Violet
Giaoan

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

12099162 Kính chào các thầy, cô. Khi cài đặt phần mềm , trên PowerPoint và Word sẽ mặc định xuất hiện menu Bộ công cụ Violet để thầy, cô có thể sử dụng các tính năng đặc biệt của phần mềm ngay trên PowerPoint và Word. Tuy nhiên sau khi cài đặt phần mềm , với nhiều máy tính sẽ...
Xem tiếp

Quảng cáo

Coccoc-300x250

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (024) 66 745 632
  • 096 181 2005
  • contact@bachkim.vn

Tìm kiếm Giáo án

TOÁN 9 CƠ BẢN CHUONG III GOC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Wait
  • Begin_button
  • Prev_button
  • Play_button
  • Stop_button
  • Next_button
  • End_button
  • 0 / 0
  • Loading_status
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Vy Văn Yển (trang riêng)
Ngày gửi: 09h:55' 25-11-2022
Dung lượng: 1.5 MB
Số lượt tải: 80
Số lượt thích: 0 người
CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1: GÓC Ở TÂM, GÓC NỘI TIẾP.
1, GÓC Ở TÂM.
– Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm. Hai cạnh của góc cắt đường tròn
tại hai điểm chia đường tròn thành hai cung:
– Cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nẳm bên ngoài góc gọi là cung lớn.
VD:

A

Ở Hình 1:
Góc

Cung nhỏ là cung
Cung lớn là cung
Hoặc ta có cách nói khác:
Góc

m

là góc ở tâm.

chắn cung

.

B

O

.
n

.
Hình 1

Chú ý:
+ Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
2, SỐ ĐO GÓC Ở TÂM.
– Số đo của nửa đường tròn bằng
.
– Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
VD:
A

Ở Hình 2:
Góc

=> sđ

m

.

Từ đó: sđ

680

O

Chú ý:
+ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

n
Hình 2

1

B

3, GÓC NỘI TIẾP.
– Góc nội tiếp là góc có đỉnh nẳm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn đó
– Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
VD:
Ở Hình 3:
A
Góc

là góc nội tiếp.

Góc

chắn cung

m

.
O

C

B

Hình 3

4, SỐ ĐO GÓC NỘI TIẾP.
– Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
VD:
Ở Hình 4:
A


nên

m

980
490

O

B

Chú ý:
Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

2

Hình 4

C

5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:
– Tứ giác ABCD nội tiếp thì
Tứ giác ABCD có

( cùng chắn cung

) và ngược lại:

thì tứ giác ABCD nội tiếp.
B

A

1

O
C
1

D

– Tứ giác ABCD nội tiếp
tròn) và ngược lại:
Tứ giác ABCD có

đường kính AC thì

( góc nội tiếp chắn nửa đường

thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
B

A

C

O

D

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc
Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng

và ngược lại:

thì tứ giác ABCD nội tiếp.
A

B

O

C

3

D

6, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho nửa đường tròn
Chứng minh

Bài 2: Cho nửa

đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn.
.

đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC

tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh

.

E

C

D
C
H

A

O

A

B

4

O

B

Bài 3: Cho
bất kì
với

nội tiếp đường tròn

đường kính AC biết

. Đường thẳng BI cắt

. Trên đoạn OC lấy điểm I

tại điểm thứ hai là D. Kẻ

, DK vuông góc

.
a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
b, Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và
. Tính diện tích
.
c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I

thay đổi trên đoạn thẳng

Bài 4: Cho đường tròn

thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.

đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H. M là một điểm trên đoạn

thẳng CD. Tia AM cắt
tại N.
a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Chứng minh

.

B

N

C
M

A

K
O

I

C

A

H

H
D
D

5

O

B

Bài 5: Cho

vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn

. Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với

cắt đường thẳng AC tại D. ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).
a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.
b, Cho

. Tính AI.

c, Gọi HK là đường kính của

. Chứng minh rằng:

.

Bài 6: Cho
nhọn nội tiếp
. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh

D

cân.

K

A
E
F

A

H
O

I

B
B

C

H

6

D
M

C

Bài 7: Cho nửa
đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC
tại H, AC cắt BD tại E.
a, Chứng minh CHDE nội tiếp và
b, Chứng minh

.

.

c, Vẽ tiếp tuyến với

tại D cắt EH tại I. Chứng minh I là trung điểm của EH.

Bài 8: Cho
nhọn nội tiếp đường tròn
có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh
.
c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH. Cho K, L lần lượt là giao điểm
của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL // AC.

E

A
I

D

D

C

E
H

H
A

O
O

B

B

7

C

Bài 9: Cho đường tròn

dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho



nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC.
a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Gọi M là giao điểm của AK với

, M khác A. Chứng minh

.

Bài 10: Cho
đường kính
, điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B). Lấy điểm D thuộc
dây BC ( D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F.
a, Chứng minh FCDE nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Chứng minh

.

d, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của

.

F

I

A
M

C

E

E

F

D

H
A

O
K

C

B

8

O

B

Bài 11: Cho nửa đường tròn

đường kính

. C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao

cho C khác A và
. Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho
AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.
a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh

. Gọi E là giao điểm của

.

c, Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của

.

Bài 12: Cho
nhọn có
. Vẽ đường tròn
đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC
lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm của AH.
a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và
.
b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn.
c, Cho biết

, Tính OI.

F

A

I

E

I
F

C
D

H

E
A

O

B

B

9

D

O

C

Bài 13: Cho nửa đường tròn
cung

, đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho

, AC cắt BD tại E. Kẻ
a, Chứng minh ABEF nội tiếp.
b, Chứng minh

tại F.
.

c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp

.

d, Gọi I là giao điểm của BD với CF. Chứng minh

.

Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính
lấy điểm M sao cho
và N là một điểm
bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B). Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trên
AB.
a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc

.

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
luôn đi qua 2 điểm cố định.
d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất.

C

M

B
E

I

N

I
A

F

O

A

D

10

O

H

B

Bài 15: Cho đường tròn

có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD. Đường

kính MN của đường tròn
cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD ( E khác C, D, N).
ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.
a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, NK cắt MP tại Q. Chứng minh IK là phân giác
.
d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động
trên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H luôn chạy trên một đường cố định.
Bài 16: Cho nửa
đường kính AB. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với
và C là
điểm chính giữa cung AM. Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC.
a, Chứng minh CHMD nội tiếp.
b, Chứng minh
.
c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB. Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì
đường tròn ngoại tiếp

luôn đi qua một điểm cố định.

D

N

M

E

C
H

O
P

K

C
Q

D

I

A
M

11

Q

O

B

Bài 17: Cho
nhọn nội tiếp đường tròn
. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh

cân.

Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là
giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI.
a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.
b, Chứng minh
c, Biết

.
. Tính giá trị biểu thức

theo R.

C

A

E
F
H
B

D

Q
I
H

O
C

A

12

O

B

Bài 19: Cho nửa đường tròn
đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn với
. Gọi D
là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng
AC ở F.
a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp.
b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M. Chứng minh
c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
d, DF cắt nửa đường tròn
minh C, I, P thẳng hàng.
Bài 20: Cho đường tròn

.
.

tại điểm P. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

. Chứng

và dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung BC sao cho

là tam giác nhọn. Hai đường phân giác trong của góc
cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròn
tại D và E. Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N.
a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp. Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.
b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi.
c, Chứng minh

cân. Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất.

A

F

E

M
P

O

A

I

E

B

D

B

O

N

C

M
D

13

C

Bài 21: Cho

nội tiếp đường tròn
đường kính BC. Điểm D thuộc bán kính OC.
Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM là tiếp tuyến của
d, Cho

.

. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ

Bài 22: Cho đường tròn

và dây AB không đi qua tâm. Dây PQ của

vuông góc với AB tại H

. Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB. QM cắt AB tại K.
a, Chứng minh BHQM nội tiếp và

.

b, Chứng minh
cân.
c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I.
Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.

F

M

A

P

E
B

O

D

C

N

I

O
H

B

A

M
Q

14

K

Bài 23: Cho đường tròn
đường kính
, C là trung điểm của OA, Vẽ dây
K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN.
a, Chứng minh BCHK nội tiếp.
b, Chứng minh

đều.

c, Tìm vị trí của K trên cung nhỏ MB sao cho
đó theo R.
Bài 24: Cho

tại C.

đạt GTLN và tính giá trị lớn nhất

, dây cung AB. Từ điểm M bất kì trên cung lớn AB ( M khác A và B), kẻ dây cung

tại H. Gọi MQ là đường cao
.
a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
b, Chứng minh

.

c, Chứng minh MN là phân giác của
d, Hạ

.

, Xác định vị trí của M trên cung AB để

M

có GTLN.

M

K

H
A

C

O

B

Q

O
A

H

B
P

N

N

15

Bài 25: Cho đường tròn

đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A

và C. Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn

với K là tiếp điểm. Tiếp tuyến tại A của đường tròn

CK tại H. Gọi I là giao điểm của OH và AK. J là giao điểm của BH và

cắt

( J không trùng với B).

a, Chứng minh
.
b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn.
c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính

.

Bài 26: Cho nửa đường tròn
đường kính BC. A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn. BA kéo dài
cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC. DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.
a, Chứng minh BD là phân giác
b, Chứng minh ADEF nội tiếp.

và OD // AB.

c, Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chứng minh
d, Chứng minh



.

.

y
F

H

J

A

K

I

D

E

I
A

O

C

B

16

B

O

C

Bài 27: Cho
cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là
trung điểm của IK.
a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn
c, Tính bán kính của đường tròn
Bài 28: Cho

.

, biết

.

đường kính AC. Trên đoạn AC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm

Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung
a, Tứ giác ADBE là hình gì?
b, Chứng minh DMBI nội tiếp.
c, Chứng minh B, I, E thẳng hàng và
d, Chứng minh

đường kính BC.

, DC cắt đường tròn

tại I.

.

.

e, Chứng minh MI là tiếp tuyến

.

D
C

I

A

I

K

O

B

A

M

E

17

O

B

O'

C

Bài 29: Cho

vuông tại A. Trên AC lấy điểm M sao cho

. Dựng đường tròn

đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E. đường thẳng BM cắt
a, Chứng minh ADCB nội tiếp.
b, Chứng minh ME là tia phân giác

tại D và AD cắt

tại S.

.

c, Chứng minh
.
d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy.

S

D

A

M

O
B

Bài 30: Cho

vuông tại A có

. Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho

. Đường tròn
đường kính BD cắt CB tại E, Kéo dài CD cắt
a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
b, Biết

. Tính BC và diện tích

c, Kéo dài AF cắt đường tròn

C

E

tại F.

.

tài điểm G. Chứng minh rằng BA là tia phân giác của

A

F

G

.

D
O

E

B

18

C

Bài 31: Cho
CD tại E.

đường kính AB và dây

tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt

a, Chứng minh AM là tia phân giác
b, Chứng minh EFBM nội tiếp.

.

c, Chứng minh
.
d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I. Chứng minh NI // CD.
e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp

.

Bài 32: Cho
nhọn và
nội tiếp đường tròn
cắt nhau tại H.
a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp.
b, Kẻ đường kính AK của đường tròn
c, Kẻ FM // BK

C

. Chứng minh

. Chứng minh

F

.

.

M

A

N

E
A

. Các đường cao AF và CE của

E
I

O

H

O

B

B

F

C

M
K

D

19

Bài 33: Cho đường tròn

đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K

sao cho
. Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn
d cắt MB tại E.
a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp.
b, OK cắt AM tại I. Chứng minh
c, Gọi H là trực tâm

. Đường thẳng d vuông góc với AB tại O,

.

. Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax.

Bài 34: Cho
nhọn có
nội tiếp
, đường cao AH. D là điểm nằm giữ hai điểm A và
H. Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A.
a, Chứng minh

và tứ giác BHDM nội tiếp.

b, Chứng minh

.

c, Đường tròn đường kính AD cắt
Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng.

tại điểm thứ hai E. Tia AE cắt đường thẳng BC tại K.

E

K

A
N

E

M

H

M
D

I
A

O

B

K

20

B

H

O
C

Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn

không có điểm chung. Kẻ

tại H. Lấy điểm M

bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn
. Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K
và I.
a, Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định.
d, Chứng minh

, Từ đó suy ra điểm K cố định.

e, Tìm vị trí của M để diện tích
Bài 36: Cho

đạt giá trị lớn nhất.

nhọn nội tiếp đường tròn

với cạnh AB cố định khác đường kính. Các đường

cao AE, BF của
cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K. CH cắt AB tại D.
a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn.
b, Chứng minh
c, Chứng minh EF // IK.

.

d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp
đi qua một điểm cố định.

luôn

K

A
H

F

A

D

M

H

K
d

I
O
B

O
B

E

I

21

C

Bài 37: Cho
nhọn có
nội tiếp đường tròn
. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại
H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.
b, Chứng minh
.
c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và
AH. Chứng minh F là trực tâm của
Bài 38: Cho nửa đường tròn

.
đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và

By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn
Ax, By lần lượt tại M và N.
a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và

( I khác A và B) cắt

.

b, Chứng minh

.
c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K. Chứng minh H là trung điểm của IK.
d, Cho

, diện tích tứ giác ABNM là

D

M
H
B

.

x

A

E

. Tính diện tích

y

M
I

N

N
H

O
C

A

22

O

K

B

Bài 39: Cho nửa đường tròn
Hạ

đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C

.

tại H. Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC lần lượt tại M và N.
a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật.
b, Chứng minh
và tứ giác AMNB nội tiếp.
c, Tia MN cắt tia BA tại K. Lấy điểm Q đối xứng với H qua K. Chứng minh QC là tiếp tuyến

của

.
d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp

.

C
N
M
Q

K

Bài 40: Cho nửa đường tròn

A

đường kính AB. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt

đường tròn
tại C. trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì. Kẻ
OH và MB.
a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp.
b, Chứng minh

B

O

H

tại H. Gọi N là giao điểm của

.

c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt
tại điểm thứ hai D, Chứng minh CM // BD.
d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng. Khi đó tính độ dài cung MB theo R.

N
C
I

D

M

H

23

A

O

B

Bài 41: Cho
đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O. kẻ dây
điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I.
a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp.
b, Chứng minh

, từ đó suy ra

c, Đường tròn ngoại tiếp
thuộc

tại H. Lấy

.

cắt AE tại điểm thứ hai M. Chứng minh

và điểm M

.
d, Tìm vị trí của H trên OA để

Bài 42: Cho



có chu vi lớn nhất.

nhọn nội tiếp đường tròn

sao cho D nằm giữa B và E và
và J.

. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E

. Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn

tại I

a, Chứng minh phân giác góc
đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn
b, Chứng minh tứ giác BCJI là hình thang cân.

.

I
A
M
C

F

O

E
A

H

O

B

B

E

D
I

D

24

C
J

Bài 43: Cho
nhọn, nội tiếp

lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC,
a, Chứng minh AEMF nội tiếp.
b, Chứng minh
c, Kẻ

. Đường kính AD cắt BC tại M. Gọi E và F lần

và BC // EF.
tại H, tia AH cắt

tại N.

1, Chứng minh BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp
2, Qua B vẽ đường thẳng
tròn ngoại tiếp
Bài 44: Cho

vuông góc với BN, đường thẳng

lần lượt tại K và Q. Chứng minh
nhọn có

.
cắt AN cắt đường

.

nội tiếp đường tròn

. Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ

. Vẽ đường kính AE của đường tròn

cắt MN tại I. Tia MN cắt đường tròn

tại K.
a, Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Chứng minh CEIN là tứ giác nội tiếp và

cân.

A

A

I

O

M

F

E

B

B

H
N

N

O
C

H

C

M

E

D

25

K

Bài 45: Cho
nhọn có
nội tiếp đường tròn
lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC.
a, Chứng minh rằng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh rằng

, Đường cao AH. Gọi M và N lần

. Từ đó chứng minh

.

c, Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh
d, Cho
Bài 46: Cho





.

. Tính diện tích hình viền giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ

nhọn nội tiếp trong

của BC và AD là đường kính của
a, BFEC là tứ giác nội tiếp.

, đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm

. Chứng minh:

b,
.
c, H, M, D thẳng hàng.
d, Cho

và điểm B, C cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho

nhọn, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

luôn có 3 góc

có bán kính không đổi.

A

A

E
N
M
Q

B

F

O

H

O
C

H

B

C

M
D

26

Bài 47: Cho
CF của

nhọn có

nội tiếp

. Gọi H là giao điểm ba đường cao AD, BE và

.
a, Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.
b, Vẽ hình bình hành BHCK. Tính AK biết
.
c, Gọi S là giao điểm của AK và EF. Đường thẳng qua D và song song với HS cắt AK tại Q.

Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Bài 48: Cho đường tròn

.

và dây BC cố định với

( A khác B, C) sao cho

. A là điểm di động trên cung lớn BC

nhọn. Các đường cao BD và CE của

cắt nhau tại H, Kẻ đường

kính AF của
, AF cắt BC tại N.
a, Chứng minh BEDC nội tiếp.
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh BHCF là hình bình hành.
d, Đường tròn ngoại tiếp
điểm K, H, F thẳng hàng.

cắt

tại điểm thứ hai K ( K khác với O). Chứng minh ba

A

A
E

D

F

E
H

B

O

B

C

D

H

O
C

N
F

K

27

Bài 49: Cho

nhọn có

nội tiếp đường tròn

. Các đường cao AD, BE, CF của

cắt nhau tại H.
a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b, Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh ba điểm A, O,
K thẳng hàng.
c, Chứng minh

.

d, Chứng minh nếu
Bài 50: Cho đường tròn



thì OH // BC.

đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc

với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C). Kẻ
DE cắt CK tại F.
a, Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh KH // ED và

tại K. Đường thẳng

cân.

c, Tìm vị trí của điểm E để diện tích

lớn nhất.

F

A

K

E

E

F
H
B

D

C

O
A

C

I

O

H

K
D

28

B

Bài 51: Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm của DC, Nối BN cắt AC tại F. Vẽ đường tròn tâm O
đường kính BN, đường tròn
cắt AC tại E. Kéo dài BE cắt AD tại M.
a, Chứng minh tứ giác MDNE nội tiếp.
b, Chứng minh

vuông cân.

c, Gọi I là giao điểm của
với MN, H là giao điểm của BI với NE. Chứng minh
d, Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng.

B

.

C

O

F
N

H
E
I
A

M

D

Bài 52: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cắt
tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
a, Chứng minh tứ giác ABHO là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh HA là tia phân giác
c, BH cắt

.

tại K. Chứng minh AE // CK.

B

E
H

D
A

O
K

C
29

Bài 53: Cho đường tròn

. Một đường thẳng

không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A

và B. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( C thuộc d và
). Kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với
đường tròn ( M thuộc cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm của AB. Đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a, Chứng minh 5 điểm M, H, O, N, C cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Chứng minh

.

c, Đoạn thẳng CO cắt
tại I. Chứng minh điểm I cách đều các đường thẳng CM, CN, MN.
d, Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt CM và CN tại E và F. Xác định vị trí của
C trên đường thẳng d sao cho diện tích

nhỏ nhất.

A

M
H
B
O

C

I

N
K

Bài 54: Cho
nhọn có
nội tiếp đường tròn
tại H.
a, Chứng minh rằng tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp.

, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

b, Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh
.
c, Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM và AH lần lượt tại I và K.
Chứng minh

.
A
E
F

I

H
O

B

M

D

K
30

C

Bài 55: Cho đường tròn

đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O, ( I khác A và O). Kẻ đường

thẳng vuông góc với AB tại I. đường thẳng này cắt đường tròn
tại M và N. Gọi S là giao điểm của
hai đường thẳng BM và AN. Qua S kẻ đường thẳng song song với MN. Đường thẳng này cắt các đường
thẳng AB và AM lần lượt tại K và H.
a, Chứng minh SKAM là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh rằng:

.

c, Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn
d, Chứng minh rằng ba điểm H, N, B thẳng hàng.

.

Bài 56: Cho đường tròn
với đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của
AB. Từ M kẻ dây DE vuông góc với AB. Từ B kẻ BF vuông góc với CD ( F thuộc CD).
a, Chứng minh BMDF là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi và 3 điểm E, F, B thẳng hàng.
d, Gọi S là giao điểm của BD với MF, Tia CS lần lượt cắt AD, DE tại H và K.
Chứng minh

.

S

D
M

F
K

A

I

O

B

A

M

N

E
H

31

O

B

C

Bài 57: Cho đường tròn

, đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( C khác B). Kẻ dây

DE của đường tròn
vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD
với đường tròn đường kính BC.
a, Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng.
c, Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn
cung nhỏ AD). Chứng minh
Bài 58: Cho đường tròn

tại hai điểm M và N ( M thuộc

.
, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K

. Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn

. Đường thẳng

vuông góc với AB tại O,

cắt đường thẳng MB tại E.
a, Chứng minh tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp.
b, OK cắt AM tại I. Chứng minh

không đổi khi K di chuyển trên Ax.

c, Chứng minh tứ giác KAOE là hình chữ nhật. Giả sử
. Hãy tính diện tích
xung quanh và thể tích hình tạo thành khi cho tứ giác KAOE quay một vòng quanh cạnh OE cố định.
d, Gọi H là trực tâm
đường tròn cố định.

. Chứng minh khi K chuyển động trên Ax thì H luôn thuộc một

D

x

K
A

H

O

C

E

K

M

B

I
A

E

32

O

B

Bài 59: Cho
nhọn có
nội tiếp đường tròn
có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H.
a, Chứng minh $AEHF$ và $ACDF$ là các tứ giác nội tiếp.
b, BE cắt

tại V. Chứng minh

c, VD cắt

tại N ( N khác V). Gọi I là giao điểm của AN và DF. Chứng minh

Bài 60: Cho đường tròn

cân và

.
.

đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P

sao cho
, Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với
tại M.
a, Chứng minh APMO là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh BM // OP.
c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình
bình hành.
d, Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh ba điểm
I, J, K thẳng hàng.

x

A

N

P

V
E
F
H
B

D

M

O
C
A

33

O

B

Bài 61: Cho

nhọn nội tiếp đường tròn



. Vẽ đường kính AD của đường tròn. Kẻ


.
a, Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp.
b, Chứng minh HE // CD.
c, Gọi M là trung điểm của BC, kẻ
ngoại tiếp

. Chứng minh M là tâm đường tròn

.
Bài 62: Cho

đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây

nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ ( E khác A và C). Kẻ
a, Chứng minh AHCK là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh HK // ED và

tại H. Trên cung

tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.

cân.

c, Tìm vị trí của E để diện tích

lớn nhất.

F

A

K
C

E

O

B

E
C

H

A

O

H

D
D

34

B

Bài 63: Cho
nội tiếp đường tròn
a, Chứng minh BFEC nội tiếp.
b, Chứng minh

, Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
.

c, BE và CF lần lượt cắt

tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN.

d, Giả sử B và C cố định, A thay đổi. Tìm vị trí của A sao cho
Bài 64: Cho

đường kính

có diện tích lớn nhất.

, đường thẳng xy là tiếp tuyến với

tại B. CD là một đường

kính bất kì sao cho
. Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M, N.
a, Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp.
b, Chứng minh
.
c, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm của MN. Chứng minh
rằng tứ giác AOIH là HBH. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di chuyển trên đường
nào?

A

M

N

M

E
F
H
C

O
B

H

C
A

B

O

D
N

35

I

Bài 65: Cho đường tròn

có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm M thuộc cung

nhỏ BD sao cho
. Gọi N là giao điểm của CM và OB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn
cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P.
a, Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh

là tam giác đều.

c, Chứng minh

.

d, Gọi H là trực tâm của
Bài 66: Cho đường tròn

. Hỏi ba điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vì sao?
và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M bất kì

thuộc đoạn OA ( M khác O và A). Tia DM cắt đường tròn
a, Chứng minh OMNC nội tiếp.
b, Chứng minh

tại N.

.

c, Tiếp tuyến tại C với đường tròn
tại F. Chứng minh DF // AN.

cắt tia DM tại E, đường tròn ngoại tiếp

cắt BC

C

C

E
N
A

F

B E
O

N

A
M
D

M

O

P

D

F

36

B

BÀI 2: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG.
1, KHÁI NIỆM.
– Cho đường tròn
đường tròn. Khi đó:
Góc

và tiếp tuyến xy với đường tròn tại tiếp điểm A. Từ A vẽ dây AB của

hay góc

gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

+ Góc

chắn cung nhỏ AB. –

+ Góc

chẵn cung lớn AB
x

A
B
y
O

2, SỐ ĐO.
– Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
– Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
x

Góc

.

Góc
Nên

A

.

B

.

y
O

M

37

3, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho đường tròn

. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường

tròn ( B và C là các tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt

tại D

, đường

thẳng AD cắt
tại E
.
a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b, Chứng minh
c, Chứng minh
d, Giả sử

.
.
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD theo R.

B
D
E
A

O

C

Bài 2: Cho đường tròn

và một điểm A nằm ngoài đường tròn

. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới

đường tròn
( M, N là các tiếp điểm).
a, Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp.
b, Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn

. Tia AO nằm giữa AM và AC. Chứng minh

.
c, Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
d, Chứng minh rằng HN là phân giác

.
M

O

H

A
B

C

38
N

39

Bài 3: Cho đường tròn

và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với

đường tròn và A, B là các tiếp điểm. Đường thẳng
thay đổi đi qua M, Không đi qua O và luôn cắt
đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D ( C nằm giữa M và D).
a, Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp.
b, Chứng minh

.

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

luôn đi qua điểm cố định khác O.
A

M

O
C
d

D
B

Bài 4: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn

dựng các tiếp tuyến MB và MC đến

tiếp điểm). Một đường thẳng
đi qua M cắt
tại hai điểm D và A
hai tia MB và MO. Gọi H là giao điểm của MO và BC.
a, Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.
b, Chứng minh

( B, C là các
, Tia MA nằm giữa

.

c, Kẻ đường kính AP. Tính diện tích hình quạt tạo bởi hai bán kính OP, OC biết
d, Chứng minh

.

.
B
A
D
O

M

H

P
C

40

Bài 5: Cho đường tròn
và điểm A nằm ngoài đường tròn, Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. K là trung điêm của HB. Đường thẳng AK
cắt đường tròn tại M và N ( M nằm giữa A và N). Kẻ
a, Tứ giác OHKI là tứ giác nội tiếp.
b,
c,

. Từ đó suy ra

( I thuộc MN). Chứng minh:
.

.
B
N

I
K
O

M
A

H

C

Bài 6: Từ điểm A bên ngoài đường tròn

. Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M, N là các tiếp

điểm). Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn
nằm giữa A và C).

tại hai điểm phân biệt B và C ( O không thuộc d, B

a, Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp và

.

b, Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh HA là tia phân giác của
c, Kẻ BE // AM ( E thuộc MN). Chứng minh rằng HE // CM.

.

M
C
H

B
A

O

N

41

Bài 7: Cho



nội tiếp đường tròn

. Hai tiếp tuyến tại B và C của

cắt nhau

tại M. Tia AM cắt
tại điểm thứ 2 là D. Gọi E là trung điểm của AD. Tia CE cắt đường tròn
điểm thứ hai là F. Chứng minh:
a, Tứ giác OBMC là tứ giác nội tiếp.
b,

và BF // AM.

c,

.

Bài 8: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn
tiếp điểm). Kẻ cắt tuyến AMN với

, Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với

( B, C là hai

( M nằm giữa A và N).

a, Chứng minh

.

b, Gọi H là giao của AO với BC. Chứng minh
c, Đoạn AO cắt

tại

.

tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp

.

A

N
B

F

O

O

M

E

I

C

B

H

A
C

D

M

42

Bài 9: Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn

thay đổi nhưng

luôn đi qua B và C sao cho B, O, C không thẳng hàng. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với
N là các tiếp điểm sao cho N thuộc cung nhỏ BC.
a, Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b, Chứng minh

, M,

.

c, Gọi D là trung điểm của BC, đường thẳng ND cắt
tại điểm thứ hai E.
Chứng minh ME // AC.
d, Gọi G và H theo thứ tự là giao của MN với AC và AO. Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm
cố định và tâm đường tròn ngoại tiếp

luôn nằm trên một đường tròn cố định.
M

E

O

A

B

D

C

N

Bài 10: Cho đường tròn

, Một điểm M nằm ngoài

. Kẻ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm). Kẻ

đường kính AOC và dây
tại H.
a, Chứng minh BC // OM và tứ giác AOBM nội tiếp.
b, Kẻ dây CN của đường tròn
Chứng minh

đi qua H. Tia MN cắt

tại điểm thứ hai D.

.

c, Giả sử
. Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích hình quạt tròn AOB.
d, C...
 
Gửi ý kiến