CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN.
BÀI 1: ĐƯỜNG TRÒN.
1, ĐƯỜNG TRÒN.
– Đường tròn tâm O bán kính R,
KH:

là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.

.
A

– Điểm M nằm trên đường tròn thì

.

– Điểm A nằm bên trong đường tròn

.

– Điểm B nằm bên ngoài đường tròn

.

R

M

O

B

2, CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
– Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ 1 đường tròn ( Giao của ba
đường trung trực).
– Đường tròn là hình có tâm đối xứng ( Tâm đối xứng là tâm của đường tròn)
– Đường tròn là hình có trục đối xứng ( Trục đối xứng là đường kính bất kì).
Chú ý:
– Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền.
A

B

.

O

C

1

3, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho HCN ABCD có
đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một
A

B

12cm

5cm

D

Bài 2: Cho HCN ABCD có
đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

C

. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một
B

C

15cm

8cm

A

D

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AD // BC. Biết
điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn này.

. Chứng minh 4

B

C

6cm

A

.

8cm

4,8cm

D

2

Bài 4: Cho
ngoại tiếp

vuông tại A có

, đường cao

. Tính bán kính đường tròn

.
A

7,5cm

B

Bài 5: Cho đường tròn
cắt

biết

4,5cm

C

H

. Đường thẳng vuông góc với OA tại trung điểm của OA

tại A và B.
a, Chứng minh
b, Tính BC.

đều.

B

A

O

C

Bài 6: Cho

cân tại A có

và độ dài đường cao

a, Tính AB và đường kính AA' của đường tròn
b, Gọi B' là điểm đối xứng của B qua O. Vẽ
Tứ giác AHCM là hình gì.

. Vẽ

ngoại tiếp

.

.
tại H.
A

H

B'
O

B

M

.

C

3
A'

Bài 7: Cho

đều có

. Tính bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
A

6cm

B

Bài 8: Cho
nhọn. Vẽ đường tròn
Gọi H là giao điểm của BE và CD.
a, Chứng minh
b, Chứng minh

C

đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
.

.

A

E
D
H

B

.

C

4

Bài 9: Cho
vuông tại A, Biết
tại H.
a, Tính AH, CH.
b, Kẻ

. Vẽ đường tròn

đường kính AB cắt BC

tại K và tia OK cắt AC tại D. Chứng minh

A

D

O

K

B

Bài 10: Cho

C

H

vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn

có đường kính HB cắt cạnh AB tại

D. Vẽ đường tròn
đường kính HC cắt AC tại E.
a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b, Chứng minh
c, Cho

.
. Tính DE và diện tích tứ giác DEKI.

A
E
D
B

.

I

H

K

C

5

Bài 11: Cho nửa đường tròn

đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho

. Tia phân giác
cắt đường trung trực BC tại D. Hạ DH và DK lần lượt vuông góc với
AB và AC.
a, Chứng minh AHDK là hình vuông.
b, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn.
c, Hạ

. Tìm giá trị lớn nhất của

.
A

H

B

O

M

C
K

D

.

6

BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
1, ĐỊNH LÍ.
– Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
N

M

O

A

B

– Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
– Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây ( Dây không đi qua tâm) thì
vuông góc với dây ấy.
M

M

A

A

B

O

B

O

N

N

2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho

đường kính AD, dây AB không đi qua tâm, Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H.

Biết

.
a, Tính AH.
b, Tính bán kính

B

.
10cm

A

H

O

D

12cm

C

.

7

Bài 2: Cho
dây AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho
O nằm giữa C và D).
a, Chứng minh
b, Cho biết

. Tia CO cắt

tại D (

C

.
. Tính OC, CD, AD theo R.
B

A

O

D

Bài 3: Cho nửa

, đường kính AB, dây CD, các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt

cắt AB tại M và N ( M nằm giữa A và O, N nằm giữa B và O). Chứng minh

.
D

C

A

M

O

N

B

Bài 4: Cho nửa đường tròn
đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm H, K sao cho
(H
nằm giữa A và O, K nằm giữa B và O). Các đường thẳng qua H và K song song với nhau cắt nửa đường
tròn lần lượt tại P và Q. Chứng minh

và

.
P
Q

A

.

H

O

K

B

8

Bài 5: Cho
, đường cao BH và CK.
a, Chứng minh B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh

.
A

H
K
H

B

C

Bài 6: Tứ giác ABCD có
.
a, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b, So sánh AC và BD. Nếu

thì tứ giác ABCD là hình gì?
B

A

C

O

D

Bài 7: Cho nửa đường tròn

, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt

là chân đường vuông góc kẻ từ A và B xuống EF. Chứng minh
HD:
Kẻ

.

.

F

K

E

I

.

9
A

O

B

.

10

Bài 8: Cho
đường kính
a, Tứ giác OBDC là hình gì?
b, Tính các góc

vẽ cung tròn tâm D bán kính R cắt

tại B và C.

.

c, Chứng minh

đều.
C

A

Bài 9: Cho

D

B

O

đường kính AB, dây CD cắt AB tại I. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ

A và B đến CD. Chứng minh

.
C
K

I

A

B

O

H
D

Bài 10: Cho đường tròn

, hai dây AB và CD song song với nhau ( O nằm trong phần mặt phẳng của

hai dây). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H với CD tại K. Biết
a, Chứng minh
b, Tính BD theo R.

.

.
B

H

C
O

A

K

.

D

11

Bài 11: Cho
và
có chung cạnh huyền AB ( C và D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
AB)
a, Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b, Chứng minh

.

c, Giả sử AB cắt CD tại M. Chứng minh

.
D
C

A

M

Bài 12: Cho nửa đường tròn

B

O

đường kính AB, Trên AB lấy hai điểm C và D sao cho

C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn

tại E và F. Chứng minh

. Từ

và

.

E
F

A

Bài 13: Cho

C

O

D

, dây FE kéo dài cắt AB tại C ( E nằm giữa F và C). hạ

B

. Cho

. Tính CE và CA
F
D

21cm
E

8cm

C

.

A

10cm

B

12

.

13

Bài 14: Cho

nhọn nội tiếp trong đường tròn

Chứng minh

, H là trực tâm

. Vẽ

.

.

A

O
H

B

Bài 15: Cho

hai dây AC và BD bằng nhau, cắt nhau tại E.

a, Chứng minh
b, Chứng minh

.

C

, AD // BC.
c, Chứng minh

B

.

A

.

C

K

D

E

O

14

BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
1, LÍ THUYẾT.
– Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

A

M

O

– Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hớn thì gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì lớn hớn.

B

N

Chú ý:
– Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
– Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:
Khi đó

và

.

– Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:
Khi đó

, đường thẳng gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm giao gọi là tiếp điểm.
d

d

H

R

O

.

R

H

O

15

– Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:
Khi đó

.
d

H

O

Định lí:
– Nếu đường thẳng
là tiếp tuyến của đường tròn
thì
vuông góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
– Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại đi qua điểm
đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho
hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn.
a, Chứng minh IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi dây AB và CD.
b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau tương ứng.
B
C

A

.

D

I

O

16

Bài 2: Cho
, các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho
Gọi C là giao điểm của AM và BN.
a, Chứng minh OC là tia phân giác
b, Chứng minh

.

.

.
C

N

B

M

A
O

Bài 3: Cho
đường kính AB, dây CD cắt AB tại M. Biết
khoảng cách từ O đến CD.

. Tính

D
12cm

A
C

.

M
4cm

O

B

17

Bài 4: Cho
có hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại 1 điểm S ở bên ngoài đường tròn ( A
nằm giữa S và B, C nằm giữa S và D).
a, Chứng minh SO là tia phân giác
b, Chứng minh

S

.

.
C

A

D
B

O

Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là $12cm$. Vẽ đường tròn

.

a, Chứng minh
có hai giao điểm với xy.
b, Gọi hai giao điểm là B và C. Tính BC.

A

x

.

B

C

y

18

Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD có
a, Tính AD.
b, Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

.

A 4cm B

13cm

9cm

D

C

Bài 7: Cho
, Dây CD là trung trực của OA.
a, Tứ giác OCAD là hình gì?
b, Kẻ tiếp tuyến tại C cắt OA tại I, biết

. Tính CI.
C

O

A

I

D

.

19

Bài 8: Cho nửa đường tròn
đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ C đến AB.
a, Chứng minh
b, AC là tia phân giác
c, Chứng minh

.
.
d

.

F
C
E

A

Bài 9: Cho

vuông tại A, vẽ đường tròn

( khác A). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn

B

O

H

và đường tròn

chúng cắt nhau tại D

.

A

B

O

C

D

.

20

Bài 10: Cho
AH.

cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn

a, Chứng minh E là điểm nằm trên đường tròn
b, DE là tiếp tuyến của

đường kính

A

.

.
O
E
H

B

C

D

Bài 11: Cho hình thang vuông ABCD có
. Gọi M là trung điểm của AD, biết
a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
b, BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD.
A

.

B

M

D

C

Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên dường chéo BD lấy điểm I, sao cho

. Qua I kẻ đường

thẳng vuông góc với BD cắt AD tại E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của

.
B

A

E

I

.

21
D

C

.

22

Bài 13: Cho
đều, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại M.
a, Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A, D, H, E.
A

E

D
H

B

C

M

Bài 14: Cho nửa đường tròn
đường kính AB và C nằm trên nửa đường tròn sao cho
AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B với nửa đường tròn tại D.
a, Chứng minh
b, Cho bán kính đường tròn

. Tia

.
là 4cm. Tính BD.
D
C

A

.

O

4cm

B

23

Bài 15: Cho đường tròn

đường kính AB và dây CD // AB ( C thuộc cung AD). Qua A kẻ đường

thẳng song song với CB cắt
tại E, ED cắt AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt
DC tại G.
a, Chứng minh ACBE là hình chữ nhật.
b, Chứng minh AG // ED.
c, GA có là tiếp tuyến của

tại A hay không?
G

D

C

A

O

B

F

E

Bài 16: Cho
cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I.
a, Chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K.
b, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
A

K
I

B

.

H

C

24

Bài 17: Cho
cắt

nội tiếp đường tròn

tại M. Từ A vẽ tiếp tuyến với
a, Chứng minh OM // AB.
b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của

, đường kính BC. Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH
cắt tia OM tại N.
N

.
A

M
H

B

Bài 18: Cho
tròn

vuông tại A, đường cao AH, đường tròn

C

O

đường kính BH cắt AB tại E, đường

đường kính HC cắt AC tại F.
a, Chứng minh AH là tiếp tuyến của hai đường tròn
b, EF là tiếp tuyến của

tại E, tiếp tuyến của

.
tại F.

A
F
E

B

.

I

H

J

C

25

Bài 19: Cho nửa đường tròn
, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến
xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a, Chứng minh

.

b, Chứng minh
có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
c, Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AD, BC và AB.
d, Xác định vị trí của M trên nửa

sao cho ABCD có diện tích lớn nhất.

D

x

M
C
y
O

A

Bài 20: Cho điểm E thuộc nửa đường tròn

B

, đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến tại N của đường tròn

, tiếp tuyến này cắt ME tại D.
a, Chứng minh
b, Từ O kẻ

vuông tại E và

.

. Chứng minh O, I, D, N cùng thuộc một đường tròn.

c, Vẽ đường tròn đường kính OD cắt nửa đường tròn
Chứng minh DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn
D, Chứng minh

tại điểm thứ hai là A.
.

D

.

E

A
I

M

.

O

N

26

Bài 21: Cho nửa đường tròn

đường kính AB. C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho

, C khác A và B. Kẻ
và
.
a, Chứng minh C, H, O, I cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Kẻ tiếp tuyến Ax của

, Tia OI cắt Ax tại M. Chứng minh

. Tính OI biết

.
c, Gọi giao điểm BM với CH là K. Chứng minh
d, Tìm vị trí của C để chu vi

và

.

đạt giá trị lớn nhất. tìm giá trị đó theo R.

M

C
K

I

O

A

H

B

Bài 22: Cho nửa đường tròn , đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn. Từ C kẻ
Gọi M là hình chiếu của H trên AC, N là hình chiếu của H trên BC.
a, Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật.
b, Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.

.

c, Chứng minh
.
d, Xác định C để MN có độ dài lớn nhất.

C
M
N

A

.

O

H

B

27

Bài 23: Cho nửa đường tròn
B), Kẻ
tròn

đường kính

. Trên nửa đường tròn lấy điểm C ( C khác A và

tại K. Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường
và I là trung điểm của AD.
a, Chứng minh OK // AC và

.

b, Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn
c, Từ C kẻ

.

, BI cắt CH tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của CH.

D
C
I

K
N

A
Bài 24: Cho
đường tròn

O

H

, đường kính AB. Lấy C thuộc đường

B

( C khác A và B). Tiếp tuyến tại A của

cắt đường thẳng BC tại M.

a, Chứng minh

là tam giác vuông và

.

b, Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của
c, Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn

.

tại D. Chứng minh

.
D

M
C
K

A

.

O

B

28

Bài 25: Cho đường tròn

đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn ( C khác A và B). Kẻ

. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của
a, Chứng minh

và

tại M, MB cắt CH tại K.

vuông tại C.

b, Chứng minh MC là tiếp tuyến
.
c, Chứng minh K là trung điểm của CH.
C
M
K
I

A

Bài 26: Cho đường tròn

B

O

H

và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

( B là tiếp điểm). Kẻ dây

tại H.

a, Chứng minh OH là tia phân giác
b, Kẻ đường kính BD của

và AC là tiếp tuyến của

, kẻ

.

. Chứng minh

.
B

A

H

O
K

C

.

D

29

Bài 27: Cho đường tròn

đường kính

vuông góc với OB. Tiếp tuyến của
a, Chứng minh

. Gọi I là trung điểm của OB. Qua I kẻ dây CD

tại C cắt AB tại E.
.

b, Chứng minh ED là tiếp tuyến của
.
c, Gọi F là trung điểm của dây AC. Chứng minh ba điểm D, O, F thẳng hàng.
C

F

A

O

E

B

I

D

Bài 28: Cho đường tròn
dây AB. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của
đường tròn tại C.
a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b, Vẽ đường kính BOD. Chứng minh AD // OC.
c, Cho biết bán kính của đường tròn là 15cm,

. Tính OC.

A

C

D

O

B

.

30

Bài 29: Cho

nội tiếp đường tròn

đường kính BC. H là trung điểm của AC. Tia OH cắt

tại M. Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn
a, Chứng minh OM // AB.
b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của

cắt tia OM tại N.
N

.
A
M

H

B

Bài 30: Cho nửa đường tròn

, đường kính AB, Lấy C nằm trên nửa đường tròn

điểm của dây cung BC, Qua B dựng tiếp tuyến với
a, Chứng minh

.

b, Chứng minh

vuông.

c, Chứng minh DC là tiếp tuyến

C

O

. Gọi K là trung

cắt OK tại D.

.

d, Vẽ
tại H, Gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn
tại E. Chứng minh E, C, D thẳng hàng.

cắt BI
D

C
E
K

I

A
.

H

O

B
31

Bài 31: Cho đường tròn

, đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến

đường tròn. Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng
vuông góc với MP và cắt đường thẳng
a, Chứng minh
b, Hạ

và
. Chứng minh

c, Chứng minh

và

ở M và cắt đường thẳng

với

ở P. Từ O vẽ tia

ở N.
cân.
và MN là tiếp tuyến của đường tròn

.
y

.
x
M

A

I

N

O

B

P

Bài 32: Cho đường tròn
A của

, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc

( C khác A và B). Tiếp tuyến tại

cắt BC tại M.
a, Chứng minh

vuông và

.

b, Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn
c, KC cắt tiếp tuyến tại B của

tại D. Chứng minh

d, Xác định tâm của đường tròn nội tiếp

.

vuông.

.

D
M
C
K

A

.

O

B

32

Bài 33: Cho đường tròn

đường kính AB. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của

( M khác A), Từ M vẽ tiếp tuyến MC của
Đường thẳng MB cắt

. Trên Ax lấy điểm M

( C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AC.

tại D ( D nằm giữa M và B)

a, Chứng minh

tại H.

b, Chứng minh

và

.

c, Gọi K là trung điểm của BD. Tiếp tuyến tại B của
Chứng minh A, E, C thẳng hàng.

E

cắt OK tại E.
M

C

D

H

K

A

Bài 34: Cho B, C là hai điểm trên đường tròn
đường phân giác

B

O

. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt

tại A. H là giao điểm của AO và BC.

a, Chứng minh

vuông và

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của
c, CD là đường kính của
tại F. Chứng minh

.
.

. Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt CB
.
F

D

B
E

A

H

.

O

33
C

Bài 35: Cho điểm C thuộc đường tròn
BC. Tiếp tuyến tại B của

đường kính AB sao cho

. Gọi H là trung điểm của

cắt OH tại D.

a, Chứng minh

.

b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn
c, Đường thẳng AD cắt
thuộc một đường tròn.

.

tại E. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh D, B, M, C cùng

d, Gọi I là trung điểm của DH, BI cắt

tại F. Chứng minh A, H, F thẳng hàng.
D

C

E

I
F

H

M
A

Bài 36: Cho đường tròn

đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn

và B). Gọi I là trung điểm của AC. Gọi D là giao của tia OI và tiếp tuyến
a, Chứng minh

Chứng minh

( C không trùng với A
tại A.

vuông.

b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của
c, Tia phân giác

B

O

cắt BC tại E và cắt
.

và

.
tại F ( F không trùng với A).
D
C

E

I

A

.

O

F

B

34

Bài 37: Cho
vuông tại A, đường cao AH. Biết
a, Tính AH và AC.
b, Vẽ đường tròn
c, Tia AH cắt
Dx đi qua C.
d, BC cắt

và

.

. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.
tại D ( D khác A). Vẽ tiếp tuyến Dx của

tại E. Chứng minh AE là tia phân giác

với D là tiếp điểm. Chứng minh
và

.
A

x

B

H

C

E

D

Bài 38: Cho đường tròn

. Điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường

tròn ( A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn

tại C và D ( C nằm giữa M và

D). Gọi I là trung điểm của dây CD. Kẻ
tại H.
a, Tính $OH.OM$ theo R.
b, Chứng minh A, M, I, O cùng thuộc một đường tròn.
c, Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn

.

K

A

D
I

C

M

.

H

O

35

Bài 39: Cho đường tròn

, đường kính

đổi ( MN khác với AB) . Qua A vẽ đường thẳng
lần lượt tại C và D.
a, Tứ giác AMBN là hình gì?

cố định và một đường kính MN của
là tiếp tuyến của đường tròn,

thay

cắt BM và BN

b, Chứng minh
.
c, Tìm vị trí của đường kính MN để CD có độ dài nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất theo R.
C

M

A

B

O

N

D

.

36

BÀI 5: TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU.
1, ĐỊNH LÍ.
– Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác tạo bởi hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp
điểm.
B

A

O

C

– Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.
– Đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh và hai cạnh kéo dài của một tam giác gọi là đường trong bàng
tiếp.
A

C
B

O

.

37

2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho
, điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M, N là
các tiếp điểm).
a, Chứng minh
.
b, Vẽ đường kính NOC, Chứng minh MC // AO.
c, Cho

. Tính các cạnh

.
M

C

3cm

O

5cm

A

N

Bài 2: Cho nửa đường tròn
đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By, nửa
đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ
tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By tại N.
a, Tính

.

b, Chứng minh
c, Chứng minh

.
.
x
y

M

N

A

.

O

B

38

Bài 3: Cho nửa đường tròn

đường kính AB. Gọi C và D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao

cho góc
( C nằm giữa A và B). Tiếp tuyến tại C và D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F và
G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.
a, Tính chu vi tam giác

theo R.

b, Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Tính
.
c, Chứng minh $FC.DG$ không đổi.
d, Tìm vị trí của C, D sao cho tích $AD.BC$ lớn nhất.

E

C
D

Bài 4: Cho đường tròn

O

A

F

B

G

đường kính AD, Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn, từ C trên tiếp tuyến đó

vẽ tiếp tuyến thứ hai CM của
a, Cho

( M là tiếp điểm và M khác A) cắt AD tại B.
. Tính BC, BM.

b, Chứng minh

suy ra bán kính

.

C

M

A

D

O

B

Bài 5: Cho đường tròn
lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a, Tính AB theo R.
b, Tính số đo
c, Chứng minh

B

.
cân tại K.
A

O

.

39
K
C

.

40

Bài 6: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. vẽ đường tròn
có
đường kính là BC. Từ A kẻ tia tiếp tuyến AM với đường tròn ( M là tiếp điểm). Tiếp tuyến tại B của
đường tròn cắt AM tại D. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt đường thẳng AM ở E.
a, Chứng minh
.
b, Chứng minh EC là tiếp tuyến của đường tròn.
c, Chứng minh
E

M
D

A

B

C

O

Bài 7: Cho nửa đường tròn
đường kính MN, tiếp tuyến Nx. Qua A trên nửa đường tròn ( A không
trùng với M, N) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Nx ở B. Tia MA cắt Nx ở C.
a, Chứng minh bốn điểm O, A, B, N cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh B là trung điểm của NC.

x
C

A
B

M

.

O

N

41

Bài 8: Cho đường tròn

, điểm A nằm ngoài đường tròn, Qua A vẽ các tiếp tuyến AB và AC với

( B, C là các tiếp điểm). vẽ đường kính BOD của
.
a, Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh rằng DC // OA.
c, Đường trung trực của BD cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh OCEA là hình thang cân.
B

O

A

E

Bài 9: Cho đường tròn
AC với

D

C

và một điểm A nằm ngoài đường tròn đó, qua A vẽ các tiếp tuyến AB,

( B và C là các tiếp điểm). Vẽ đường kinh BOD của
.
a, Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh DC // OA.
c, Đường trung trực của BD cắt CD tại E. Chứng minh tứ giác OCEA là hình thang cân.
E

A

C

D

B

.

O

42

Bài 10: Cho
và điểm A sao cho
. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
( B, C là các
tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a, Tính độ dài OH.
b, Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB và AC lần lượt
tại D và E. Tính chu vi

.
B
D
M
A

O

H
E
C

Bài 11: Cho
các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A ( B, C
là các tiếp điểm)
a, Tứ giác ABOC là hình gì?
b, Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với
lượt tại D và E. Tính chu vi
c, Tính

cắt AB và AC lần

.

.
B
D
M
A

O
E

2cm
C

.

43

Bài 12: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn
điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA.
a, Chứng minh

, kẻ tiếp tuyến AB, AC với

, ( B và C là tiếp

.

b, Cho

. Tính OH và BC.

c, Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Khi
định. Xác định A để

cố

có diện tích nhỏ nhất.
A

C
F
H
B

O

E

Bài 13: Cho đường tròn

và A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng

xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng
H.
a, Chứng minh BM là tiếp tuyến của
b, Kẻ đường kính AD của

tiếp

lấy điểm M ( M khác A), kẻ dây cung

tại

và 4 điểm A, O, M, B cùng thuộc 1 đường tròn.

, đoạn thẳng DM cắt

tại điểm thứ hai là E. Chứng minh

. Từ đó suy ra
.
c, Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA và MB lần lượt tại P và Q. Tìm M để diện
tích

có giá trị nhỏ nhất.

M

A
E
P

H

B
O

Q
44

.
D

.

45

Bài 14: Cho điểm A năm ngoài đường tròn
là các tiếp điểm)

, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

a, Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và
b, Trên cung nhỏ BC của

( B, C

.

lấy M bất kì ( M khác B, C và đoạn AO). Tiếp tuyến tại M cắt

AB , AC lần lượt tại D và E. Chứng minh chu vi
bằng $2.AB$.
c, Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh
.

P
B
D

M

A

O

H

E
C
Q

Bài 15: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn
. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn
( A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.
a, Chứng minh M, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Chứng minh
c, Nếu

tại H.
. Tính MA theo R và tính số đo

d, Kẻ đường kính AD của đường tròn
rằng

, MD cắt

.
tại điểm thứ hai là C. Chứng minh

.

M

C
B
H

A
O
D

.

46

Bài 16: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn

sao cho

. Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến

MA, MB với
( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn
của AB và OM.
a, Chứng minh 4 điểm A, O, B, M cùng thuộc một đường tròn.
b, Tính tỉ số

. Gọi H là giao điểm

.

c, Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn

. Chứng minh

.
A

O

H

M

E

C

B

Bài 17: Cho đường tròn
với đường tròn
của

và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB

( A và B là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC

.
a, Chứng minh A, B, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh
.
c, Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh FC
là tiếp tuyến của đường tròn

.

M

B

I

A
F

.

O

E

C

47

.

48

Bài 18: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn
a, Chứng minh

.

tại H và bốn điểm A, B, C, O cùng nằm trên 1 đường tròn.

b, Vẽ đường kinh BD của
c, Tia AO cắt

vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến

, vẽ

tại K. Chứng minh

.

tại M và N ( M nằm giữa A và N). Chứng minh

.

A

M

C

K
B

O

K

D

N

Bài 19: Cho đường tròn

và điểm A nằm ngoài đường tròn

. Vẽ đường thẳng d vuông góc

với OA tại A. Trên d lấy điểm M khác A. Qua M vẽ hai tiếp ME và MF tới
điểm). EF cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh H là trung điểm của EF.
b, Chứng minh O, M, A, F cùng thuộc một đường tròn.
c, Chứng minh

( E và F là các tiếp

.

d, Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để

có diện tích lớn nhất.
d
M

A
F

H
K
E

.

O

49

Bài 20: Cho đường tròn

, đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OA, Qua H kẻ đường thẳng

vuông góc với AB cắt
tại C và D.
a, Tứ giác ACOD là hình gì?
b, Qua D kẻ tiếp tuyến với

cắt OA tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của

và

đều.
C

M

A

O

H

B

D

Bài 21: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn
điểm).

, Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến

a, Chứng minh A, B, C, O cùng thuộc 1 đường tròn và

( B, C là các tiếp

tại H.

b, Kẻ đường kính BD của
. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB, cắt OA tại E. Chứng
minh CD // OA và tứ giác OBEC là hình thoi.
B

A

H

E

C

.

O

D

50