A.Tóm tắt lý thuyết
I. Định Nghĩa.



II. Tính chất của bất đẳng thức.

1.


2. Tính chất bác cầu.




3. Tính chất đơn điệu của phép cộng (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng).




4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.



5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.


.
6. Tính chất đơn điệu của phép nhân (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)



Chú ý: Phép chia tương tự phép nhân .




7.Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, mà các vế đều không âm



8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương.



9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số.
Với
thì


Chú ý: - Trong các bất đẳng thức trên, nhiều bất đẳng thức
có thể thay bằng

Áp dụng cho các biểu thức.













III. Các tính chất của hằng bất đẳng thức.

1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
4.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
5.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chú ý: Các tính chất trên áp dụng cho cả biểu thức.

6.
























IV. Một số bất đẳng thức quen thuộc.

1.Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm.

ta có
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi


2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số.


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi


3.

4.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi


Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi


Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi


Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
.

6.

7.

8. Với
: Nếu
thì

9. Với
cùng dấu ta có:
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
.
10.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

Hay:
.


11.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
.
12.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
.
13. Với
.Ta Có

.
14.
.
.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
.
15.

.











B. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

I.Phương pháp dùng Định nghĩa

Để chứng minh
Ta chứng minh

hoặc

Ví dụ1:
Cho
và
Chứng minh:

Lời giải:
Ta có:
Vì


, Mặy khác



Suy ra:
vậy
Với

Tương tự như trên ta có thể xét
.
Ví dụ2:
Chứng minh:
a.
.
b.
.
Lời giải:
a. Ta chứng minh



Vậy
. Đẳng thức xảy ra


. Ta chứng minh

Ta có

Vậy
. Đẳng thức xảy ra

Vậy
. Đẳng thức xảy ra

Ta có

Vậy
Đẳng thức xảy ra

Ví dụ3:
Chứng minh:
.
Lời giải:
Ta xét



Đặt


Ta có



Đẳng thức xảy ra

hay



Vậy

Đẳng thức xảy ra

Ví dụ4:
Cho
Chứng minh
.
Lời giải: Xét hiệu





Vì



Đẳng thức xảy ra

Vậy với
thì

Đẳng thức xảy ra

Ví dụ5:
Chứng minh :

Lời giải: Xét hiệu