CHUYÊN ĐỀ 6 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A.Kiến thức:
1. Định lí Ta-lét:
* Định lí Ta-lét:




* Hệ quả: MN // BC


B. Bài tập áp dụng:
1. Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G
a) chứng minh: EG // CD
b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Vì AE // BC

(1)
BG // AC

(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

EG // CD
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên


Bài 2:
Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.
Chứng minh rằng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giải
Đặt AB = c, AC = b.
BD // AC (cùng vuông góc với AB)
nên

Hay
(1)
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên

Hay
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ
và
suy ra
(Vì AH = AK)

AH2 = BH . KC
3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG
b)

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành và K
BC nên
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:


b) Ta có:
;
nên



(đpcm)
c) Ta có:
(1);
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)
4. Bài 4:
Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) EG = FH
b) EG vuông góc với FH
Giải
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM =
CF =
BC





EM // AC

(1)
Tơng tự, ta có: NF // BD

(2)
mà AC = BD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
Tơng tự nh trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH =
AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC
BD
EM
MG

(4)
Tơng tự, ta có:
(5)
Từ (4) và (5) suy ra
(c)
Từ (a), (b), (c) suy ra
EMG =
FNH (c.g.c)
EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì



mà
(đối đỉnh),
(
EMG =
FNH)
Suy ra

EO
OP
EG
FH
5. Bài 5:
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đờng thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
Giải
a) EP // AC

(1)
AK // CD

(2)
các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên
AF = DC, FB = AK (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có

MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4