Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

TIẾT 4,5. BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Mô tả được các phép biến đổi lượng giác cơ bản: Công thức cộng; công thức
nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng
thành tích.

-

Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc
lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Rèn luyện được năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán
vận dụng công thức lượng giác và các phép biến đổi lượng giác (Công thức
cộng; Công thức nhân đôi; Công thức biến đổi tích thành tổng và Công thức
biến đổi tổng thành tích).

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ
giữa các đối tượng đã cho và nội dung bài học, từ đó có thể áp dụng kiến
thức đã học để giải quyết các bài toán.

-

Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán
thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi
lượng giác.

-

Giao tiếp toán học: Sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác, điều này giúp
đảm bảo rằng thông điệp được truyền tải một cách chính xác và dễ hiểu cho
người đọc. Công thức lượng giác có thể được trình bày bằng cách sử dụng
các biểu thức, ký hiệu và thuật ngữ toán học như sin, cos, tan, góc, tỉ số, v.v.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng được bảng lượng giác; Sử
dụng được máy tính cầm tay,…

Năng lực số:

1

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công
nghệ có thể có để giải quyết vấn đề.

-

6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao
hiệu suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất
-

Tích cực thực hiện nhiệm vụ khám phá, thực hành, vận dụng.

-

Có tinh thần trách nhiệm trong việc thực hiện nhiệm vụ được giao.

-

Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và
nhóm bạn.

-

Tự tin trong việc tính toán; giải quyết bài tập chính xác.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
-

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 11, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành
máy tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được
dùng để khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.

-

HS: SGK, SBT Toán 11 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu: Giúp HS có hứng thú với nội dung bài học thông qua một tình huống
liên quan đến Công thức lượng giác.
b) Nội dung: HS đọc bài toán mở đầu và thực hiện bài toán dưới sự dẫn dắt của
GV (HS chưa cần giải bài toán ngay).
c) Sản phẩm: HS nắm được các thông tin trong bài toán và dự đoán câu trả lời cho
câu hỏi mở đầu theo ý kiến cá nhân.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

2

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy và trả lời câu hỏi xuất
hiện trong video đó.
- GV chiếu Slide dẫn dắt, đặt vấn đề qua bài toán mở đầu và yêu cầu HS thảo luận
và nêu dự đoán (chưa cần HS giải):
+ “Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó
trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị
như vậy nhận được nốt thuần f 1 (t )=5 sin t và phát lại được nốt thuần f 2 (t )=5 cos t
thì âm kết hợp là f (t )=f 1 (t)+ f 2 (t ), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm
kết hợp viết được dưới dạng f (t)=ksin(t φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình
sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầuφ (−π ≤ φ ≤ π ) của sóng âm.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS xem video và suy nghĩ câu trả lời.
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm và thực hiện yêu cầu theo dẫn
dắt của GV.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi đại diện một số thành viên nhóm HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá và kết luận.
[6.2.NC1a: HS sử dụng công cụ AI hoặc sản phẩm số do GV cung cấp để tiếp nhận
thông tin, trả lời câu hỏi đơn giản.
2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác cơ bản với học liệu số (xem video, trả lời
câu hỏi trên môi trường số).
1.1.NC1a: HS tiếp cận, khai thác được thông tin từ nguồn học liệu số dưới sự
hướng dẫn của GV.]
- GV ghi nhận câu trả lời của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào tìm hiểu bài học
mới: “Để giải quyết được bài toán mở đầu và biết được cách xử lý các bài toán
tương tự cũng như mở rộng hơn, chúng ta cùng đi tìm hiểu phần nội dung ngày
hôm nay, bài Công thức lượng giác”.
⇒ Bài 2: Công thức lượng giác.

3

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
TIẾT 1: CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
Hoạt động 1: Công thức cộng
a) Mục tiêu:
- Nhận biết được công thức cộng.
- Vận dụng được công thức cộng để giải quyết các bài tính giá trị lượng giác,
chứng minh đẳng thức lượng giác.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về công thức cộng theo yêu cầu, dẫn dắt của GV,
thảo luận trả lời câu hỏi trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về công thức cộng để thực hành
làm các bài tập ví dụ, luyện tập, vận dụng.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

1. Công thức cộng

Nhiệm vụ: Nhận biết công thức cộng.

HĐ1:

- GV hướng dẫn cho HS làm HĐ1

a) Ta có: a−b= 4 − 6 = 12 nên

+ GV yêu cầu HS tính:
π
π
a−b ; cos ; cos
4
6

Sau đó có thể chứng minh được câu a.

π

cos (a−b)=cos

π

π

π √6 + √ 2
=
.
12
4

cos a .cos b=sin a .sin b
π

π

π

π

+ GV cho HS thực hiện phần b và c theo ¿ cos 4 . cos 6 +sin 4 .sin 6
hướng dẫn trong SGK – tr.17.
√2 √ 3 √ 2 1
+ HS suy nghĩ làm bài.
+ GV chỉ định một số HS nêu đáp án.

¿
¿

2

.

2

+

.
2 2

√6 + √ 2 = √ 6+ √2
4

4

4

Vậy
cos (a−b)=cos a cos b+ sin a sin b.

b) Ta có: cos (a+ b)=cos [a−(−b)]
¿ cos a cos(−b)+ sin a sin(−b)

4

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

Mà cos (−b)=cos b , sin(−b)=−sin b
(hai góc đối nhau).
Do đó,
cos (a+ b)=cos a cos b+sin a .(−sin b)
¿ cos a cos b−sin a sin b.

c) Ta có:
sin ( a−b )=cos

[

π
−( a−b )
2

]

¿ cos

[( ) ]

¿ cos

( π2 −a) . cos b−sin ( π2 −a) . sin b

π
−a +b
2

¿ sin a . cos b−cos a. sin b

(

)

π
(do cos 2 −a =sin a ;
+ GV trình bày đáp án lên bảng và tiến tới

phần khung kiến thức trọng tâm.
+ HS cần thuộc được các công thức này
để áp dụng vào bài một cách nhanh chóng
và chính xác.

sin

( π2 −a)=cos a).

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Công thức:
cos ( a−b )=cos a cos b+sin asin b
cos ( a+b ) =cos a cos b−sin asin b
sin( a−b)=sin a cos b−cos a sin b
sin( a+b)=sin a cos b+cos a sin b
tan (a−b)=

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 1.
+ GV: Các em tách những góc đề bài yêu

tan (a+ b)=

tan a−tan b
1+tan a tan b

tan a+ tan b
1−tan a tan b

cầu tính ra thành những góc đặc biệt, sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).
đó sử dụng công thức cộng của cos và tan Ví dụ 1: (SGK – tr.17).
để tính toán.
+ GV gọi chỉ định 1 HS đứng tại chỗ cùng

5

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

mình thực hiện bài tập này.
+ Cả lớp quan sát và ghi bài.
- GV cho HS quan sát Ví dụ 2, sau đó GV
giải mẫu lên bảng cho HS hiểu được cách
làm, cách vận dụng công thức.
- GV cho HS tự suy nghĩ và tự làm bài
phần Luyện tập 1.

Ví dụ 2: (SGK – tr.18).

+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.
+ GV nhận xét, rút kinh nghiệm làm bài Luyện tập 1.
cho HS và chốt đáp án.

a) Ta có:

(

VP= √ 2 sin x−

π
4

)

(

π
π
¿ √ 2 sin x cos −cos x sin
4
4

)

2
2
¿ √ 2sin x . √ −√ 2cos x . √
2
2

- GV cho HS thảo luận theo bàn phần ¿ sin x−cos x=VT (đpcm).
Vận dụng 1
+ HS thảo luận, tìm ra đáp án và đối chiếu
với bạn cùng bàn.

b) Ta có:

(

)

π
VT =tan −x =
4

+ GV mời một số HS đúng tại chỗ nêu
cách làm.
+ GV nhận xét và trình bày đáp án lên
bảng cho HS quan sát.

π
tan −tan x
4
=VP
π
1+ tan tan x
4

π

(do tan 4 =1).
Vận dụng 1
Ta có: f ( t )=f 1 ( t ) + f 2 (t )
¿ 5 sin t+5 cos t=5 (sin t+ cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành

6

chứng minh được:
sin t+ cos t=√ 2¿

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao
đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp
án.

( )

π
Do đó, f ( t )=5 √ 2 sin t + 4

Vậy

âm

kết

hợp

viết

được

dưới

f (t)=ksin(t + φ), trong đó biên độ âm k =5 √ 2 và
π

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của pha ban đầu của sóng âm là φ= 4 .
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát, nhận xét quá trình hoạt động của các
HS, cho HS nhắc lại công thức cộng.
Hoạt động 2: Công thức nhân đôi
a) Mục tiêu:
- Xây dựng được công thức nhân đôi từ công thức cộng.
- Vận dụng được công thức nhân đôi để giải quyết các bài tính giá trị lượng giác,
chứng minh đẳng thức lượng giác.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về công thức nhân đôi theo yêu cầu, dẫn dắt của
GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ, luyện tập trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về công thức nhân đôi để thực
hành hoàn thành bài tập Ví dụ 3, Luyện tập 2.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Công thức nhân đôi

- GV hướng cho HS xây dựng công thức nhân HĐ2:

7

dạng

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

đôi thông qua HĐ2.

+) sin 2 a=sin(a+ a)

+ HS sẽ tự vận dụng công thức cộng và thay ¿ sin a cos a+cos a sin a
b=a để ra được một công thức mới.

¿ sin a cos a+sin a cos a

+ GV mời 3 HS lên bảng trình bày câu trả lời.

¿ 2 sin a cos a .

+) cos 2 a=cos ( a+ a )
¿ cos a cos a−sin a sin
2

2

¿ cos α −sin α

Mà sin2 α + cos2 α =1,
suy ra sin2 α =1−cos2 α và
cos 2 α=1−sin 2 a .

Do đó, cos 2 a ¿ cos 2 α −sin 2 α
¿ 2 cos α−1=1−2sin α .
2

2

+) tan 2 a=tan(a+ a)
tan a+ tan a

+ GV nhận xét và trình bày công thức nhân đôi
trong khung kiến thức trọng tâm.

2 tan a

= 1−tan a tan a =
2
1−tan a
Công thức nhân đôi
sin 2 a=2sin a cos a
2

2

cos 2 a=cos a−sin a
2

2

¿ 2 cos a−1=1−2 sin a

tan2 a=

- GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ 3 sau đó
GV mời ngẫu nhiên một số HS trình bày lại
cách làm.
- GV dẫn: “Từ công thức nhân đôi mà chúng
ta vừa tìm hiểu được, các em hãy biến đổi để
có được công thức khai triển của cos a và sin a
2

”.

2

Ví dụ 3: (SGK – tr.18).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).
Công thức hạ bậc
2

cos a=
2

sin a=

- GV cho HS làm phần Luyện tập 2.

8

2 tan a
.
1−tan 2 a

1+ cos 2 a
2

1−cos 2 a
2

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài giải.

Luyện tập 2

+ GV mời 1 HS khác nhận xét bài làm của bạn.

π
π
√2
Ta có: 2 =cos 4 =cos 2. 8

+ GV chốt đáp án.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi,
đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV,
chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

( )

π
¿ 2 cos2 −1
8
π
2
Suy ra 2 cos2 =1+ √ . Do đó:
8

2

π 2+ 2
cos 2 = √
8
4
π
2+ 2
Vì cos 8 > 0 nên suy ra cos = √ √ .
π

8

Vì cos 8 > 0 nên suy ra cos = √
π

π
8

2

2+ √ 2
.
2

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả
lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại
kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát,
nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho
HS nhắc lại công thức nhân đôi.
TIẾT 2: CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
Hoạt động 3: Công thức biến đổi tích thành tổng
a) Mục tiêu:
- Xây dựng được công thức biến đổi tích thành tổng.
- Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng để giải quyết các bài tính giá
trị lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng thức theo
yêu cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ,
luyện tập, vận dụng trong SGK.

9

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành
tổng để thực hành hoàn thành bài tập Ví dụ 4, Luyện tập 3.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
3. Công thức biến đổi tích thành tổng

- GV hướng dẫn HS làm HĐ3 để hình HĐ3:
thành nên công thức biến đổi tích thành a) Ta có:
tổng.

cos ( a+b ) =cos a cos b−sin asin b   (1);

+ Khai triển cos (a+ b) và cos (a−b); Sau đó cos (a−b)=cos a cos b+ sin a sin b (2).
lấy hai khai triển cộng lại ta được công Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:
thức của cos a cos b.

cos (a+ b)+ cos( a−b)=2cos a cos b .

Lấy khai triển hai trừ khai triển một ta Từ đó suy ra:
được công thức của sin a sin b .
+ Làm tương tự với:
sin( a+b); sin(a−b).

1
cos a cos b= [cos(a+b)+cos (a−b)].
2

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được:
cos (a−b)−cos (a+ b)=2 sin a sin b.

Từ đó suy ra:
1
sin a sin b= [cos (a−b)−cos (a+ b)].
2

b) Ta có:
sin( a+b)=sin a cos b+cos a sin b(3) ;
sin( a−b)=sin a cos b−cos a sin b(4).

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:
sin( a+b)+sin(a−b)=2 sin a cos b.

Từ đó suy ra:
1
sin a cos b= [sin (a+b)+sin (a−b)].
2

- GV ghi lên bảng công thức biến đổi tích Công thức biến đổi tích thành tổng
thành tổng cho HS quan sát.
+ HS ghi bài vào vở.

10

1
cos a cos b= [cos(a+b)+cos (a−b)].
2

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin
1
sin a sin b= [cos (a−b)−cos (a+ b)].
2
1

- GV hướng dẫn cho HS đọc – hiểu Ví dụ 4 sin a cos b= 2 [sin (a+b)+sin (a−b)].
để biết cách vận dụng công thức vào bài Ví dụ 4: (SGK – tr.19).
tập.

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.19).

+ Sau hướng dẫn, GV mời 1 HS đứng tại
chỗ trình bày cách làm.
- GV thảo luận theo bàn Luyện tập 3, các Luyện tập 3
HS trao đổi, tìm ra cách giải và đáp án.

Ta có:

+ GV mời ngẫu nhiên một cặp HS lên bảng A=cos 75o cos 15 o
trình bày.
+ Trong khi đó GV sẽ đi kiểm tra một số
bàn HS.
+ GV mời 1 HS khác nhận xét bàn làm trên

1
¿ ¿
2
1
o
o
¿ ( cos 60 + cos 90 )
2

( )

bảng.

1 1
1
¿ . +0 =
2 2
4

+ GV chốt đáp án.

B=sin

5π
7π
cos
12
12

1
¿ ¿
2
¿

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao
đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày

11

( ( )

1
−π
sin
+sin π
2
6

(
)
1 −1
−1
¿ (
+ 0 )= .
2 2
4
¿

1
π
−sin + sin π
2
6

)

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát, nhận xét quá trình hoạt động của các
HS, cho HS nhắc lại công thức biến đổi
tích thành tổng.
Hoạt động 4: Công thức biến đổi tổng thành tích
a) Mục tiêu:
- Xây dựng được công thức biến đổi tổng thành tích.
- Vận dụng được công thức biến đổi tổng thành tích để giải quyết các bài tính giá
trị lượng giác, những bài toán thực tế có liên quan.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng thức theo
yêu cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ,
luyện tập, vận dụng trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành
tổng để thực hành hoàn thành bài tập Ví dụ 5, Luyện tập 4, Vận dụng 2.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
4. Công thức biến đổi tổng thành tích

- GV cho HS thực hiện HĐ4 làm theo HĐ4:
hướng dẫn để xây dựng được công thức cos a cos b= 1 [cos(a+b)+cos (a−b)] (1)
2
biến đổi tích thành tổng.
1
+ HS cần khai triển lại công thức sin a sin b= 2 [cos (a−b)−cos (a+ b)] (2)
cos a cos b ; sin a sin b và sin a cos b sau đó

tiến hành đặt u=a−b ; v=a+b .
+ Khai triển tiếp tục để đạt kết quả cuối
cùng.

12

1
sin a cos b= [sin (a+b)+sin (a−b)] (3)
2

Đặt u=a−b ;v=a+b .
Ta có: u+ v=( a−b )+ ( a+b )=2 a

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

Và u−v= ( a−b )−( a+b ) =−2 b
u+v

Suy ra, a= 2 ; b=

−u−v
2

Khi đó:
+ (1) trở thành:

(

)

cos

( u+ v )
−u−v 1
cos
= ( cos u+ cos v )
2
2
2

⇔

cos u+ cos v =2cos

cos

u+ v
u−v
cos
2
2

u−v
=cos
).
( −u−v
2 )
2

+) (2) trở thành:
sin

u+v
−u−v 1
sin(
)= (cos u−cos v )
2
2
2
u+ v

u−v

⇔ cos u−cos v=−2 sin 2 sin 2
(do sin

−u−v
u−v
=−sin
).
2
2

- GV nêu phần công thức trong khung +) (3) trở thành:
kiến thức trong khung kiến thức trọng
tâm.

sin

(

)

u+v
−u−v 1
cos
= (sin u+sin v)
2
2
2
u+ v

u−v

⇔ sin u+sin v=2 sin 2 cos 2 .
Công thức biến đổi tổng thành tích
- HS đọc – hiểu phần Ví dụ 5, và trình

cos u+ cos v =2cos

u+ v
u−v
cos
2
2

bày lại cách làm. Sau đó GV cho HS làm cos u−cos v=−2 sin u+ v sin u−v
câu hỏi sau để vận dụng kiến thức:
Biến đổi tổng thành tích:
a) cos x +cos 2 x+ cos 3 x+ cos 4 x
b) sin a+ sin b+sin( a+b)
+ GV cho HS suy nghĩ và yêu cầu 2 HS
lên bảng làm bài.

13

2

sin u+sin v=2 sin

2

u+ v
u−v
cos
2
2

sin u−sin v=2 cos

u+ v
u−v
sin
2
2

Ví dụ 5: (SGK – tr.20).
Hướng dẫn giải: (SGK – tr.20).

(do

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

+ Những HS khác làm bài và đối chiếu Câu hỏi
đáp án với bạn cùng bàn.

a) cos x +cos 2 x+ cos 3 x+ cos 4 x

+ GV nhận xét, chốt đáp án và rút ra ¿ ( cos 4 x+ cos x )+ ( cos 3 x+ cos 2 x )
kinh nghiệm làm bài cho HS.

5x

3x

5x

5x
3x
x
cos
+cos
2
2
2

)

x

= 2 cos 2 cos 2 +2 cos 2 cos 2
¿ 2 cos

(

5x

x

= 4 cos 2 cos x cos 2
- GV cho HS tự làm phần Luyện tập 4.
+ GV chỉ định 1 HS lên bảng làm và 1
HS khác nhân xét bài làm.
+ GV chốt đáp án.

¿ 4 cos x cos

5x
x
cos
2
2

b) sin a+ sin b+sin ( a+b )
¿ 2 sin

a+ b
a−b
a+b
a+b
cos
+2 sin
cos
2
2
2
2

a+b
+cos
(cos a−b
2
2 )
a+ b
a
−b
¿ 2 sin
.2 cos cos (
2
2
2 )
a+ b

= 2 sin 2

a+b

a

b

= 4 sin 2 cos 2 cos 2
Luyện tập 4
π

5π

11 π

- GV chia nhóm cho HS thực hiện Vận Ta có: B=cos + cos +cos
9
9
9
dụng 2.
π
11 π
5π
¿( cos +cos
)+cos
9
9
9
+ Mỗi nhóm trong thời gian GV quy

π 11 π
π 11 π
+
−
9
9
9
9
5π
¿ 2 cos
cos
+cos
cách làm và đáp án nhanh và chính xác
2
2
9

định cần suy nghĩ, trao đổi để đưa ra
nhất.
+ Mỗi nhóm câu 1 đại diện trình bày câu
trả lời.
+ Các nhóm còn lại lắng nghe và đưa ra
nhận xét.
+ GV ghi nhận ý kiến và đưa ra đáp án

14

(

)

¿ 2 cos

2π
−5 π
5π
cos
+cos
3
9
9

¿ 2 cos

2π
5π
5π
cos
+cos
3
9
9

¿ 2.

( −12 ) cos 59π +cos 59π

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

cuối cùng.

¿−cos

5π
5π
+cos
=0
9
9

Vận dụng 2

a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím
4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp f 1=770 Hz và
tần số cao f 2=1 209 Hz .
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành khi nhấn phím 4 là:
y=sin (2 π .770 t )+ sin ( 2 π .1209t )

vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao hay :

đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp y=sin(1540 πt )+ sin(2418 πt ).
b) Ta có:

án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của sin ( 1540 πt ) +sin (2418 πt )
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát, nhận xét quá trình hoạt động của
các HS, cho HS nhắc lại công thức biến

15

¿ 2 sin

1540 πt+2418 πt
1540 πt−2418 πt
cos
2
2

¿ 2 sin(1979 πt )cos (−439 πt)
¿ 2 sin(1979 πt )cos (439 πt)

Vậy ta có hàm số:
y=2sin ( 1979 πt ) cos(439 πt ).

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

đổi tích thành tổng.
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức về công thức lượng giác thông qua
một số bài tập.
b) Nội dung: HS vận dụng các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức
biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích để thảo luận nhóm
hoàn thành bài tập vào phiếu bài tập nhóm/ bảng nhóm.
c) Sản phẩm học tập: HS giải quyết được tất cả các bài tập liên quan
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS về công thức lượng giác.
- GV tổ chức cho HS hoàn thành bài cá nhân từ BT1.7 đến BT1.11 (SGK – tr21).
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm nhanh trên Quizizz để củng cố toàn bài.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links cho HS trả lời nhanh một số câu hỏi trắc
nghiệm tổng kết bài học.
π

π

π

π

Câu 1. Giá trị của biểu thức cos 30 cos 5 + sin 30 sin 5 là?
3
A. √ .

B.

2

−√ 3
.
2

Câu 2. Giá trị đúng của biểu thức
A.

1
.
√3

B.

−1
.
√3

3
C. √ .

1

D. 2 .

4

tan 225 0−cot 8 10 . cot 6 90
bằng
0
0
cot 26 1 + tan 201

C. √ 3 .

D. −√ 3 .

Câu 3. Cho A , B , C là các góc của tam giác ABC .
Khi đó P=sin2 A+sin 2 B+ sin 2C tương đương với:
A. P=4 cos A . cos B . cos C .
C. P=−4 cos A .cos B . cos C .

B. P=4 sin A . sin B . sin C .
D. P=−4 sin A . sin B . sin C .

Câu 4. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

( )

π
1) cos x−sin x= √2 sin x + 4 .

16

( )

π
2) cos x−sin x= √2 cos x+ 4 .

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

(

)

π
3) cos x−sin x= √2 sin x − 4 .

A. 1.

(

)

π
4) cos x−sin x= √2 sin 4 −x .

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 5. Rút gọn M =cos ( a+b ) cos ( a−b )−sin ( a+ b ) sin ( a−b ) .
A. M =1−2cos 2 a .

B. M =1−2sin 2 a .

C. M =cos 4 a .

D. M =sin 4 a .

- GV sử dụng ứng dụng kenhhoctap.edu.vn để tham khảo và cho học sinh làm trắc
nghiệm online.
Link:

https://kenhhoctap.edu.vn/bai-tap/trac-nghiem-toan-11-ket-noi-bai-2-cong-

thuc-luong-giac
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm 2,
hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Mỗi BT GV mời đại diện các nhóm trình bày. Các
HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài các nhóm trên bảng.
Đáp án bài tập SGK:
Bài 1.7.
Ta có :
+) sin 15o =sin( 45o−30 o)=sin 45 o cos 30 o−cos 45o sin 30o
2 3
2 1
6− 2
¿ √ . √ −√ . =√ √
2 2
2 2
4

+) cos 15 o=cos (45 o−30o )=cos 45 o cos 30 o +sin 45 o sin 30o
2 3 2 1
6+ 2
¿ √ . √ +√ . =√ √
2 2
2 2
4
3
1− √
3
o
o
o
=
=2−√ 3
+) tan15 =tan(45 −30 )=
3
1+ tan 45 o tan 30o
√
1+1.
3

( tan 45o −tan 30o )

o
+) cot 15 =

1
1
=
=2+ √ 3
o
tan 15 2−√ 3

Bài 1.8.

( )

π
π
π
a) cos a+ 6 =cos a cos 6 −sin a sin 6

17

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

Có sin a=

1
π
và 2 √3

−√ 6
2
Do đó cos a=− √ 1−sin a=
3

( )

π −√ 6 √ 3 1 1 −3 √2−√3
Từ đó cos a+ 6 = 3 . 2 − . 2 =
6
√3
−1

3π

b) Có cos a= 3 và π sin a=−√ 1−cos a=
2

−2 √2
3

sin a −2 √ 2 −1
=
:
=2 √2
Suy ra tan a=
cos a

(

3

3

)

π
tan a−1 −1+2 √ 2 9−4 √ 2
=
Do đó tan a− 4 = tan a+ 1 =
7
1+2 √ 2

Bài 1.9.
π

a) Vì 2 mặt khác, từ sin 2 a+cos 2 a=1 suy ra

√

cos a=− √ 1−sin2 a=− 1−

()

1
−2 √ 2
=
3
3

Ta có : sin 2 a=2sin a cos a=
2

cos 2 a=1−2 sin a=1−2.

2

(

)

2.1 −2 √ 2 −4 √ 2
.
=
3
3
9

()

1 2 7
=
3
9

−4 √ 2
sin 2 a
9
−4 √ 2
tan2 a=
=
=
cos 2 a
7
7
9

()

2
1 2
1
2
2
(
)
sin
a+
cos
a
=
⇔ sin a+cos a+2 sin a cos a=
b) Ta có :
2
4

1

−3

⇔ 1+sin 2 a= 4 ⇔ sin 2 a= 4
π

3π

3π

Vì 2 Mặt khác từ sin2 2 a+cos 2 2 a=1. Ta có :

18

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

√

( )

cos 2 a=−√ 1−sin 2 a=− 1−
2

−3
− √7
=
4
4
2

−3
sin 2 a
4
3 3 √7
= =
Do đó : tan 2 a= cos 2 a =
7
−√ 7 √ 7
4

Bài 1.10.

( 15π + 10π ) ¿ sin π6 = 12 =1
π 1
2π π
cos
+
( 15 5 ) 3 2

π
π
π
π sin
cos +sin cos
15
15
10
15
=
a) A=
2π
π
2π
π
cos
cos −sin
sin
cos
15
5
15
5
sin

b) Ta có :
B=sin

(

)

π
π
π
π 1
π
π
π
π
cos cos cos = .2sin cos
cos cos
32
32
16
8 2
32
32
16
8

( )

1
π
π
π 1
π
π
π
¿ sin 2.
cos cos = sin
cos cos
2
32
16
8 2
16
16
8
1
π
π
π 1
π
π 1
π
π
¿ .2 sin cos cos = sin cos = .2 sin cos
4
16
16
8 4
8
8 8
8
8
1
π 1 √ 2 √2
¿ sin = . =
8
4 8 2 16

Bài 1.11.
1

Ta có: sin(a+b) sin(a−b)= 2 [ cos ( a+b−a+ b )−cos ( a+b+ a−b ) ]
1
1
2
2
¿ [ cos 2 b−cos 2 a ] = [ ( 2 cos b−1 )−( 2cos a−1 ) ]
2
2
¿ cos 2 b−cos 2 a

Vậy sin ( a+ b ) sin(a−b)=cos2 b−cos2 a (1)
Lại có :
cos 2 b−cos 2 a=( 1−2 sin2 b ) −( 1−2 sin2 a ) =2 ( sin2 a−sin 2 b )
1

1

2
2
2
2
Do đó : 2 [ cos 2 b−cos 2 a ] = 2 .2 ( sin a−sin b )=sin a−sin b

Vậy sin(a+b)sin ( a−b )=sin2 a−sin 2 b (2)
Từ (1)(2) suy ra :
sin(a+b) sin ( b+a )=sin2 a−sin2 b=cos2 b−cos2 a (đpcm).

19

Trường THPT Minh Hà – Tổ Toán Tin

Đáp án câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1

C