvà thời gian ôtô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ôtô đi quãng đường
BC là 30 phút . Tính thời gian ôtô đi trên quãng đường AB và BC .
Bài 4: Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa , nếu xe chạy với 35
km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h
thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời
điểm xuất phát của ôtô tại A.
Bài 5: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng
sông đó mất 2 giờ 30 phút . Nếu cũng trên quãng sông ấy , ca nô xuôi dòng 4 km
rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút . Tính vận tốc ri6ng của ca nô và vận
tốc riêng của dòng nước.
Bµi 6: Mét ca n« ®i tõ bÕn A ®Õn bÕn B c¸ch nhau 60Km, c¶ ®i vµ vÒ hÕt 12,5
giê. BiÕt vËn tèc dßng n-íc lµ 2Km/h , tÝnh vËn tèc thùc cña ca n«?
2.3. DẠNG 3: TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG.
-Ở dạng toán này giáo viên phải đưa ra một số đặc điểm của dạng toán để học
sinh nhận dạng dạng toán từ đó có cách giải phù hợp của dạng toán. Chẳng hạn
dạng toán này thường có hai đối tượng tham gia vào bài toán, bài toán thường
cho thời gian hai đối tượng làm chung xong công việc và hỏi thời gian từng đối
tượng làm riêng xong công việc đó. Đặc biệt dạng toán này là khối lượng công
việc làm không rõ rang nên coi toàn bộ công việc là một đơn vị.
- Các đại lượng của dạng toán:
Năng suất: số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian.
Thời gian: Thời gian hoàn thành công việc
Khối lượng công việc: Lượng công việc cẩn làm ( quy ước bằng 1)
-Công thức: Năng suất . Thời gian = Khối lượng công việc(=1)
Ta xét bài toán ví dụ sau:
*Bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể
nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ sau đó mở vòi thứ hai 1,2 giờ nữa thì đầy bể.
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể?

10

- Hướng dẫn giải:
+ Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu
thị bằng số 1.
Gv cùng học sinh phân tích bài toán và xây dựng bảng biểu diễn các đại lượng:
Năng suất

Thời gian( giờ)

Khối lượng công việc

Vòi thứ nhất

1
x

x

1

Vòi thứ hai

1
y

y

1

24
5

1

Cả hai vòi

1:

24 5

5 24

1 1 5
 x  y  24
=> hệ phương trình 
5
 1
1
 9.  1, 2,
24
 x

- Lời giải:
Gọi thời gian vòi thứ nhất làm một mình xong công việc là x( giờ)
Gọi thời gian vòi thứ hai làm một mình xong công việc là y ( giờ),x,y>
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

1
(bể).
x

Trong một giờ vòi thứ thứ hai chảy được
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1:

24
5

1
(bể)
y

24
5
= bể.
5
24

1 1 5
 x  y  24
Theo bài ra ta có hệ phương trình: 
5
 1
 9.  1, 2.  1
24
 x

Giải hệ ta được x= 12( nhận), y= 8( nhận)
Vậy nếu chảy một mình vòi thứ nhất cần 12 giờ đầy bể, vòi thứ hai cần 8 giờ
đầy bể.
Chú ý: Ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua
đơn vị quy ước. Từ đó lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:

11

Bài 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm 3 giờ, và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được
25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong
bao lâu?
Bài 2: Hai người làm chung công việc mất 4 giờ. Người thứ nhất làm được nửa
công việc và người thứ hai làm nốt cho đến khi hoàn thành tất cả hết 9 giờ. Hỏi
nêú làm riêng mỗi người làm xong công việc đó hết bao lâu?
Bài 3: Hai người làm chung trong 4 giờ được

2
công việc. Nếu làm riêng một
3

mình cho xong thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu
làm riêng một người làm trong thời gian bao lâu?
Bài 4: Hai công nhân cùng sơn sửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng
làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì
bao lâu xong công việc?
Bài 5: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12
giờ. Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm
nốt công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc
sau bao lâu?
2.4. DẠNG 4: TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG.
*Bài toán: Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800
tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai
tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được
bao nhiêu tấm thảm len
Hướng dẫn : Trong bài toán số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trang
tháng đầu và trong tháng thứ hai đã biết. Số tấm thảm len mỗi tổ dệt được
trong tháng đầu, tháng thứ hai chưa biết. Ta có thể chọn x là số tấm thảm len
mà tổ I dệt được trong tháng đầu. Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong
đề bài ta có bảng sau :
Số thảm len

Tổ I

Tổ II

Cả hai tổ

Tháng đầu

x

800 - x

800

12

Tháng thứ hai

115x
100

120800  x 
100

945

Cơ sở để lập phương trình là tổng số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trong
tháng thứ hai là 945
Giải :
Gọi số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu là x (x  Z+, x < 800)
Trong tháng đầu cả hai tổ dệt được 800 tấm thảm len nên số tấm thảm len tổ
II dệt được trong tháng đầu là (800 - x)
Tháng thứ hai tổ I dệt được x 

15
115 x
(tấm thảm)
x
100
100

Tháng thứ hai tổ II dệt được (800  x) 

20
120(800  x)
(tấm thảm)
(800  x) 
100
100

Theo đề bài trong tháng hai cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm nên ta có
phương trình :
115 x 120(800  x)

 945
100
100

Giải phương trình, tìm được x = 300 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt được
dệt được

115.300
 345 (tấm thảm len), tổ II
100

120.(800  300)
 600 (tấm thảm len)
100

Chú ý : Bài toán yêu cầu tìm số tấm thảm len tổ I, tổ II dệt được trong
tháng thứ hai, trong cách giải trên ta đã không chọn một trong các đại lượng đó
làm ẩn mà chọn số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu làm ẩn. Cách
chọn ẩn này giúp ta lập và giải phương trình một cách dễ dàng hơn, rồi từ đó suy
ra đại lượng cần tìm.
Như vậy, khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, thông thường bài
toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì nên chọn đại lượng đó làm ẩn (chọn ẩn trực
tiếp) nhưng cũng có khi chọn một đại lượng khác làm ẩn (chọn ẩn gián tiếp) nếu
cách chọn ẩn này giúp ta giải bài toán một cách thuận lợi hơn.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy. Sang tháng
thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm

13

được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết
máy?
Bài 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức
21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm.
Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tôt theo kế hoạch ?
Bài 3: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I đã vượt mức 15% kế
hoạch của tổ, tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó cả hai tổ làm được 102
sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 4: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu động , kể cả
thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối
với loại hàng thứ hai . Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó
phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó
phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại
2.5.DẠNG 5: DẠNG TOÁN VỀ TỈ LỆ CHIA PHẦN.
*Bài toán: Hai đội công nhân cùng tham gia lao động trên một công trường xây
dựng. Số người của đội I gấp hai lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người
từ đội I sang đội II thì số người ở đội II bằng

4
số người còn lại ở đội I. Hỏi lúc
5

đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
Giải : Gọi số người của đội II lúc đầu là x. ĐK : x nguyên dương
Số người của đội I lúc đầu là 2x.
Sau khi chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người còn lại của đội I
là 2x - 10 (người), số người của đội II là x + 10 (người).
Theo đề bài khi đó số người ở đội II bằng
phương trình :

x + 10 =

4
số người của đội I nên ta có
5

4
(2x - 10)
5

Giải phương trình, tìm được x = 30 (thỏa mãn điều kiện)
Trả lời : Lúc đầu đội I có 60 người, đội II có 30 người.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hai tổ học sinh trồng được một số cây trong sân trường.Nếu lấy 5 cây
của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng được của cả hai tổ sẽ bằng nhau.

14

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng được của tổ hai sẽ
gấp đôi số cây của tổ một.Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?
Bài 2: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi
hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán
cho nhà nước nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn.
2.6. DẠNG 6:DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN HÌNH HỌC.
- Ở các bài toán cơ bản dạng toán này thường khai thác về hình chữ nhật và tam
giác. Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về hình chữ nhật và tam
giác như: chu vi, diện tích hình chữ nhật, chu vi diện tích tam giác, định lý
pitago,...
Với dạng toán này giáo viên khi dạy học sinh nên chia thành hai dạng là: Bài
toán về tam giác và bài toán về hình chữ nhật. trong dạng toán tam giác nên chia
nhỏ hơn nữa là toán về tam giác vuông và tam giác thường, làm như vậy học
sinh nhớ kỹ từng dạng hơn và không bị rối từ đó tránh nhầm lẫn.
*Với dạng toán hình chữ nhật thông thường hai đại lượng ẩn chính là chiều dài
và chiều rộng.
Chu vi hình chữ nhật = (chiều dài + chiều rộng) . 2
Diện tích hình chữ nhật = chiều dài . chiều rộng
*Với dạng toán tam giác: Thông thường nếu tam giác thường ẩn chính là chiều
cao và cạnh đáy tương ứng. Nếu tam giác vuông ẩn chính là hai cạnh góc vuông
Diện tích tam giác = nửa tích chiều cao và cạnh đáy tương ứng
Diện tích tam giác vuông = nửa tích hai cạch góc vuông.
Ngoài ra ta còn dùng định lý Py ta go để biểu diễn các đại lượng.
*Bài toán hình chữ nhật:( đề thi vào 10 Vĩnh Phúc năm học 2015-2016)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 360 m2. Nếu tăng chiều dài thêm
1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích mảnh vườn đó là 400m2. Xác định
chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu.
Hướng dẫn:
Giáo viên hướng dẫn học sinh điền bảng biểu diễn :
ĐK : 0 < x
Chiều dài(m)
Chiều rộng(m)
0Lúc đầu
x
Y
Lúc sau
x+1
y+1
 xy  360
( x  1).( y  1)  400

Căn cứ đề bài ta có hệ phương trình 

Gọi chiều dài của hình chữ nhật dài x(m),
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật dài y(m), 0 < x ; 0 < y ; x < y
Do hình chữ nhật có diện tích là 400 m2 nên ta có phương trình
15

xy  360

(1)
Do tăng chiều dài thêm 1m, tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích của mảnh
vườn là 400m2 nên ta có phương trình
( x  1).( y  1)  400  x  y  39 (2)
Tự (1) và (2) ta có hệ phương trình :
 xy  360
 x  24
(thỏa mãn điều kiện)


 x  y  39
 y  15

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt dài : 24m,
15m.
*Bài toán tam giác(đề thi vào 10 năm học 2010-2011)
Cho một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3m
4

và cạnh đáy giảm đi 2m thì diện tích tam giác đó tăng thêm 9m2. Tinh cạnh đáy
và chiều cao của tam giác đã cho.
Hướng dẫn :
-Bảng biểu diễn :
x>2
Cạnh đáy(m)
Chiều cao tương ứng(m)
3
Lúc đầu
x
.x
Lúc sau

4
3
.x+3
4

x–2

Theo đề ta có phương trình :
1
3
1 3
 x  2 .  x  3   x. x  9  x  16 ( thỏa mãn điều kiện)
2
4
 2 4
3
Chiều cao của tam giác là 16. = 12m
4

Vậy chiều cao, cạnh đáy tương ứng của tam giác là 12m, 16m.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính độ dài 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông, biết rằng nếu tăng
mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng lên 36 cm2, và nếu một cạnh
giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Bµi 2: Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng 2/5 c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao gi¶m ®i 2
dm vµ c¹nh ®¸y t¨ng thªm 3 dm th× diÖn tÝch cña nã gi¶m ®i 14 dm2. TÝnh chiÒu
cao vµ c¹nh ®¸y cña tam gi¸c.
Bài 3: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m. 3 lần chiều dài hơn 4 lần
chiều rộng là 20 m . Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m, nếu tăng chiều dài thêm 3 m
, tăng chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 cm2 .Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Bài 5: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều
rông thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và
chiều rộng đi 2 m thì diện tích giảm đi 68 m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó
Bµi 6: Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng bÐ h¬n chiÒu dµi 4m, vµ diÖn
tÝch b»ng 320 . TÝnh chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña m¶nh ®Êt.

16

Bµi 7: Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 240 m2. NÕu t¨ng chiÒu réng 3m
vµ gi¶m chiÒu dµi 4m th× diÖn tÝch m¶nh ®Êt kh«ng ®æi. TÝnh c¸c kÝch th-íc cña
m¶nh ®Êt.
Bài 8: Một khu vườn có chu vi 280 m.Người ta làm một lối đi xung quanh
(thuộc khu đất của vườn) rộng 2m. Tính các kích thước của mảnh đất còn lại
biết rằng diện tích của mảnh đất còn lại là 425 m2.
2.7. DẠNG 7. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VẬT LÝ, HÓA HỌC.
Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý,
hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán.
- Công thức: nồng độ phần trăm của chất: C % 
Khối lượng riêng của chất : D 

mct
.100%
mdd

m
v

*Bài toán: Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm
bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Giải : Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g)
Khi đó lượng dung dịch nước là 200 + x.
Nồng độ dung dịch là

50
200  x
50
20

200  x 100

Theo đề bài ta có phương trình :

 20(150 + x) = 5000


x = 100

Vậy : Lượng nước cần pha thêm là 100g
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung
dịch khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại
1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?
Bài 2: Người ta trộn 6g chất lỏng I với 8g chất lỏng II (chất lỏng II có khối
lượng riêng lớn hơn chất lỏng I là 0,2g/cm3) thu được một hỗn hợp có khối
lượng riêng là 0,7g/cm3. Tìm khối lượng riêng của chất lỏng I.
Bài 3: Người ta đổ thêm 100g nước vào một dung dịch chứa 20g muối thì nồng
độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa
bao nhiêu nước?

17

2.8.DẠNG 8. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
Bài 1: Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh . Anh Quang góp 15
triệu đồng . Anh Hùng góp 13 triệu đồng . Sau một thời gian được lãi 7 triệu
đồng . Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp . Hãy tính tiền lãi mỗi anh được hưởng.
Bài 2: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi
mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con . Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi .
Bài 3: Hôm nay mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10
000 đồng . Hôm nay mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600
đồng và giá trứng thì vẫn như cũ . Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu.
Bài 4: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giố...