CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (Tiết 02)
I.
MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Ứng dụng của tích phân trong tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay
- Phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lý các bài toán liên
quan
2. Năng lực
a) Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học: Đọc và xem trước nội dung về thể tích của các vật thể,
thể tích khối tròn xoay
b) Năng lực toán học:
- Năng lực giải quyết vấn đề: Giải quyết được các vấn đề toán học có trong bài mà
GV đặt ra ( H1, H4 – hoạt động 2)
- Năng lực tư duy và lập luận:
 Viết được, giải thích được công thức tính thể tích của các vật thể
 Vận dụng được kiến thức tính thể tích các vật thể áp dụng tình huống thực
tiễn
- Năng lực mô hình hóa toán học: Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với
ứng dụng tích phân trong hình học ( Hoạt động 4: Vận dụng)
- Năng lực giao tiếp toán học: Trình bày được, đọc được công thức tính thể tích các
vật thể, thể tích khối tròn xoay.
3. Phẩm chất
- Trung thực: Thông qua hoạt động nhóm và làm bài tập GV ra về nhà ( Vận dụng 2
– Hoạt động 4: Vận dụng)
- Trách nhiệm: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác khi tính toán thể tích của các vật
thể.
- Chăm chỉ: Rèn luyện ý thức tìm tòi, khám phá so sánh nhanh
II.
THIẾT BỊ DẠY HỌC
- Máy chiếu, bảng phụ
- Giấy Ao, phiếu học tập
- Bình hoa
- Điện thoại smartphone
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu
- Nhớ lại các công thức tính thể tích các khối đa diện đã học, các khối tròn xoay đã
biết.

b) Nội dung
H1: Nhắc lại công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục
hoành; diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. ( Hình thức kiểm tra đánh
giá thường xuyên).
H2: Kể tên và cách tính thể tích các khối đa diện đã học.
H3: Kể tên và cách tính thể tích khối tròn xoay đã biết.
c) Sản phẩm
Các câu trả lời của học sinh
d) Tổ chức thực hiện
 Chuyển giao nhiệm vụ: GV yêu cầu HS thực hiện Nhiệm vụ H1, H2, H3 ở mục
Nội dung
 Thực hiện
- HS lắng nghe, nhận và thực hiện nhiệm vụ.
- GV nêu câu hỏi, quan sát, theo dõi. Giải thích câu hỏi nếu HS chưa hiểu rõ nội
dung vấn đề nêu ra.
 Báo cáo thảo luận
- GV mời ngẫu nhiên một số HS trình bày kết quả của mình
- Các HS khác lắng nghe, nhận xét bổ sung cho bạn để hoàn thành câu trả lời.
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV đánh giá kết quả trình bày của nhóm HS, chuẩn hóa kiến thức và dẫn dắt vào
bài mới
- ĐVĐ: GV đặt vấn đề giới thiệu vào bài mới

HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
II. TÍNH THỂ TÍCH
a) Mục tiêu:
- Hình thành công thức và biết tính thể tích vật thể, thể tích khối chóp, thể tích khối
chóp cụt
b) Nội dung:
H1: Bài toán: Cắt một vật thể T bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần
lượt tại

(a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x (

)

cắt T theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên
. Tính thể tích vật
thể thu được.
H2: Từ đó xây dựng công thức tính thể tích của khối chóp và khối chóp cụt?
H3: Ví dụ 1: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và
, biết rằng
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
là một hình vuông có cạnh
c) Sản phẩm
Các câu trả lời của học sinh
d) Tổ chức thực hiện
 Chuyển giao nhiệm vụ
-

.

GV sử dụng phần mềm geogebra
để mô tả vật thể cho HS quan sát
HS thực hiện các nội dung:
 Hình thành công thức: Thể tích của vật thể
 Thể tích khối chóp trong hình học
 Thể tích khối chóp trong tích phân
 So sánh
 Thực hiện
- HS thảo luận theo nhóm đôi thực hiện nhiệm vụ H1
Với H1 giáo viên dạy học theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề:
Sau khi trình chiếu xong hình vẽ trên geogebra GV nêu ra vấn đề: Thể tích của vật thể
được tính bằng cách nào?
Giải quyết vấn đề: HS từng bước giải quyết vấn đề dựa vào các câu hỏi gợi ý của GV:
 Hàm S(x) xác định như thế nào đối với hàm f(x) ?
 Hàm V(x) xác định như thế nào đối với hàm S(x) ?
 Trong không gian ta có công thức tính diện tích tương ứng nào tương ứng nào?
Rút ra kết luận: GV hướng dẫn HS rút ra kết luận:
- HS thảo luận theo nhóm 4, thực hiện nhiệm vụ H2, H3
Sử dụng kỹ thuật khăn trải bàn để trả lời cho H2 ( Nội dung), nội dung viết trên ½
tờ giấy Ao theo mẫu:

HS: Thực hiện yêu cầu theo các bước của khăn trải bàn:
 Bước 1: Mỗi cá nhân làm việc độc lập ( Nêu lên suy nghĩ của mình về cách tìm
công thức tính khối chóp và khối chóp cụt)
 Bước 2: Kết thúc thời gian làm việc cá nhân, các thành viên chia sẻ, thảo luận và
thống nhất các câu trả lời
 Bước 3: Thư ký nhóm viết những ý kiến chung về thiết lập công thức tính thể tích khối
chóp và khối chóp cụt của cả nhóm vào ô giữa ½ tờ giấy Ao.
-

GV nêu câu hỏi, quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa
hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra.

-

GV quan sát, hỗ trợ các nhóm; nêu ra các câu hỏi để HS giải quyết vấn đề

 Báo cáo thảo luận
- GV mời HS bất kì nêu câu trả lời cho H1 ( HS nêu được cách tính thể tích vật thể ).
- HS từ cách tính thể tích vật thể xây dựng được các kết quả liên quan( Treo giấy Ao
có chứa khăn trải bàn lên bảng) đại diện các nhóm thuyết trình và nêu lên so sánh
 Thể tích khối chóp:
 Thể tích khối chóp cụt: Khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và
đáy lớn tương tự là B, B'. Khi đó thể tích V được tính bởi công thức:

-

Mời học sinh bất kì lên bảng làm H3
Các học sinh còn lại lắng nghe, nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên
dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng
hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Trên cơ sở các câu trả lời của học sinh, GV kết luận và dẫn dắt học sinh hình thành
kiến thức mới về công thức tính thể tích vật thể.
KHKT 2: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
a) Mục tiêu
- Hình thành công thức và biết cách tính thể tích các khối tròn xoay
b) Nội dung

H4: Bài toán: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

liên tục trên đoạn

, trục Ox và hai đường thẳng
( với
). Quay (H) xung quanh Ox ta thu
được một khối tròn xoay. Hãy tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi:
-

Quay quanh Ox ( GV trình chiếu mô hình trên geogebra

)

- Quay quanh Oy ( GV trình chiếu mô hình trên geogebra
)
H5: Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường
,
khi quay quanh trục hoành.
Sản phẩm
Các câu trả lời của học sinh
c) Tổ chức thực hiện
 Chuyển giao nhiệm vụ
-

GV đặt vấn đề: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

,

trục Ox và hai đường thẳng
(a < b) quay xung quanh trục Ox, Oy tạo
thành một khối tròn xoay( Hình vẽ geogebra GV trình chiếu) . Thể tích V của nó
được tính như thế nào?
-

GV trình chiếu mô hình khối tròn xoay hình vẽ(

,

)
- Mô tả được khối tròn xoay khi quay quanh Ox, Oy
- GV nêu câu hỏi cho HS phát hiện vấn đề
 Thể tích khối cầu trong hình học
 Thể tích khối cầu trong tích phân
 So sánh
 Thể tích khối tròn xoay tạo bởi 2 đường cong
Lập công thức để tính diện hình đó?
 Thực hiện
- GV trình chiếu hình ảnh khi quay hình thang cong quanh trục Ox, Oy trên phần
mềm geogebra (
,
) cho HS quan sát.
Từ đó HS hình thành được công thức tính mặt tròn xoay
GV thực hiện phương pháp dạy học giải quyết vấn đề cho H4( Nội dung):
1) Phát biểu vấn đề: Thể tích khối tròn xoay tạo bởi 2 đường cong được tính như thế nào?
2) Giải quyết vấn đề: Học sinh từng bước giải quyết vấn đề dựa vào các câu hỏi gợi ý của
GV:
-

Cho vật thể tròn xoay, cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành,
thiết diện nhận được là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó?

-

Từ đó hãy suy ra công thức tính khối tròn xoay quay quanh trục Ox, Oy?

 Báo cáo thảo luận
- Đại diện cặp đôi đưa ra cách tính của khối tròn xoay khi quay quanh Ox, quay
quanh Oy
- Thực hiện được Ví dụ 2, và viết câu trả lời vào bảng phụ
- Thuyết trình các bước thực hiện
- Các nhóm khác quan sát, lắng nghe, nhận xét, bổ sung ( nếu có) để hoàn thành sản
phẩm.
- Từ cách tính thể tích khối tròn xoay, xây dựng được các kết quả liên quan
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quay quanh trục Ox:
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc và phương án trả lời của học sinh
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành
kiến thức mới về tính thể tích khối tròn xoay.
HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu
HS biết áp dụng các kiến thức về tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay vào các bài
tập cụ thể.
b) Nội dung
GV cho HS làm bài trắc nghiệm trên https://azota.vn/de-thi/lzhqxs
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0;
x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.
A.

B.

và Ox. Tính thể tích

C.

D.

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox và đường thẳng
quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

B.

C.

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

B.

C.

D.
quay xung

D.

Câu 5: Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:
A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho hình (H) là hình phẳng được giới hạn bởi parabol

, cung tròn có

phương trình
( với
) và trục hoành( phần tô đậm trong hình vẽ). Thể
tích khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình (H) quanh trục Ox là:

A.

B.

Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
Ox. Thể tích của khối tròn xoay bằng:

C.

D.
quay quanh trục

A.
B.
C.
D.
Câu 8: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.

B.

C.

Câu 9: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.

B.

D.
quay xung quanh trục Ox.

C.

Câu 10: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

D.
 quay xung

A.
B.
C.
D.
c) Tổ chức thực hiện
 Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV gửi link làm bài trắc nghiệm cho HS
 Thực hiện
- HS truy cập vào link đề thi trắc nghiệm và tham gia làm bài
- GV quan sát HS làm bài
 Báo cáo thảo luận
- GV sẽ dựa vào phần mềm để xem xét kết quả làm bài của HS
- HS nêu lên cách làm một số bài toán mà GV yêu cầu
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV tuyên dương những HS có bài làm tốt, khích lệ những HS có kết quả tốt cố
gắng hơn trong lần sau.
- GV giải đáp thắc mắc cho HS về các bài tập trên.

d) Sản phẩm:
Các câu trả lời của học sinh
HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Cho HS tiếp cận bài toán phỏng thực tiễn về ứng dụng tích phân để tích thể tích
khối tròn xoay. Tạo cơ hội cho HS ôn lại kiến thức về: Phương trình parabol, elip,
tính tích phân.
b) Nội dung
Bài toán 1: Cửa hàng rượu của anh Hưng có đặt mua từ cơ sở sản xuất 7 thùng rượu kích
thước như nhau, thùng có hình dạng khối tròn xoay với đường sinh dạng parabol, mỗi
thùng rượu có bán kính ở hai mặt là 30 cm và ở giữa là 40 cm, chiều dài thùng rượu là
100 cm. Biết rằng: thùng chứa đầy rượu và giá mỗi lít rượu là hai mươi nghìn đồng. Hỏi số
tiền rượu mà cửa hàng của anh Hưng phải trả cho cơ sở sản xuất rượu là bao nhiêu?

Bài toán 2: Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo ra thành khi hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số và trục Ox( tham khảo bình hoa GV đã chuẩn bị sẵn). Biết đáy bình hoa
là hình tròn có bán kính bằng 2dm. Bỏ qua độ dày của bình hoa, hỏi thể tích của bình hoa
bằng bao nhiêu?

c)
e)

-

Sản phẩm
Bài làm của HS vào bảng phụ ( Bài toán 1)
Bài làm của HS vào vở ( Bài toán 2)
Tổ chức thực hiện
Chuyển giao nhiệm vụ
GV chiếu slide có chứa Bài toán 1 ( Nội dung) cho HS thực hiện
GV phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS

1. Xác định vấn đề: Giáo viên đưa ra bài toán thực tiễn, mô tả về vấn đề và hướng dẫn
học sinh xác định câu hỏi của bài toán.
2. Thiết lập mô hình toán học: Để thùng rượu nằm ngang, chọn hệ trục tọa độ Oxy sao
cho O trùng tâm mặt đáy của thùng rượu, lập phương trình parabol, áp dụng công
thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox, suy ra
kết quả.
?1: Hãy sử dụng các kí hiệu toán học để mô tả lại dữ liệu bài toán?
?2: Phát biểu lại yêu cầu bài toán?
GV cho HS quan sát hình vẽ trong geogebra
3. Phát triển kiến thức của bài toán: Giáo viên yêu cầu HS đưa ra cách xác định
phương trình parabol, công thức tính thể tích khối tròn xoay.
4. Giải bài toán:
Lập phương trình parabol đường sinh của thùng rượu:
Tính thể tích củ khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường:

quay quanh Ox

Tính được thể tích của mặt tròn xoay

Tính được số tiền cần phải trả?
5. Giải thích lời giải và kết luận thực tiễn: Giáo viên yêu cầu học sinh đánh giá lời
giải, đưa ra những lời giải thích, kiểm tra lại những kết quả đã được với vấn đề thực
tiễn và kết luận thực tiễn.
 Thực hiện
- HS thực hiện nhiệm vụ theo nhóm 4
- GV quan sát, hỗ trợ các nhóm bằng cách đặt các câu hỏi gợi vấn đề
 Báo cáo thảo luận

-

HS ghi kết quả bài làm của mình vào bảng phụ, đại diện một nhóm bất kỳ lên
thuyết trình bày làm
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét, đánh giá, tuyên dương cho điểm cộng nhóm có bài làm tốt nhất
- GV chốt lại bài làm trên slide cho HS quan sát, ghi chép
- Giao nhiệm vụ về nhà( Hoàn thành Bài toán 2)