CHUYÊN ĐỀ 4. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
A. Dạng 1: Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia
1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)
a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a
Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r
Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a

f(a) = 0

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1
c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết
cho x + 1
Vd: Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – 3 ?
Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C
2. Đa thức chia có bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư
Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì
f(x) = g(x). Q(x) + ax + b
Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư 3x + 1
Cách 2: Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x
Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)
với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

an – bn chia hết cho a – b (a

-b)

an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a

-b)

Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia
a) x41 chia cho x2 + 1
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
Giải
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dư x nên chia cho x2 + 1 dư x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dư – 2x + 7
B. Sơ đồ HORNƠ
1. Sơ đồ: Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a (a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ
Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thức chia là x – a ta được thương là b0x2 + b1x + b2,
dư r thì ta có:

a0
a

a1

a2

a3

b 0 = a0 b 1 = ab 0 + a1 b 2 = ab 1 + a2 r = ab 2 + a3

Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2
Ta có sơ đồ

2

1

-5

1

2. 1 + (- 5) = -3

8
2.(- 3) + 8 = 2

Vậy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết

-4
r = 2. 2 +(- 4) = 0

2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a
Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a
1. Ví dụ 1: Tính giá trị của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010
Ta có sơ đồ:
1
a = 2010

1

3
2010.1+3 = 2013

0

-4

2010.2013 + 0
= 4046130

2010.4046130 – 4
= 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296
C. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác
I. Phương pháp:
1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia
2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) g(x)

f(x)

g(x) g(x)

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
II. Ví dụ
1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n
= (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)
chia hết cho x2n + xn + 1
Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n
Ta có:

x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)

N

Vì x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1
Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n

N

3. Ví dụ 3: CMR: f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1
= x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1
Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
4. Cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x
Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1
Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0

x = 0 là nghiệm của f(x)

f(x) chứa thừa số x

f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0
x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà
các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x
bài 15: Chứng minh rằng
a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
Giải: a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)
Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1
x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho B = x2 – x + 1
x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1)
nên chia hết cho B = x2 – x + 1
Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
= 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1)
= (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0
suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2
c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0

x = 0 là nghiệm của C(x)

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0

x = - 1 là nghiệm của C(x)

C(-

) = (-

+ 1)2n – (- )2n – 2.(-

)–1=0

x=-

là nghiệm của C(x)

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia

đpcm

BÀI 16: Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không
có nghiệm nguyên
Giải: Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ
số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ không thể là
số lẻ, mâu thuẩn. Vậy f(x) không có nghiệm nguyên
BÀI 17: Xác định các số hữu tỉ p và q để đa thức x3+px+q chia hết cho đa thức: x2-2x-3
Giải
Cách 1: Đặt tính chia:
x3

+px

+q

x3-2x2 -3x

x2-2x-3
x+2

2x2+(p+3)x+q
2x2 -4x

-6

(p+7)x+q+6
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi gi trị của x nên:

{ p+7=0¿ ¿¿¿

Vậy với p=-7, q=-6 thì x3+px+q chia hết cho đa thức x2-2x-3

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định:
Đa thức bị chia bậc ba, đa thức chia bậc hai nên thương bậc nhất cĩ dạng ax+b. Hệ số của hạng tử cĩ
bậc cao nhất của x trong đa thức bị chia là 1, trong đa thức chia là 1 nên ta có a=1 và thương là x+b.
Ta có: x3+px+q=(x2-2x-3)(ax+b) Hay x3+0x2+px+q=x3+(b-2)x2+(-2b-3)x+(-3b)
Hai đa thức trn bằng nhau nên:

{b−2=0¿ {−2b−3=p¿¿¿¿

Vậy với p=-7, q=-6 thì x3+px+q chia hết cho x2-2x-3 thương là x+2

Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Ta có: x2 - 2x - 3=(x-3)(x+1)
Gọi thương khi chia x3+px+q cho x2-2x-3 l Q(x). Dư là 0 nên ta có: x3+px+q=(x2-2x-3)Q(x)
Hay x3+px+q=(x-3)(x+1)Q(x)
Vì đẳng thức đúng với mọi gi trị của x nn lần lượt cho x=3, x=-1 ta được:

{ 27+3 p+q=0 ¿ ¿ ¿ ¿
BÀI 1 8: Tìm cac gia trị nguyên của n để gia trị của biểu thức:
2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1
Giải
Cách 1: Đặt php chia:
2n3 - 7n2 + 13n + 2

2n-1

2n3 - n2

n2 -3n+5

-6n2 + 13n + 2
-6n2 + 3n
10n + 2
10n - 5
7

Để gi trị của biểu thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1 thì
7 ⋮ 2n-1

⇔

Ư(7)= {±1;±7 }

+ Với 2n-1=1, ta có n=1
+ Với 2n-1=-1, ta có n=0
+ Với 2n-1=7, ta có n=4
+ Với 2n-1=-7, ta có n=-3
Vậy với n ∈ {−3;0;1;4 } thì gi trị của biểu thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1.
Cách 2: Dùng phương pháp tách đa thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 thnh cc hạng tử chứa 2n-1:
2n3 - 7n2 + 13n + 2 =2n3-n2-6n2+3n+10n-5+7
=n2(2n-1)-3n(2n-1)+5(2n-1)+7
Để 2n3 - 7n2 + 13n + 2 ⋮ 2n-1 thì:
7 ⋮ 2n-1

⇔

Ư(7)= {±1;±7 }

+ Với 2n-1=1, ta có n=1
+ Với 2n-1=-1, ta có n=0
+ Với 2n-1=7, ta có n=4
+ Với 2n-1=-7, ta có n=-3
Vậy với n ∈ {−3;0;1;4 } thì giá trị của b.thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n-1.
BÀI 19: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì dư 2, f(x) chia cho x-3 thì dư 7, còn f(x) chia
cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư.
Giải
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x-2, x-3 lần lượt l P(x), Q(x) ta cĩ:
f(x) = (x-2).P(x) + 2 (1)
f(x) = (x-3).Q(x) + 7 (2)
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - 5x + 6 là g(x) và dư là đa thức bậc nhất
ax+b, ta có:

f(x) =(x-2)(x-3)g(x) +ax+b (3)
Các đẳng thức (1), (2), (3) đúng với mọi x nn:
- Với x=2 thì từ (1) ta cĩ: f(2)=5, cịn từ (3) ta cĩ: f(2)=2a+b, suy ra: 2a+b=5 (*)
- Với x=3 thì từ (2) ta có: f(3)=7, cịn từ (3) ta cĩ: f(3)=3a+b, suy ra: 3a+b=7 (**)
Từ (*) v (**) ta có:

{ 2a+b=5 ¿¿¿¿
Vậy đa thức cần tìm l: F(x)=(x2-5x+6)(1-x2)+2x = -x4+5x3-5x2-3x+7
Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm số dư khi
a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
c) f(x)= x50+x49+...+x2+x+1cho x2 - 1
d) f(x)= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2013 cho g(x)=x2+8x+12
Bài 2: Tính giá trị của đa thức x4 + 3x3 – 8 tại x = 2009.
Bài 3: Chứng minh rằng
a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1
b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1
c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1
d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1
e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2
f) f(x)=(x2-3x+1)31-(x2-4x+5)30+2 chia hết cho x-2
Bài 4: Chứng minh rằng:
f(x) =x99+x88+x77+...+x11+1
g(x)=x9+x8+x7+...+x+1
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết:

a) (9x2n-1y6 - 5x4y5 ) : 5x3yn
b) (5xn-2y7 - 8xn+2y8) : 5x3yn+1
Bài 6: Tìm các số a, b để :
a) 2x3-3x2+ax+b chia hết cho x2+x+2
b) 2x4+ax2+b chia hết cho x2-x+3
c) ax3+bx+12 chia hết cho (x-1)(x+2)
d) x4+2x3-3x2+ax+b chia cho x2-x+2 dư -4x-1
Bài 7: Tìm các số a, b để :
a) x3+ax+b chia cho (x-2)thì dư 12, chia cho (x+1) thì dư -6
b) x3+ax2+bx+c chia cho (x+2); (x+1); (x-1) đều dư 8.
Bài 8: Tìm các số nguyên n để:
a) Gi trị của biểu thức 10n2+n-10 chia hết cho gi trị của biểu thức n-1;
b) Gi trị của biểu thức n3 - 3n2 - 3n - 1 chia hết cho gi trị của biểu thức n2+n+1.
c) 2n3 + n2 + 7n + 1 chia hết cho 2n - 1.
d) n3 - n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1
Bài 9: Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho
(x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.
Bài 10: Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, cịn f(x) chia
cho x2+x-12 thì được thương x2+3 v cịn dư.
Bài 11. Xác định đa thức f(x) thỏa mn cả ba điều kiện sau:
a) Khi chia cho x - 1 dư 4.
b) Khi chia cho x + 2 dư 1.
c) Khi chia cho (x - 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 v cịn dư.
Bài 12: Tìm đa thức bậc ba f(x) biết rằng khi chia f(x) cho x-1, cho x-2, cho x-3 đều dư 6 và
f(-1) = -18.
Bài 13: Đa thức 4x3 + ax + b chia hết cho các đa thưcs x - 2 và x + 1. Tính 2a - 3b.
Bài 14: Cho đa thức f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d. Biết f(1)=10, f(2) = 20, f(3)=30. Tính f(12) + f(-8)
Bài 15: Cho đa thức f(x) . Hy tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – 2x – 3 , biết rằng f(x) chia cho x +
1 thì dư – 45 và chia cho x - 3 thì dư – 165
Bài 16: Tìm đa thức f(x) biết :
1. f(x) chia cho x – 3 thì dư 7 , chia cho x – 2 thì dư 5 , chia cho ( x – 2)( x – 3) thì cĩ thương là
3x và cịn dư
2. f(x) chia cho x – 3 thì dư 2 , chia cho x + 4 thì dư 9 , Chia cho x2 + x – 12 thì được thương là
x2 + 3 v cịn dư

3.
4.
5.
6.
7.

f(x) có bậc 3 v thỏa mn : f( - 1) = 0 và chia cho x – 1 , x + 2 , x + 3 đều dư 8
f(x) có bậc 3 v thỏa mn : f( - 1) = - 18 v chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư 6
f(x) cĩ bậc 3 v thỏa mn : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) = 1
f(x) cĩ bậc 2 v thỏa mn : f(0) = 19 ; f(1) = 5 ; f(2) = 1995
f(x) cĩ bậc 4 v thỏa mn : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47

Bài 17: Tìm một đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995.
Bài 18: Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1.
Bài 19: Cho đa thức bậc bốn P(x) thỏa mn: P(-1) = 0 v P(x) - P(x - 1) = x(x + 1)(2x + 1)
a) Xác định P(x).
b) Suy ra gi trị của tổng: S = 1.2.3 + 2.3.5 + ... + n(n + 1)(2n + 1)
Bài 20: Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c ¿ 0). Cho biết 2a + 3b + 6c = 0.
1
a) Tính a, b, c theo P(0), P( 2 ), P(1).
1
b) Chứng minh rằng P(0), P( 2 ), P(1) không thể cùng â m hoặc cùng dương.

Bài 21: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì: x6m+4+x6n+2+1 chia hết cho x4+x2+1
Bài 22: Xác định số k để đa thức: A= x3+y3+z3+kxyz chia hết cho đa thức x+y+z
Bài 23: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) l các số lẻ. Chứng minh rằng đa
thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Bài 24: Cho f(x) là đa thức có các hệ số nguyên, a v b l các số nguyên.
a) Chứng minh rằng f(a) - f(b) chia hết cho a - b;
b) Có thể xảy ra đồng thời f(5) = 7 và f(19) = 15 được không?
Bài 25: Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa mãn:
P(1) = 19 v P(19) = 85.