CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA.
BÀI 1. CĂN BẬC HAI.
I, LÍ THUYẾT.
1,
– Với số dương a, số
gọi là căn bậc hai số học của a.
– Số 0 gọi là căn bậc hai số học của 0.
Chú ý:

Với

. Ta có:

.

2,
– Với hai số không âm a và b:

.

II, BÀI TẬP.
Bài 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau: 64; 81; 1,21; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 49.
Bài 2: So sánh:
a, 2 với

.

b, 6 với

.

c, 4 với

a, 8 với

.

b, 7 với

.

c, 8 với

a, 6 với

.

b, 7 với

.

c, 18 với

.

a, 5 với

.

b,

c,

với

.

c,

với

.

a,

với

.

với

b,

.
với

.

Bài 3: So sánh:
a,

với

.

b,

HD:
a,

.
.

b,

.

1

với

.

.
.

.

2

Bài 4: So sánh:
a,

với

.

HD:
a,

.

Bài 5: So sánh:
a,

với

.

HD:
.
.
Bài 6: Tìm x không âm biết:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.
.
.

b,

.

c,

.

c,
.

3

c,

c,

.
.

BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

.

I, LÝ THUYẾT.
1,
– Với A là một biểu thức đại số thì
là căn thức bậc hai của A.
– Khi đó: A gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
–

xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm hay

.

2,

– Với mọi số a ta luôn có:

.

II, BÀI TẬP.
Bài 1: Tìm điều kiện xác định:
a,

.

b,

.

c,

.
.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

a,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

Bài 2: Tìm điều kiện xác định:
a,

.

b,

.

c,

.
a,

.

b,

.

4

c,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

.
.

c,

.

Bài 3: Tìm điều kiện xác định:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

b,

.

a,

.

Bài 4: Tìm điều kiện xác định:
a,

.

a,

b,

.

a,

b,

.

Bài 5: Rút gọn
a,

.

b,

.
5

c,

với

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

với

.

a,

.

b,

.

c,

với

.

a,

.

a,

.

a,

.

.

b,

.

c,

với

.

b,

.

c,

với

.

c,

với

.

b,

.

Bài 6: Rút gọn:

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.
.

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

b,

.

a,

.

c,

.

Bài 7: Rút gọn:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

6

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,
.

.

c,

.

Bài 8: Rút gọn:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

.

7

Bài 9: Rút gọn:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

b,

.

Bài 10: Rút gọn:

a,

.

Bài 1: Rút gọn:
a,
a,

.

b,
.

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

8

9

Bài 11: Rút gọn:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

.
.

Bài 12: Rút gọn:

a,

.

b,

.

b,

.

Bài 13: Rút gọn:
a,
a,

.

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.
.
.

Bài 14: Rút gọn:
a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

b,

.

a,
a,

.
.

b,

10

.

.

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

Dạng 1:
Dạng 2:

.

Đặt

.

Bài 1: Giải phương trình:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

a,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.
.

.

c,

.

c,

.

Bài 2: Giải phương trình:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

Bài 3: Giải phương trình:
a,

.

b,

a,

.

b,
11

.
.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

.

Dạng 2:

.

Dạng 3:

.

Bài 1: Giải phương trình:
a,
a,

.

b,
.

a,
a,
a,

.

b,
.
.
.

.

b,

.

b,

.

b,

.

Bài 2: Giải phương trình:
a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

b,

.

a,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

.

12

.
.
.

Bài 3: Giải phương trình:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

13

.

14

BÀI 3: PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VỚI PHÉP KHAI PHƯƠNG.
ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI VÀ VÀO TRONG DẤU CĂN.
I, LÍ THUYẾT.
–

với

–

.

với

.

–

với

–

với

–

với

–

.
.
.

với

.

II, BÀI TẬP.
Bài 1: Tính:
a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.
.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

c,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

15

.

.

.

a,

.

b,

.

c,

.

Bài 2: Tính:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.
.
.
.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

a,

.

.

Bài 3: Tính:
a,

.

b,

a,

.

b,

.
.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,
16

.

a,

.

a,

b,
.

.

b,

.

Bài 4: Tính:
a,
a,

.

b,
.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.

.
.

b,

.

Bài 5: Tính:
a,
a,

.

b,
.

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

17

a,

.

a,

.

Bài 6: Tính:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

18

.

Bài 7: Tính:
a,
a,

.

b,
.

.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

b,

.

a,

.

.
.

b,

.

Bài 8: Tính:
a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

với

.

a,

.

b,

a,

.

b,

với

a,

.

b,

với

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

19

.
.

.
với

.

Bài 9: Tính:
a,

.

b,

a,

.

a,

với

b,
.

với

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

với

.
với

a,

a,

a,
a,

a,

.
.

.

.

với

b,

với

.

b,

với

.

b,

với

.

b,
.

b,

.

20

.
với

Bài 10: Tính:
a,

.

với

.
với

.

b,

với

.

b,

với

.

.
.

Bài 11: Tính:
a,

.

a,

.

a,

.

b,

.

b,

.

b,

.

Bài 12: Tính:
a,
a,

.

b,
.

với

.

b,

với

.
.

a,

.

b,

với

a,

.

b,

với

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.
với

.

với

.

Bài 13: Tính:
a,
a,
a,
a,
a,

.
.
.

với

.

b,

với

.

b,
b,
b,

21

.

b,

b,
.

với

với

.

với

.
với
với

.
.

Bài 14: Tính:
a,

.

b,

a,

.

a,

.

b,
.

a,

.

b,
.

.

b,

.

Bài 15: Giải phương trình:
a,
a,
a,

.

b,
.

.

b,
.

.

b,

.

Bài 16: Giải phương trình:
a,
a,

.

b,
.

b,

.
.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

22

.
.
.

Bài 17: Giải phương trình:
a,

.

a,

.

a,

.

a,

b,

.

b,

.

b,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

a,

b,
.

b,

.
.

Bài 18: Giải phương trình:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

23

.
.
.
.

Bài 19: Giải phương trình:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

a,

b,

.
BÀI 4. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.

I, LÍ THUYẾT.
– Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
– Trục căn thức ở mẫu:
với

với

.

.

với

.

với

.

II, BÀI TẬP.
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

a,

.

24

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

c,

.

a,

.

.

c,

b,

.

25

.

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a,

.

b,

a,
a,

.

.

.

b,

b,

.

b,

.

.

a,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a,

.

b,

.

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

a,

.
26

a,
a,

.

b,
.

b,

.
.

Bài 4: Rút gọn biểu thức:

a,

.

b,

a,

.

.

b,

a,

.

a,

.

a,

.

.

b,

.

b,

.

b,

.

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a,
a,

.
.

b,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.
.

,
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a,

.

b,
27

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

.

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

b,

.

b,

.

b,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

. b,

.

a,

.

b,

.

Bài 8: Rút gọn biểu thức:
a,

.

b,

28

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.
.
.

b,

.

Bài 9: Rút gọn biểu thức:

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

.

b,

.

Bài 10: Rút gọn biểu thức:

a,

a,

a,

với

.

với

với

b,

.

với

b,

.

b,
29

với

với

.

.

.

a,

với

.

Bài 11: Rút gọn biểu thức:
a,

với

.

a,

với

.

a,

a,

a,
a,

với

.

với

.

với
với

30

.
.

Bài 12: Rút gọn biểu thức:
a,

với

a,
a,

a,

a,

.

với

.

với

.

. Với

.

với

.

a,

với

.

a,

với

Bài 13*: Rút gọn biểu thức:
HD:

Bài 14: Rút gọn biểu thức:

a,

a,

a,

.

.

.

a,

.
31

.

a,

.

32

BÀI 5: CĂN BẬC 3.
I, LÍ THUYẾT.
– Căn bậc ba của một số a là x sao cho
– Nếu

. KH là:

.

.

– Nếu

.

– Với

thì:

.

–
–
II, BÀI TẬP.

.

Bài 1: Tính:
a,

.

b,

.

c,

.

c,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

.

c,
.

.

c,

.

Bài 2: Tính:

33

.

.

a,

.

b,

.

c,

.

Bài 3: Tính:
a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

b,

.

b,

.

b,

.

b,

.

Bài 4: So sánh:
a, 5 và

.

b,

và

.

a, 7 và

.

b,

và

.

b,

và

.

a, 33 và

.

Bài 5: Giải phương trình:
a,
a,

.
.

a,

.

a,

.

b,

.

c,

b,

.

c,

b,

.

34

c,

.
.
.

35

BÀI 6. BÀI TOÁN TỔNG HỢP.
DẠNG 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC, SO SÁNH BIỂU THỨC VỚI 1 SỐ.

Bài 1: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính A khi

.

Bài 2: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính giá trị của A khi

.

Bài 3: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính giá trị của A khi

.

Bài 4: Cho biểu thức:

a, Rút gọn A.
b, Tính A khi

.

Bài 5: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính giá trị của A khi

với

.

.

Bài 6: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

36

b, Tính giá trị của A khi

.

37

Bài 7: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính A khi

và

.

Bài 8: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính A khi

và

Bài 9: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

với

b, Tính

khi

.

Bài 10: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

.

.

Bài 11: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

Bài 12: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm a để

với

.

38

.

Bài 13: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Tìm x để

.

Bài 14: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Tìm x để

.

.

Bài 15: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm x để

.

Bài 16: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

với

.

.

Bài 17: Cho biểu thức:

với

.
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

Bài 18: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

với
.

39

.

Bài 19: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

40

Bài 20: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm x để

.

Bài 21: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Tìm a để

.

Bài 22: Cho
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi

.

c, Tìm x để

.

Bài 23: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.
.

c, Tính A khi

.

Bài 24: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi
c, Tìm x để

.

.
.

41

Bài 25: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi

.

c, Giải phương trình

.

Bài 26: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi

.

c, Tìm x để

.

Bài 27: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Tính A khi

.

c, Tìm x để

.

.

Bài 28: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính A khi

.

c, Tìm x để

.

Bài 29: Cho
a, Rút gọn A.
b, Tìm a để

với
.

42

.

Bài 30: Cho
a, Rút gọn A.
b, So sánh A với 1.

với

Bài 31: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, So sánh A với 6.

.

.

Bài 32: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.
.

Bài 33: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.
.

Bài 34: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, So sánh A với 3.

với

.

Bài 35: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Chứng minh

.
.

Bài 36: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Chứng minh

với

.

43

.

Bài 37: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

với
.

44

.

Bài 38: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

với

.

.

Bài 39: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Chứng minh

.

Bài 40: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

với

b, Tìm x sao cho

với

b, Tìm x sao cho

.

.

Bài 42: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

.

Bài 43: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

.

Bài 41: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

b, Tìm x để

.

với

.

Bài 44: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
45

.

b, Tìm x để

.

46

Bài 45: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.

Bài 46: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm a để

.

Bài 47: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Chứng minh

.

Bài 48: Cho biểu thức:
với

.

a, Rút gọn A.
b, So sánh A với 1.

Bài 49: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm giá trị của A để

.

Bài 50: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.
.

Bài 51: Cho biểu thức
a, Rút gọn A.

.

47

b, Tìm a để

.

48

Bài 52: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm x để

.

Bài 53: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để

.
.

Bài 54: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm x để

.

Bài 55: Cho
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm giá trị của a để
c, Tính A khi

.
.

Bài 56: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi
c, Tìm x để

.
.

Bài 57: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.

.

b, Tính A khi
c, Tìm x để

.
.
49

50